6.江苏省南通市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题.docx

江苏省南通市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的面积为（    ）
A． B．1 C．2 D．4
2．已知全集，集合，或，则（    ）
A． B．或
C． D．
3．函数，的最小值为（    ）
A． B． C． D．
4．若角的终边经过点，则（    ）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
6．设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（    ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数，记，，，则（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列各式中，计算结果为的是（    ）
A． B．
C． D．
10．若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ）

A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时
B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为
C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为
D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是

三、填空题
13．在中，若、是的方程的两个实根，则角 .
14．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 .
15．已知，，则的一个取值为 .
16．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 .

四、解答题
17．已知全集，集，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知，，，.
(1)求；
(2)求.
19．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断并证明的奇偶性；
(3)讨论的单调性.
20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式及单调减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 若对任意、，，求实数的最小值.
21．如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·

(1)若，求梯形的高；
(2)求四边形面积的最大值.
22．已知函数（且），点在其图象上.
(1)若函数有最小值，求实数的取值范围；
(2)设函数，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B
2．D
3．B
4．C
5．C
6．B
7．D
8．B
9．AC
10．BCD
11．BC
12．BC
13．
14．
15．（或）
16． 且，
17．(1)或；

(2)或；
【详解】（1），则，
，
，
则或，解得或，
故实数的取值范围为或；
（2）当时，则，且集合A不为空，则，解得，
所以若时，则实数的取值范围为或；
18．(1)
(2)

【详解】（1）解：因为，则，，
由可得，
所以，.
（2）解：因为，，则，所以，，
所以，，
因此，
.
19．(1)
(2)偶函数，证明见解析
(3)在上单调递增，在上单调递减；
【详解】（1）对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为.
（2）函数为偶函数，证明如下：
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，故函数为偶函数.
（3）因为，
令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，
外层函数为上的增函数，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减.
20．(1)，减区间为
(2)
【详解】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，可得，
因为，则，所以，，所以，，
因此，，
由解得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，
当时，，则，则，
对任意的、，，
则，故实数的最小值为.
21．(1)
(2)

【详解】（1）连接，过点作于点交于点，
由，，扇形半径为4，分别为的中点，
故，，，，
则，故为等边三角形，
则，,
故梯形的高为；

（2）设，则，
且此时，四边形面积为：

，
∴时，取最大值.
22．(1)
(2)

【详解】（1）解：由题意可知，，且且，则，则，
所以，，
令，则，
当时，函数在上无最小值，不合乎题意，
当时，要使得函数在上有最小值，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）解：已知函数，若存在非零实数，使得，
①当时，由可得，
可得，
不妨设，，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，则；
②当时，不妨设，
由，可得，可得，
令，其中，任取、且，
则，且余弦函数在上单调递减，
所以，，则，
因为，则，
由不等式的基本性质可得，即，
所以，函数在上单调递减，
又因为函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
且，，
所以，当时，，即；
③当时，不妨设，由，
可得，直则，
因为函数、在上单调递增，
则函数在上单调递增，则，即.
综上所述，实数的取值范围是.

答案第5页，共6页