4.江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷.docx

江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．已知点是第二象限的点，则的终边位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
5．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象是（    ）
A．    B．   
C．    D．   
7．若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则扇形的面积为
C．终边落在直线上的角的集合是
D．函数的定义域为
10．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为4 D．的最小值为2
11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（    ）
A．函数是奇函数
B．函数在区间上单调递减
C．，使得
D．，存在常数使得
12．若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ）
A． B． C． D．

三、填空题
13．已知函数，则的定义域为 ．
14．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ．
15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒 次
16．已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．

四、解答题
17．已知集合，，，其中
(1)若；
(2)若，求的取值范围．
18．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
19．已知.
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
20．已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
21．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题．

(1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式；
(2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
22．设函数，
(1)当时，判断的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．C
5．D
6．A
7．B
8．C
9．BCD
10．AD
11．ABD
12．BC
13．
14．
15．
16．
17．(1)
(2)
【详解】（1）集合或，
，
，
；
（2），，其中
，解得，
的取值范围是
18．（1） ；（2） ．
【详解】（1）解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，

（2），且，
，则，而，
则故，

19．(1)，
(2)

【详解】（1）由于，
令，，求得，，
可得函数的增区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
若函数的图象关于直线对称，
则，，即，
令，求得取最小值为，此时，
20．(1)
(2)

【详解】（1），
令，则函数化为，，
因此当时，取得最小值，
当时，，取得最大值0，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0，
可得函数的值域为；
（2），恒成立，
即，恒成立，
令，则，恒成立，
令，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为
21．(1)
(2),.

【详解】（1）

如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为，
因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：；
（2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为，
则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为，
故，
由可知：，故当或时，，
即在或时，两人距离地面的高度差最大，为.
22．(1)非奇非偶函数；理由见解析
(2)

【详解】（1）由题意得当时，函数，且函数的定义域为，
，
，，
是非奇非偶函数；
（2）因为当时，若对任意的，
均有成立，
令，
当时，，对任意的恒成立，
即，解得，的最大值为；
当时，，，
对称轴为，
，则，不等号方向改变，即，
所以，则，的最大值为；
时，，即，所以，即，无解；
时，，所以，即，
即，所以无解；
当时，，，
对称轴为，
，则，即，无解；
时，，即，，，则，
则，
，的最大值为；
时，，，，
则且，
，则，的最大值为；
当时，，
，，，
即，则，
而，
，则，
令，，
则，即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最大值为
综上所述，对任意的，均有成立，
则的最大值为所有最大值中的最小值

答案第5页，共6页