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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．或
2．已知，则（    ）
A． B． C． D．
3．函数的图像大致为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
4．已知、，则是的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（    ）
A． B． C． D．
7．已知且，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．
8．已知函数,,,,与的图象共有个不同的交点、、、，则（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ）
A． B．
C． D．
10．下列命题为真命题的是    ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C．
D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为
12．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．的最小值为4
C．
D．方程最多有10个不同的实根

三、填空题
13．计算 .
14．若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
15．已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为 .
16．定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：）

四、解答题
17．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)解关于的不等式.
19．年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）

年固定成本
每节车厢成本
每节车厢价格
每年最多生产的节数
传统型

节
智能型

节
已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.
(1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式；
(2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；
②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？
20．如图是函数图象的一部分.

(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
21．已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数的解析式；

(2)设，对，使得，求实数的取值范围.
22．已知函数，.
(1)设.若恰有两个零点、，且.判断函数的奇偶性（只需给出结论，不需写证明过程），并求实数的值；
(2)若，，成立，求实数的取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．C
2．D
3．B
4．A
5．D
6．C
7．A
8．D
9．ABC
10．BD
11．ABD
12．ACD
13．
14．
15．
16．
17．(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，又，
则，

（2）由，
，
所以，则，
所以，
因为，所以.
18．(1)
(2)答案见解析

【解析】（1）解：当时，，
当时，，则，
故当时，函数在上的值域为.
（2）解：由可得，即，
等价于.
（i）当时，，解原不等式可得或；
（ii）当时，原不等式即为；
（iii）当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．(1)答案见解析
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【解析】（1）解：由题意可得，其中，，
，其中，.
（2）解：传统型车厢平均利润为，其中，，
智能型车厢平均利润为，其中，，
令，其中，，
，其中，，
①函数在上单调递增，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，传统型车厢平均利润的最大值为百万元，
智能型车厢平均利润的最大值为百万元；
②，
当时，，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元；
当时，，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元；
当时，，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元.
20．(1)
(2)

【解析】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，则，
因为，则，所以，，解得，
所以，.
（2）解：由
可得，
即，
即，
即，其中，
因为，则，令，
则有，则关于的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
所以，，解得，故实数的取值范围是.
21．(1)，
(2)

【解析】（1）由题意   ①，
所以  ，
函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，
所以
所以   ②，
由①②解得，；
（2），
由，则 ，
所以的值域为，
，
     ，
设，根据知为增函数，若，则，
则，
若，则在上单调递增，
则，即，
因为对，使得，
则，所以，解得，
所以；
若， 则，即，
则，解得，所以，
综上所述，若对，使得，则.
22．(1)函数为偶函数，理由见解析，
(2)

【解析】（1）解：为偶函数，理由如下：
因为函数，该函数的定义域为，则函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
因为函数恰有两个零点、，且，则为函数的一个零点，
即，即，
解得或（舍去），
经检验，当时，函数的两零点之积为，所以，.
（2）解：，恒成立，即，
即，即，，
即，，
设，只需，
当时，，
因为，则，所以，函数在上单调递减，
此时，，解得，
下面只需研究是否符合即可，
当时，，
因为，则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，，
当时，，所以，不成立；
当时，，
因为，则，
所以，函数在上单调递增，则，
当时，，所以，不成立，
综合可得.

答案第7页，共7页