辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题.docx

辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ）
A．充分条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要条件
4．已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（    ）
A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1
5．已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
6．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（    ）
A． B． C． D．
7．已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ）
A．18 B．12 C．9 D．16

二、多选题
9．已知集合集合，下列关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
10．使，成立的充分不必要条件可以是（    ）
A． B． C． D．
11．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
12．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）
A．的最大值为 B．.
C．的最小值为1 D．的最小值为

三、填空题
13．已知集合，若，则实数 .
14．已知关于的方程组的解都为正数，则实数的取值范围为 .
15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 .
16．设，若时均有，则 .

四、解答题
17．已知集合，，．
(1)求集合和；
(2)若全集，求．
18．（1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；
（2）求证：.
19．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
20．第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕，为了保障交通安全畅通，杭州交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？
21．已知，且.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
22．已知不等式的解集为.
(1)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
9．AC 10．BD 11．BCD 12．BD
13． 14． 15．3 16．/0.75  
17．【详解】（1），.
（2）因为或，或，
因此，或.
18．【详解】（1）（反证法）
假设中没有正数，即，则.
而
这与三个数没有正数矛盾，
故假设错误，原命题正确；
（2）

（当且仅当时取等号）
19．【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，
则有，解得，
结合题意知：，
，
或，
又，所以.
（2）
，
由，所以当时，取最大值为10.
20．【详解】（1）因为，所以，
当且仅当，即时等号“=”成立，
故当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时；
（2）由及，
可得，即，解得，
即汽车的平均速度应在这个范围内.
21．【详解】（1）因为，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
则的最小值为
（2）设，则且

当且仅当，且，即时等号成立，
即时等号成立，
则的最小值为.
22．【详解】（1）因为，原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，所以，
所以恒成立，
可得恒成立，所以，解得，
则，即，故，
所以，因为不等式有且仅有9个整数解，故，解得，
所以的取值范围为；
（2）1、当时，由（1）得时，，
故，即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2、当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：，所以，则恒成立，即恒成立，所以，
解得，又，
该不等式解集为，
3、当时，，则无解.
4、当时，，则.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.

答案第3页，共4页