2024年四川省南充市中考数学真题（原卷版）.docx

南充市二○二四年初中学业水平考试
数学试题
（满分150分，时间120分钟）
注意事项：
1.答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；
2.所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1. 如图，数轴上表示的点是（ ）

A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
2. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制人选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ）
A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分
3. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）

A. B. C. 2 D. 3
6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A. B. C. D.
7. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A. B. C. D.
9. 当时，一次函数有最大值6，则实数m值为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11. 计算的结果为___________．
12. 若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为___________．
13. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度．

14. 已知m是方程的一个根，则的值为___________．
15. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____．

16. 已知抛物线与轴交于两点，（在左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在中，点D为边中点，过点B作交的延长线于点E．

（1）求证：．
（2）若，求证：
19. 某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，（如图）．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
20. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
21. 如图，直线经过两点，与双曲线交于点．

（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点三角形与相似，直接写出点P的坐标．
22. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线．
（2）若，求的半径长．
23. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
24. 如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．

（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接，当时，求的面积．
25. 已知抛物线与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；
（3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．