中考数学——函数与平面直角坐标系(含3种解题技巧)(含答案).docx

第三章 函数
第09讲 函数与平面直角坐标系
（思维导图+3考点+3命题点13种题型（含3种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 函数
考点二 平面直角坐标系的相关概念
考点三 点的坐标的有关性质
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
►题型01 函数的相关概念辨析
►题型02 求自变量的取值范围
►题型03 函数图象的识别
►题型04 从函数图象上获取信息
►题型05 根据实际问题列函数解析式
►题型06 动点问题的函数图象
命题点二 坐标系内点的坐标特征
►题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
►题型02 坐标与图形变化
►题型03 点坐标规律的探索
►题型04 求坐标系中的图形面积
►题型05 与图形面积有关的存在性问题
命题点三 坐标方法的简单应用
►题型01 实际问题中用坐标表示位置
►题型02 用方向角和距离确定物体的位置

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
函数自变量的取值范围
★★
探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;
了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例；
能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值；
能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;
结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
函数解析式的确定
★
函数图象的判断
★★★
函数图象的分析
★★★
点的坐标特征
★★
理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系;
在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标;
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系;
能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系；
点的坐标变换
★★
坐标与图形
★★
坐标方法的简答应用
★
在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.
在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
【命题预测】该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 函数
1.变量与常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.
2.函数
定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1.
3.函数值
函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
4.函数的表示方法
表示法
定义
优点
缺点
列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法
自变量和与它对应的函数值数据一目了然
列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法
两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法
能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系
求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来
图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法
形象的把自变量和函数值的关系表示出来
图像中只能得到近似的数量关系
【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示，

1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
2．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cms的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积ycm2随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（    ）

A．5 B．7 C．32 D．23
3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为7.9 kg/cm3，铁的质量m kg与体积V cm3成正比例．一个体积为10 cm3的铁块，它的质量为 kg．
4．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y=x-3x+2中自变量x的取值范围是 ．
6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间/min
1
4
13
30
张华离家的距离/km

0.6

②填空张华从文化广场返回家的速度为______kmmin；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中0.6常取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.
原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.
象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
【补充】
1）两条坐标轴不属于任何一个象限.
2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位
3.点的坐标
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图.
【易错点】
1）坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.
2）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.

1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为15,16，那么有序数对记为12,17对应的田地面积为（　　）

A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为a,b，那么b,a（    ）
A．表示a+b排a号 B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号 D．与a,b不可能代表同一个位置
3．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、⋯、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A6,60°、B5,180°、C4,330°，则点D的坐标可以表示为 ．

4．（2023·湖北黄冈·二模）将一组数2，2，6，22，10，…按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
……
若2的位置记为1,2，14的位置记为2,3 ，则103的位置记为 ．
考点三 点的坐标的有关性质
1.点的坐标特征
点M（x，y）所处的位置
坐标特征
象限内的点
点M在第一象限
M（正，正）
点M在第二象限
M（负，正）
点M在第三象限
M（负，负）
点M在第四象限
M（正，负）
坐标轴上的点
点M在x轴上
在x轴正半轴上
M（正，0）
在x轴负半轴上
M（负，0）
点M在y轴上
在y轴正半轴上
M（0，正）
在y轴负半轴上
M（0，负）
点M在原点
M（0，0）
象限角平分线上的点
点M在第一、三象限角平分线上
M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上
M（x，y）且x＝-y
两点连线与坐标轴平行
MN∥x轴（或MN⊥y轴）
M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等
MN∥y轴或MN⊥x轴）
M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等
2.点的坐标变化
对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)
变换方式
具体变换过程
变换后的坐标

平移变换
（a＞0，b＞0）
向左平移a个单位
（x-a，y）
向右平移a个单位
(x+a，y)
向上平移a个单位
(x，y+a)
向下平移a个单位
(x，y-a)
口诀：点的平移左减右加，上加下减.

变换方式
具体变换过程
变换后的坐标

对称变换
关于x轴对称
(x，-y)
关于y轴对称
(-x，y)
关于原点对称
(-x，-y)
口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.

旋转变换
绕原点顺时针旋转90°
（y，-x）
绕原点逆时针旋转90°
（-y，x）
绕原点顺/逆时针旋转180°
(-x，-y)
3.点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则
1）点P到x轴的距离为b；
2）点P到y轴的距离为a；
3）点P到原点O的距离为P＝a2+b2.
4、坐标系内点与点之间的距离
坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：MN=（x2-x1)2+(y2-y1)2
若AB∥x轴，则A(xA,y),B(xB,y)的距离为xA-xB；
若AB∥y轴，则A(x,yA),B(x,yB)的距离为yA-yB；
易错易混】
1）原点既是x轴上的点，又是y轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形OABC的面积为（    ）

A．14 B．11 C．10 D．9
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点Px2+1,-3在第 象限．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A11,-3，A23,-3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,-3…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．

4．（2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点A-2,1向右平移5个单位得到点A'，则点A'的坐标为 ．
5．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(–21)，若AB//y轴，且AB=9，则点B的坐标是 ．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
►题型01 函数的相关概念辨析
1．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ）
A．B．C． D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（   ）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y=x中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
m
    -3
    -2
    -1
1
2
3
n
    -2
    -3
    -6
8
3
2
④图中，曲线表示y是x的函数．

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
3．（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（    ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程xm之间的观测数据
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
►题型02 求自变量的取值范围
解题方法：
类型
举例
取值范围
整式型

