4.福建省厦门市厦门外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题.docx

福建省厦门市厦门外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知全集，集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ）
A．-1 B．-2
C．-4 D．-8
4．函数的图象大致是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
5．已知函数的定义域为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知，则（    ）
A． B． C． D．
7．，对于，，都有成立，求的取值范围（    ）
A． B． C． D．
8．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列命题正确的是（    ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象恒过定点
C．函数的值域为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知，且，下列结论中正确的是（    ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是9 D．的最小值是
11．已知非零实数满足，则下列不等关系中正确的是（　　）
A． B．若，则
C． D．若，则
12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的图象关于点对称 B．在上是减函数
C．的值域为 D．不等式的解集为

三、填空题
13．已知函数，若，则 .
14．已知定义在上的奇函数满足，当，则 ．
15．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 .

四、解答题
17．（1）比较和的大小，并证明；
（2）求值：．
18．已知
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上有最小值2，求实数的值；
(3)对任意恒成立，求实数的取值范围．
20．（1）已知函数为偶函数．求的值，并证明在上单调递增；
（2）已知函数为常数．有两个不相等实根，求实数的取值范围，并求的值．
21．第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入  （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入  （万元）与年产量 （万台）满足关系式:
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.
22．已知定义域为，对任意都有．当时，，且．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．

试卷第3页，共4页

参考答案
1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D
9．ABD 10．BCD 11．BCD 12．ACD
13．4 14． 15． 16．
17．（1），证明见解析；（2）3
【详解】（1）依题意，
．
由，得，当且仅当取等号，
所以与的大小关系为．
（2）原式

．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得：，
当时，，
所以.
（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，
因为不等式等价于，则有：
当时，，满足题意；
当时，，则；
当时，；
综上所述：实数m的取值范围.
19．(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）依题意可知，，
所以1和3是一元二次方程的两根，
由根与系数关系可得，
解得，
所以．
（2）由（1）可得
，
当时，在上递增，
所以当时，，得；
当时，，
所以，解得；
当时，在上递减，
所以，所以，解得（舍）．
综上所述：或．
（3）对任意，
因此，原不等式等价于
令，
则，
易知在上单调递增，
所以，
可得，
因此．
20．（1），证明见解析 ；（2）实数的取值范围是， ．
【详解】（1）由题意函数为偶函数，
，即
对任意恒成立，则，解得，
，
任取，则

由，可得
，即，
在上单调递增．
（2）令，因为，所以，
令，
因为有两个不相等实根，则函数在内有两个不相等实根、，
其中，，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
根据根与系数的关系，可知，即，
所以，即．
21．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）由题意，当时，年收入为，
当时，年收入为，
故年利润为，
即.
（2）当时，，
由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数单调递增，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.
22．(1)
(2)是上的单调递减函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）取，
则，于是，
令，
则，
又，则；
（2）是上的单调递减函数．
证明：
任取，
则，
由于当时，，易知，则，
故，
可得是上的单调递减函数．
（3）不等式可化为，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于为上的单减函数，则，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是关于的一次函数，
故只需，解得．
即，
解得.

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