江苏省宿迁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试卷.docx

江苏省宿迁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ）
A． B． C． D．6
3．设正项等比数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
4．“”是“方程表示双曲线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ）
A． B．3 C． D．4
6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
7．已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ）
A．数列为递减数列
B．数列为等差数列
C．若数列为递减数列，则
D．当时，则取最大值时
10．已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（    ）
A．的准线方程是
B．直线的斜率为定值
C．若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切
D．若的面积为，则直线的方程为
11．已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点在直线上，则直线过定点
B．当取得最小值时，点在圆上
C．直线，关于直线对称
D．与的乘积为定值4

三、填空题
12．函数的单调增区间为 .
13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 .
14．已知数列的前项和为，，（），则为 .

四、解答题
15．已知函数的图象在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
16．设数列满足：，且对任意的，都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.

(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？
18．已知函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为求的值.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．C
7．B
8．B
9．ABC
10．AC
11．ACD
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
【详解】（1），，
所以，解得，
（2）由（1）得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，
，
由于，，
所以
16．(1)，
(2)
【详解】（1）由题意可得，又，则，其中
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，.
（2）令，由（1）可知，则，
则，
，
两式相减可得
所以.
17．(1)，此时
(2)，，此时最短.
【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，

并由条件可知，点，
设直线的方程，
当时，，当时，，
即，，
,
当时，即时，等号成立，
所以面积的最大值为平方米；
此时直线的方程为，即，，
此时
（2）由（1）可知，，
，
设，，
，，
令，则，
当时，，函数在区间单调递减，
当时，，函数在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以当，，此时最短.
18．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
则，
令，由于，解得；
令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，故的值域为.
（2）若对任意，不等式恒成立，
则，故，
当时，，显然不满足题意，舍去，
当时，记，
则，
由于，令，则；
令，则或；
故在上单调递增，在上单调递减，
由于，
当时，即，此时在上单调递增，
故满足题意，
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
要使恒成立，则且，
解得，
综上可得
19．(1)
(2)

【详解】（1）设，其中一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，
又，则，则，
所以双曲线方程为；
（2）由（1）知，设直线，,
联立，得，，
，，
直线的方程为，当时，，
直线的方程为，当时，，
即，，
如图可知，，
，
，
，
当，时，，，
所以，
即，
当时，，
所以.

答案第5页，共6页