中考数学——二次函数的存在性问题(15种题型汇总+专题训练+9种解题方法)(含答案).docx

第三章 函数
重难点04 二次函数存在性问题
（15种题型汇总+专题训练+9种解题方法）
【题型汇总】

【命题预测】抛物线与特殊图形的存在性问题多以解答题形式出现，难度较大，多为压轴题，考查几何代数综合.一般是在抛物线的背景下确定特殊图形(如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等)的存在性，多应用分类讨论思想，
题型01 二次函数角度存在性问题
角度存在性问题的解题步骤

已知特殊角度求解
已知角度关系求解
第一步
读题、画图、理解题意
第二步
分析动点、定点，找不变特征
第三步
确定分类特征，进行分类讨论
第四步
已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
【温馨提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
1）已知特殊角求解
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东临沂·二模）如图，已知抛物线y=ax2−83ax−3的图象经过点D，OE=3OC，C是ED的中点，P是拋物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·山西大同·一模）综合与探究
如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC．

(1)求点B的坐标及直线BC的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若DEOE=512，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得∠BCF=15°?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2）已知角度关系求解
4．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B4,0，BC=42．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值；
(3)如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0，点B3,0，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·四川达州·二模）已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴相交于点A(−1,0),B(−4,0)），与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求S△AOCS△PAC的值；
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，直接写出Q点坐标．
题型02 二次函数与三角形存在性问题
1）等腰三角形存在性问题
解题方法：
几何法：1）“两圆一线”作出点；
2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；
3)分类讨论，求出点P的坐标.
代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；
2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；
3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
①两定一动
8．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点C0,3，点D在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线BC上方抛物线上的点，连接BD、CD，求S△BCD的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax2+bx+1（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=3．

(1)求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线C1向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，连接CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
②一定两动
11．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A−2,0，B4,0两点，与y轴交点为C，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；
2)P在第四象限抛物线上，连接PB，∠PBC=12∠BCO，求点P的坐标；
(3)点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB方向运动，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA方向运动，M，N同时出发，运动时间为t秒，02)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2）直角三角形存在性问题
解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：

1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；
2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，
第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；
第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角.
13．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B4,0，C−2,0两点．与y轴交于点A0,−2．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与12PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线y=−3x+23与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

(1)求点A、点B的坐标；
(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
15．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C，连接AC．

(1)求抛物线的表达式．
(2)点P是抛物线上位于线段AC下方的一个动点，连接AP，CP，求△APC面积最大时点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点Q使得以点A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
3）等腰直角三角形存在性问题
解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数.
16．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D1,−1，与x轴交于点A，点B．

(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A−1,0、点B5,0，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点Px0,y00·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
4）相似三角形存在性问题
解题大招：“相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析.
19．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+a与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C0,3，连接BC．

(1)如图1，求a的值及直线BC的解析式；
(2)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC，AD，CD，设直线BC交线段AD于点E．当S△CDES△ACE=12时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A1,0、B3,0两点，交y轴于点C，点P为线段BC下方抛物线上一动点，连接BP，CP．

(1)求抛物线解析式；
(2)在点P移动过程中，△BPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若△DCE与△BOC相似，请直接写出点E的坐标．
21．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−34x2+bx+c经过A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
(3)点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型03 特殊四边形存在性问题
1）平行四边形存在性问题
类型一三定一动

类型二：两定一动

【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.
另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想.
①三定一动
23．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于A，B两点，其中A−1,0，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．
24．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B2,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,8．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求△ACD的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
②两定两动
25．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（2024·甘肃张掖·三模）已知二次函数图象顶点为C1,0，直线y=x+m与该二次函数交于A，B两点，其中A点3,4，B点在y轴上．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)P为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
(3)D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2）矩形存在性问题
解题思路：
1）先直角，再矩形.在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形（方法：“两线一圆”），再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此.
2）先平四，再矩形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式，剩下的都是计算的事.
3）构造“三垂直”直角得矩形
28．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点A4,0的直线AB与y轴交于点B0,4．经过原点O的抛物线y=−x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线y=−x2+bx+c的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B3,0两点，交y轴于点C0,−3．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为1,−4时，求四边形BACP的面积；
(3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线PA，PB分别与直线DH交于点G和点I，求证：点D是线段IG的中点．
30．（2024·青海西宁·一模）综合与探究
如图，抛物线y=12x2−x−4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作DE∥BC交y轴于点E．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，当PF=AF时，求PE的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024·湖南娄底·三模）如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为2,−3时，求四边形ACPB的面积；
(3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3）菱形存在性问题
解题思路：
1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点．
2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
【总结】
菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点.题目一般会给出两个定点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标.此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题，若题目中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段作为菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置.
①三定一动
32．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过点A0,2，对称轴是直线x=2．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为1,−1，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．

