山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中学情检测数学试题.docx

山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中学情检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．抛物线的准线方程为（    ）
A． B．
C． D．
2．直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
4．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．
5．在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
6．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（    ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ）
A．点的轨迹围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为
11．以下四个命题表述正确的是（    ）
A．直线恒过点（-3，-3）
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则m=4
D．已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为
12．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．的长最小值为
B．的最小值为
C．若，则平面截正方体所得截面的面积为
D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是

三、填空题
13．平行六面体，，，，则
14．正方体的棱长为1，P点满足，则P到的距离为
15．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 .
16．已知是的直径，M是圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则（∵）
类比到椭圆中，是过椭圆（）中心的弦，M是椭圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则

四、解答题
17．已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
18．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.

(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点，

(1)求三棱柱的体积
(2)求直线与平面所成角的正弦值
20．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
21．如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：；
(2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.
22．已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
9．ABC 10．ABD 11．BCD 12．BCD
13． 14． 15． 16．
17.【详解】（1）不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：
解得：
则圆的方程为：
（2）当直线的斜率不存在时，则有：
故此时直线与圆相切，满足题意
当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为
直线的方程为：
则有：
解得： ，此时直线的方程为：
综上可得，直线的方程为：或
18．【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.

由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则.
.故点到平面的距离.
（2）平面的法向量， 平面与平面夹角的余弦值.
19．【详解】（1）因为，所以，因此

，
因为是正三棱柱，所以，平面，
而平面，因此，所以有，
设，D是的中点，所以，于是有：
，舍去，
三棱柱的体积为：，
（2）设平面，设，
取的中点，所以，所以，
因为平面平面，而平面平面，
因此平面，
由，
由勾股定理可知中：，
，因为，所以四边形是正方形，
故，所以有，
在正方形中，设，D是的中点，
，
因为平面，所以是直线与平面所成角，
所以.

20．【详解】（1）根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：
点到短袖的一个端点的距离为，则有：
则有：
故椭圆的方程为：
（2）设过点作斜率为的直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程可得：

则有：,
直线过点，所以恒成立，
不妨设，两点的坐标分别为：，则有：

又
且
则有：

将，代入后可得：

若，则有：
解得：或
21．【详解】（1）由已知可得四边形是等腰梯形，
过作，垂足为，则，
在中，，
则，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
则，，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
又为矩形，
，则平面，
而平面，
；
（2）平面，且，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，设，
则，又，
设平面的法向量为，
由，
取，得，
又，
，
，，
则.

22．【详解】（1）圆F：的圆心，半径，
如下左图，，

如上右图，，
因此，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长为的双曲线，其中焦距，虚半轴长，
所以点T的轨迹方程为.
（2）①设点，，直线AB的方程为，
由消去y得，
其中，且，
，，
由点在曲线C上，得，显然直线MA和直线MB关于对称，
直线MA和直线MB的斜率满足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，则或，
当，直线方程为，此直线过定点，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值.

②由①知，，显然，即，
当时，，，即，，
，解得或，
当时，，不符合题意，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为，
所以直线AB的方程为或.

答案第7页，共7页