4.江苏省徐州市2023-2024学年下学期高二年级第三次检测数学试题.docx

江苏省徐州市2023-2024学年下学期高二年级第三次检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，，那么（   ）
A． B． C． D．
2．展开式中的系数为（    ）
A． B． C． D．
3．如果随机变量，那么等于（    ）．
A．1 B． C．2 D．6
4．在的展开式中的系数是（    ）
A． B． C． D．
5．若2名女生4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有（   ）种.
A．120 B．240 C．360 D．480
6．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ）
A．360 B．180 C．90 D．45
7．已知点，，，则三角形的面积是（    ）
A． B．2 C． D．1
8．正方体中，，分别在上，且， ，则下列正确的有（   ）个
① ，②，③，④点到平面距离为1
A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题
9．下面正确的是（   ）
A．若随机变量，则方差是
B．若随机变量，则
C．若变量，则
D．若，，，则，
10．下面正确的是（   ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
11．下面不正确得是（   ）
A．若的分布列为，则
B．将一枚硬币扔三次，设为正面向上的次数，则
C．随机变量的概率分别为，，，且依次成等差数列，则公差的取值范围是
D．两人独立破译密码，各自译出的概率是，，则此密码能被译出的概率是

三、填空题
12．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为，已知，，.该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为 厘米．
13．已知，当时，则 的值是
14．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．则数学期望 ．

四、解答题
15．江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了名学生，其中男、女生各人，男生中选历史人，女生中选物理人.
(1)请根据以上数据建立一个列联表；
(2)判断性别与选科是否相关.   (计算卡方时保留三位小数)
附：.

16．用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.
(1)有多少个四位偶数?
(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?
17．如下图：已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)，若二面角的余弦值为，求点 到平面的距离．

18．如下图：在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．
19．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B
2．C
3．B
4．A
5．D
6．B
7．A
8．B
9．CD
10．ABC
11．AD
12．166
13．7
14．
15．(1)列联表见解析
(2)相关
【详解】（1）因为男、女生各人，男生中选历史人，女生中选物理人，
所以男生选物理人，女生选历史人，列联表如下表：

选物理
选历史
总计
男
35
15
50
女
10
40
50
总计
45
55
100

（2）由（1）知，
所以有的把握，认为选科与性别有关.
16．（1）；（2）.
【详解】(1)方法一:先排个位数字,分两类:①0在个位时有种;②2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有种,故共有=60个四位偶数.
方法二:间接法.若无限制条件,总排列数为,其中不符合条件的有两类:①0在千位,有种;②1或3在个位,有种,则四位偶数有=60个.
(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:①千位是1或2时,有个;②千位是3时,百位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时,有个,(ii)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有+1=61个,3 204是第62个数.
方法二:(间接法)-()=62个.
17．
【详解】因为底面，且底面为正方形，
所以，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点），
所以，设，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，则，
由题可得平面的一个法向量为，
因为二面角角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），所以，
因为，所以点到平面的距离为．

18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，在等边中，可得，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，因为，可得，且
因为为边长为的等边三角形，所以，
又由，所以，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，

由（1）知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面和平面所成的锐二面角的平面角为，
可得，
所以平面和平面所成的锐二面角的正弦值为.
19．（1）；（2）分布列见解析，；（3）比赛不公平，理由见解析.
【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件
则
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分

所以的分布列为：

6
7
8
9
10
11

所以的数学期望.
（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为
由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为
则摸球人获胜的概率为
所以比赛不公平.

答案第5页，共5页