中考数学——规律探究型问题(2种命题预测+17种题型汇总+专题训练)(含答案).docx

第一章 数与式
重难点01 规律探究型问题
（2种命题预测+17种题型汇总+专题训练）
【题型汇总】
类型一 数与式、图形的规律问题
【命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
题型01 个位数规律
1．（2024·山西大同·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即 21=2,22=4,23=8,24=16,23=32,⋯ 请你推算23024的个位数字是 ．
2．（2024·山东临沂·二模）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是 ．
3．（2021·湖北武汉·一模）观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…，31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,33=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
题型02 单/多项式类规律
4．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A．−19101 B．21101 C．−1982 D．2182
5．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
6．（2021·甘肃武威·中考真题）一组按规律排列的代数式：a+2b,a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7，…，则第n个式子是 ．
题型03 单/多项式类规律
7．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,6,22,10,23,⋯,2n,⋯，按以下方式进行排列：

则第八行左起第1个数是（    ）
A．72 B．82 C．58 D．47
8．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是 ．
9．（2022·山东泰安·中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对n,m表示第n行，从左到右第m个数，如3,2表示6，则表示99的有序数对是 ．
10．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a行b列，则a−b的值为(   )
11
12    21
13    22    31
14    23    32   41
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
题型04 杨辉三角形类规律
11．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为 ．
12．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
1                       (a+b)0=1
1   1                     (a+b)1=a+b
1   2   1                   (a+b)2=a2+2ab+b2
1   3   3   1                 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（    ）
A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4
13．（2020·山东泰安·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，……，第n个数记为an，则a4+a200= ．

题型05 表格类规律
14．（2021·湖北随州·中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（    ）

A．100 B．121 C．144 D．169
15．2020·湖北·中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n=（ ）

A．17 B．18 C．19 D．20
16．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（   ）

A．135 B．153 C．170 D．189
17．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　）

A．990 B．9900 C．985 D．9850
题型06 跨学科类规律（化学）
18．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ）

A．20 B．22 C．24 D．26
19．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

20．（2024·重庆·一模）有机化学中“烷烃”的分子式如CH4、C2H6、C3H8…可分别按下图对应展开，则C100Hm中m的值是（    ）

A．200 B．202 C．302 D．300
21．（2024·广东·三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数＋烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，其分子结构式如图所示，依此规律，己烷的化学式为 ．

题型07 通过观察已知等式求解
22．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12=2×1212+1=23，f(3)=2×33+1=32，f13=2×1313+1=12，计算：f1101+f1100+f199+⋯+f13+f12+f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
23．（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：x1=1+112+122=32=1+11×2；
x2=1+122+132=76=1+12×3；
x3=1+132+142=1312=1+13×4；
……
根据以上规律，计算x1+x2+x3+⋯+x2020−2021= ．
24．（2024·四川遂宁·中考真题）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD=BE=CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC=1，则S△DEF=1−3S△ADF

如图①当ADAB=12时，S△DEF=1−3×14=14
如图②当ADAB=13时，S△DEF=1−3×29=13
如图③当ADAB=14时，S△DEF=1−3×316=716
……
直接写出，当ADAB=110时，S△DEF= ．
25．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题

观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第n个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为S1、S2、S3、…、Sn，可得：S1=1=13；S2=8=23；S3=27=33；…，
(1)由图①直接写出1+2+3+⋯+n=___________，由图②直接写出Sn=___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：13=12；
第2个图形可得等式：13+23=1+22；
第3个图形可得等式：13+23+33=1+2+32；
…
第n个图形可得等式：13+23+33+⋯+n3=14________
(3)根据以上结论计算：23+43+63+⋯+1003．
题型08 通过观察已知等式，猜想第n个代数式
26．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．

27．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，…．
(1)尝试：132−112=8×___________．
(2)归纳：2n+12−2n−12=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
28．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：2×1+12=2×2+12−2×22，
第2个等式：2×2+12=3×4+12−3×42，
第3个等式：2×3+12=4×6+12−4×62，
第4个等式：2×4+12=5×8+12−5×82，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
29．（2024·安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系：
第1个图→22−12=2+1=3
第2个图→32−22=3+2=5
第3个图→42−32=4+3=7
第4个图→52−42=5+4=9
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
(3)运用上述规律计算：20242−20232+20222−20212+20202−20192+⋯+22−12×11012．
题型09 图形固定累加型
30．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（    ）

A．14 B．20 C．23 D．26
31．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
32．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）

33．（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．

题型10 图形递变累加型
34．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ）

A．90 B．91 C．92 D．93
35．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ）

A．297 B．301 C．303 D．400
36．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．

