5.湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题.docx

湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ）
A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行
2．已知椭圆：的离心率为，则（    ）
A． B．1 C．3 D．4
3．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
4．实数，满足，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ）
A． B． C． D．
6．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知椭圆：，，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（    ）
A．椭圆离心率为 B．的最小值为1
C． D．
10．下列说法正确的是（    ）
A．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（    ）

A．存在点，使得
B．不存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的取值范围为
D．当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为
12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（    ）
A．椭圆的标准方程为
B．若点在椭圆上，则的最大值为
C．若点在椭圆上，的最大值为
D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点

三、填空题
13．圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为 .
14．所有棱长都为1的平行六面体中若为与的交点，，，则的值为 .
15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
16．已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为 .

四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知射线：，：.过点作直线分别交射线，于点A，.
(1)已知点，求点A的坐标；
(2)当线段的中点为时，求直线的方程.

18．如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：

(1)；
(2)；

19．已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（i）与直线垂直；
（ii）与圆相切；
（iii）在轴上的截距大于0，
若直线与圆交于，两点，求.

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.为上的一点，已知.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

21．已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

22．已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.

试卷第7页，共7页

参考答案：
1．A
2．C
3．D
4．C
5．C 
6．A
7．B
8．D
9．BD
10．AC
11．BC
12．ACD
13．
14．
15．
16．30
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据已知先求出直线的方程，与的方程联立，即可得出答案；
（2）设，，，，根据中点坐标公式以及已知求出的值，即可得出的坐标，求出斜率，即可得出答案.
【解析】（1）由已知可得，，
所以直线的方程为，
即为.
与联立
解得，
即.
（2）由题意设，，，，
则线段的中点为.
因为线段的中点为，所以，解得：.
所以，，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
故直线的方程为.
18．(1)
(2)

【分析】利用空间向量的运算求解即可.
【解析】（1）.
（2）

.
19．(1)
(2)

【分析】（1）联立圆与圆的方程，求得公共弦的两个端点坐标分别为，，当圆的面积最小时，是圆的直径，求解即可；
（2）由题意设直线的方程为，结合条件直线与圆相切，在轴上的截距大于0，求得，然后利用弦长公式求解.
【解析】（1）依题意，由，解得或，
因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，
当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程是.
（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，
而直线与圆相切，则有，解得或，
又因为在轴上的截距大于0，即，所以，
即直线的方程为，而圆的圆心，半径，
点到直线：的距离为，
于是得.

20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取中点，连接，利用已知条件先证明线面垂直，然后再证明面面垂直即可；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.
【解析】（1）取中点，连接，，

∵，为中点，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，∴，
又，分别为，中点，
∴，∴，
即，
∵， 平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）连接，由（1）知：为等边三角形，
∴，；
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则，
∴，
由得：，
∴，
设平面的法向量，
则，
令，解得：，
∴，
∵轴平面，
∴平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21．(1)
(2)存在，，理由见解析

【分析】（1）设，由化简可得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，又，，从而可求的表达式， 即可求解.
【解析】（1）设，易知，
由，得，
化简得，故椭圆的标准方程为.
（2）∵点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设直线的方程为，，，
由，得，
∴，，恒成立.
又，，
∴，

，
要使其值为定值，则，
故当，即时，.
综上，存在这样的稳定点.

22．(1)
(2)1

【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；
（2）设的坐标及直线，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.
【解析】（1）由题意得，，解之得，
故椭圆的方程为；
（2）  
设，，，直线的方程为.
将代入，整理得，
，即，
则，，
故.
又原点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即（*）时，等号成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值为1.
【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式，根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系；第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理化简计算即可.

答案第7页，共8页