(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线l与x轴交于点H，连接AC，CD，BD，求四边形ACDB的面积；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−3的图象交x轴于A−1，0、B3，0两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．

(1) a= ，b= ；
(2)在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
②两定两动
35．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t−1，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
36．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数y1=ax²+bx+c图象顶点坐标为A1，4，一次函数y2=mx+n图象与二次函数图象相交于y轴上一点B0，3，同时相交于x正半轴上点C．

(1)试求二次函数y1=ax²+bx+c与一次函数y2=mx+n的表达式．
(2)连接AB，AC，试求四边形ABOC的面积．
(3)假设点P 是二次函数y1=ax²+bx+c对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A−4,0和点B，与y轴交于点C，且OC=OB．

(1)求该抛物线的函数表达式
(2)连接BC，点D是抛物线的对称轴l上的动点，点E是平面内的点，是否存在以点B、C、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=12x2+2x−6 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．

(1)求出直线AC，BC的函数表达式．
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
4）正方形存在性问题
解题思路：
1）从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直.
2）构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解.
解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标.
39．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A−1,−12和点B2,1．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点Cm+1,y1，Dm+2,y2都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
(3)点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？
41．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线y=−2x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(2,0)两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形AHMN是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+2 a<0与y轴交于点C，与x轴交于A−1,0，B2,0两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型04 其它存在性问题
43．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0,−3，−b,c两点，其中a，b，c为常数，且ab>0．

(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE=38？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．

(1)求抛物线y2的表达式；
(2)设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ−xP的值；
(3)如图②，若抛物线y3=x2−8x+t与抛物线y1=x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m−n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
45．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于点C−1,0和点B(3，0)，与y轴负半轴交于点A．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若直线AB下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交AB于点F，过点P作AB的垂线，垂足为E，求△EFP周长的最大值；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1MS2+1MT2为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．
46．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于A−10，B两点，与y轴交于点C，且满足OB=OC=3OA．

(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段BC上的一点（不与点B，C重合），过点M作NM∥y轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接NB,NC，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
47．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c上点A,C的坐标分别为0,2，4,0，抛物线与x轴负半轴交于点B，连接AC,AB，点Q为抛物线上的点．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ=12S△ABC？若存在，求出Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点M为y轴负半轴上的点，且OM=2，点D是线段BC（包含点B,C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N．若以点Q,N,C为顶点的三角形与△MOC相似，请求出点Q的坐标．

第三章 函数
重难点04 二次函数存在性问题
（15种题型汇总+专题训练+9种解题方法）
【题型汇总】

【命题预测】抛物线与特殊图形的存在性问题多以解答题形式出现，难度较大，多为压轴题，考查几何代数综合.一般是在抛物线的背景下确定特殊图形(如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等)的存在性，多应用分类讨论思想
题型01 二次函数角度存在性问题
角度存在性问题的解题步骤

已知特殊角度求解
已知角度关系求解
第一步
读题、画图、理解题意
第二步
分析动点、定点，找不变特征
第三步
确定分类特征，进行分类讨论
第四步
已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
【温馨提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
1）已知特殊角求解
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为y=−43x2−83x+4，B1,0，C0,4
(2)D−2,−4或D−4,4或D4,4
(3)E−1,277
【分析】（1）将点A(﹣3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,y=0，即可求得B,C两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当AB，AC,BC为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，则A,O,C,G在⊙F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=−x上，进而勾股定理，根据FG=52建立方程，求得点G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，
∴−43×−32−3b+4=0
解得b=−83，
∴抛物线解析式为y=−43x2−83x+4，
当x=0时，y=4，
∴C0,4，
当y=0时，0=−43x2−83x+4
解得：x1=−3,x2=1，
∴B1,0
（2）∵A(−3,0)，B1,0，C0,4，
设Dm,n，
∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形
当AB为对角线时，m+02=−3+12,4+n2=0+02
解得：m=−2,n=−4，
∴D−2,−4；
当AC为对角线时，−3+02=1+m2,4+02=0+n2
解得：m=−4,n=4
∴D−4,4
当BC为对角线时，−3+m2=0+12,0+42=0+n2
解得：m=4,n