2.江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期5月学情调研数学试卷.docx

江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期5月学情调研数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是(      )
A． B． C． D．
2．若，且能被17整除，则的最小值为（    ）
A．0 B．1 C．15 D．16
3．正十二边形的对角线的条数是（    ）
A．56 B．54 C．48 D．44
4．某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（    ）种.
A．144 B．72 C．64 D．36
5．下列结论正确的是（    ）
A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人
D．已知随机变量，若，则
6．已知，.设p：，q：，则p是q的（    ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是（    ）
A． B． C． D．
10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（    ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
11．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：

上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（    ）
A．
B．
C．
D．

三、填空题
12．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．已知，则 .
14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .

四、解答题
15．现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内.
(1)共有多少种不同的放法?
(2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同不同的放法有多少种?
(3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种?
16．为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．
(1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，，．
17．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．

(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
(1)求P；
(2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
19．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D
2．D
3．B
4．D
5．D
6．B
7．C
8．A
9．CD
10．ACD
11．BCD
12．乙
13．4048
14．
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意，4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子，
把球全部放入盒子内，共有中不同的放法.
（2）解：每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，
不同的放法有中不同的方法；
（3）解：将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒，
即有4个盒子每个盒子放1个球，共有种放法.
16．(1)分布列见解析，
(2)，
(3)0.2056．

【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，．
则，，，
所以的分布列为：

0
1
2

所以，数学期望．
（2）由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设中点为O，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面⊥平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，平面，
故平面，平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则,
平面，
所以⊥平面；
（2）由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，
故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
18．(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析

【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，
，
则，解得；
（2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
P

随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则

又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
19．(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【详解】（1）①根据洛必达法则，；
②设，两边同时取对数得，，
设，，
∴，∴
（2）∵，，
∴，，，
∴

∴，均有，
∴是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得，
由①，得
∴，.
方法二：

设，，
则
设，，则
∴在上单调递增，又，∴在上恒成立，
∴∴在上单调递增，∵，
∴在上但成立，∴，
∴在上单调递增，
又
∴，.

答案第5页，共6页