全体实数
分式型

分母不能为零
二次根式型

开方式大于或等于零
负整数(零)指数幂型

底数不能为零
分式+根式型

开方式大于零
注意：分母不能为0
【补充】实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义，一般要大于0.
1．（2024·四川巴中·中考真题）函数y=x+2自变量的取值范围是（    ）
A．x>0 B．x>-2 C．x≥-2 D．x≠-2
2．（2023·湖北黄石·中考真题）函数y=xx-1的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D． x＞1
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
4．（2024·上海·模拟预测）函数y=2x-70-x-2x-3的定义域为 ．
►题型03 函数图象的识别
1．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1,y2随时间t变化的函数图象大致为（    ）
  A．B．C．D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）   
   A． B． C．D．
4．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（　　）
A．  B．  C．  D．  
►题型04 从函数图象上获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；
3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.
1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离ym与甲出发的时间xmin之间的函数关系．(    )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600 m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min；
④A，B两地之间的距离是11200 m．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%
3．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ）

A．当P=440W时，I=2A B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　km/h，乙货车的速度是　　　　km/h；
2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km，图书馆离小明家0.8km．小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________km；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________km/min；
③小明读报所用的时间为__________min．
④小明离开家的距离为23km时，小明离开家的时间为__________min．
(2)当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．
►题型05 根据实际问题列函数解析式
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）

A．y=3x B．y=4x C．y=3x+1 D．y=4x+1
2．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为m升、n升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装20升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩10升的水．则m与n之间的数量关系是 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为 ．
►题型06 动点问题的函数图象
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ）

A．B．C．D．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ-DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（    ）

A．423 B．83 C．734 D．114
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积Scm2与运动时间ts之间的函数关系图象大致是（    ）

A． B．
C． D．
5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠D=120°，AD=23厘米，AB=43厘米，点P从点D出发以每秒3厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（    ）

A．B．C．D．
命题点二 坐标系内点的坐标特征
►题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ）
A．(4，-5) B．(5,-4) C．(-4，5) D．(-5,4)
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点m,n在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为0,1，点B的坐标为2,2，则点C的坐标为 ．

4．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
5．（2023·山东日照·中考真题）若点Mm+3,m-1在第四象限，则m的取值范围是 ．
6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2m-12-7=-5；
（2）n-3>0．
试判断点P2m-3,3n-m2所在的象限．
►题型02 坐标与图形变化
1．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为6,0，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（    ）

A．33,3 B．3,33 C．6,3 D．3,6
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知A，B两点的坐标分别为A-3,1，B-1,3，将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C1,2，则点B的对应点D的坐标是 ．

3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是 ．

4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标8,4，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为 ．

►题型03 点坐标规律的探索
1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P32,2，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16-1,9，则点Q的坐标为（    ）
A．6,1或7,1 B．15,-7或8,0 C．6,0或8,0 D．5,1或7,1
2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…的圆心依次按O，A，B，C1循环．当OA=1时，点C2023的坐标是(    )

A．(-1，-2022) B．(-2023，1) C．(-1，-2023) D．(2022，0)
3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100=100×(1+100)2．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n=n(1+n)2（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Aixi,yi，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，且xi,yi是整数．记an=xn+yn，如A1(0,0)，即a1=0,A2(1,0)，即a2=1,A3(1,-1)，即a3=0,⋯，以此类推．则下列结论正确的是（    ）

A．a2023=40 B．a2024=43 C．a(2n-1)2=2n-6 D．a(2n-1)2=2n-4
4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y=33x-33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4⋯，则点A2024的横坐标为 ．

5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是3-32,12；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．

5．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（    ）处．

A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
►题型04 求坐标系中的图形面积
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
(2)连接AA1，CC1，求四边形AA1C1C的面积．
2．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为7,8，2,8，10,4，5,4．

(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
3．（22-23八年级上·湖北鄂州·期中）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

(1)把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB1；
(2)找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．
►题型05 与图形面积有关的存在性问题
1．（2022·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，B(b,0)，且a，b满足a+6+3a-2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．

(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数y1=x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数y2=kx的图象交于A，B两点，已知OC=2，点B的纵坐标为3．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使得△ABE的面积是△AOB面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标．
3．（2024银川外国语二模）如图，点Am,6，Bn,1在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5，连接AB．

(1)求出反比例函数的表达式及直线AB的函数表达式；
(2)在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、C(b,c)三点，其中a、b，c满足关系式|a-2|+(b-3)2+c-4=0．

(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？
5．（22-23七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点A(m，0)，B(n，-m)且m，n满足m-3+n+12=0，AB=5，

(1)直接写出m，n的值；
(2)求三角形AOB的面积；
(3)若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合），
①过点P作射线PE∥x轴，且点E在点P的右侧，请直接写出∠APE，∠ABO，∠AOB的数量关系_______；
②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接OP、BQ，是否存在某一时刻t，使△BOQ的面积是△BOP的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
命题点三 坐标方法的简单应用
►题型01 实际问题中用坐标表示位置
1．（2024·四川·中考真题）如图在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为1,90°,(2,240°)，则点C的位置可以表示为 ．

2．（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是-2,7，则龙洞堡机场的坐标是 ．

3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .

4．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点A2,-1，B1,1，则点C坐标为 ．

5．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用1,4表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为 ．
4
杨
花
落
尽
子
规
啼
，
3
闻
到
龙
标
过
五
溪
．
2
我
寄
愁
心
与
明
月