辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题.docx

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知直线始终平分圆的周长，则（    ）
A． B． C． D．
2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）

A． B． C． D．
3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
4．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
5．在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（    ）种不同的涂色方法.

A．78 B．66 C．56 D．48
7．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为
A． B． C． D．
8．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．给出下列命题正确的是（    ）
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线恒过定点
C．已知直线与直线垂直，则实数的值是
D．已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面
10．下列结论正确的是（    ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．随机变量服从正态分布，则
D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同”，则事件为相互独立事件
11．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
12．双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（    ）

A．双曲线的焦点到渐近线的距离为
B．若，则
C．当过点时，光线由所经过的路程为8
D．反射光线所在直线的斜率为，则

三、填空题
13．若，则 .
14．已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 .
15．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 .

16．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．

四、解答题
17．安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.
(1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
(2)六名教师站一排照相，求不相邻，且在的左边（可以不相邻）的概率？
18．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；

（3）求的值.
19．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.

(1)证明：平面平面；
(2)当时，求二面角的余弦值.
20．已知抛物线上有一点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线与抛物线交于两点，F是抛物线的焦点，且，求的面积．
21．2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段

频数
100
300
m
n
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；②；③.
22．已知曲线上任意一点满足，且.
(1)求的方程；
(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．A 8．C
9．BD 10．AD 11．ABC 12．ABD
13． 14．3 15． 16．348
17．【详解】（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩，
分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发法，
第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有种不同的发放方法，所以共有种不同的发放方法.
（2）当不相邻，且在的左边时，有种排法，
又六名教师站一排时，有种排法，
记“不相邻，且在的左边（可以不相邻）”为事件，
所以.
18．【详解】（1）由，得，
通项，
令，解得，
展开式中的系数为.
（2）设第项系数的绝对值最大，
则，所以，
系数绝对值最大的项为.
（3）原式.
19．【详解】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.

设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.

设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
20．【详解】（1）∵点在抛物线上，
，
，
∴抛物线的标准方程为．
（2）设点．
联立消去x并整理得．
由得，
，
，
．
又，
，

，

即，
解得或(舍)，

．
点到直线的距离，
．
21．【详解】（1）因为，，所以，.
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，
车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列为

所以.
（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，
，
所以.
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，
工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，
，
所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.
22．【详解】（1）由于，符合双曲线的定义，
于是，即，
故，注意到，且焦点在轴上，
故曲线的方程为
（2）若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点，

设该直线为，和双曲线联立可得，
则，故，
设，则方程可写作：，的方程可写作：，
联立的方程可得，，整理可得，，
则，
利用在直线上，
于是，
于是，故，
即，故交点一定落在上.

答案第5页，共6页