37．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．

(1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；
(2)设图n中有x个“△”，y个“★”，试求y与x之间的数量关系．
38．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】

【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为 ；
(2)第1个图案中★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．
题型11 分区域累加型
39．（2024·河北唐山·模拟预测）嘉嘉利用便利贴拼成一个宝塔形图案，宝塔形图案共有10层，每一层由三列的便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一列皆比前一列多2张，且每一层第一列皆比前一层第一列多2张，则此宝塔形图案是由（    ）张便利贴拼成的．

A．354 B．360 C．384 D．390
40．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．

41．（2024·安徽·模拟预测）下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ．

42．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为1×2，“★”的个数为2×32，图案2中“☆”的个数为2×3，“★”的个数为3×42，图案3中“☆”的个数为3×4，“★”的个数为4×52；…．

(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的23，求n的值．
题型12 图形循环规律
43．（2021百色市模拟）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A,D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（  ）

A．A B．B C．C D．D
44．（2023·浙江衢州·模拟预测）根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024，箭头的方向是以下图示中的（    ）

A． B． C． D．
45．（2024贵州市模拟）如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第2023步到达（    ）

A．A点 B．C点 C．G点 D．F点
46．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A开始沿正方形的边按A→B→C→D→A逆时针方向循环运动，当它的运动路程为2022时点P所在位置为点 ．

题型13 图形类规律
47．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．

48．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，∠AOB=60°，点P1在射线OA上，且OP1=1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2=P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3=P2K2.按照此规律，线段P2023K2023的长为 ．

49．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，在RtΔOAB中，∠AOB=90°，OA=OB，AB=1，作正方形A1B1C1D1，使顶点A1，B1分别在OA，OB上，边C1D1在AB上；类似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是 ．

50．（2020·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到ΔEF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到ΔEF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到ΔEF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则ΔEFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）

类型二 平面直角坐标系中的规律问题 (旋转、平移、翻滚、渐变等)
【命题预测】该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。
题型01 沿坐标运动的点的规律
51．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知A11,−3，A23,−3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,−3…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．

52．（2024·河南南阳·三模）如图，点A11,1，点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4；…按这个规律平移得到点A100，则点A100的坐标为（   ）

A．2100−1,2100 B．299,2100
C．2100−1,299 D．299+1,2100
53．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点−1，1，第2次接着运动到点−2，0，第3次接着运动到点−3，2，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是 ．

54．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如0,1，−1,2，0,2，1,2，2,3，1,3，0,3，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．

题型02 绕原点呈“回”字形运动的点的规律
55．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100=100×(1+100)2．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n=n(1+n)2（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Aixi,yi，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，且xi,yi是整数．记an=xn+yn，如A1(0,0)，即a1=0,A2(1,0)，即a2=1,A3(1,−1)，即a3=0,⋯，以此类推．则下列结论正确的是（    ）

A．a2023=40 B．a2024=43 C．a(2n−1)2=2n−6 D．a(2n−1)2=2n−4
56．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，OA=1，反比例函数y=1x与该回形图的交点依次记为B1、B2、B3、……，则B2024的坐标为 ．

57．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ．

58．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…的圆心依次按O，A，B，C1循环．当OA=1时，点C2023的坐标是(    )

A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
题型03 图形变换的点的规律
59．（2023·山东烟台·中考真题如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P−3,0,A1−2,1,A2−1,0，A3−2,−1，则顶点A100的坐标为（    ）

A．31.34 B．31,−34 C．32,35 D．32,0
60．（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为1,0．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1，边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为 ，点A2023的坐标为 ．

61．（2024河口区模拟）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A12,0，A21,1，A30,0则依图中所示规律，A2024的坐标为 ．

62．2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC=120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．

63．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是3−32,12；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．

64．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(3,0)，将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合．点P是Rt△OAB两锐角平分线的交点，第一次滚动后得到对应点为P1；第二次滚动后得到对应点为P2；……按此规律，则点P2024的坐标是 ．

题型04 坐标轴与直线相结合类规律
65．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x−3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 ．

66．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 ．

67．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4⋯，则点A2024的横坐标为 ．

68．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，延长CB交x轴于点A1，做第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，做第2个正方形A2B2C2C1…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（    ）

A．5×324046 B．5×942003 C．5×322022 D．5×944044
【专项训练】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
3．（2024·重庆南岸·模拟预测）按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ）

A．25块 B．61块 C．85块 D．113块
4．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，那么1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a19的值为（ ）

A．2021 B．6184 C．589840 D．431760
5．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则S阴影=1−12−122−123−124−125−126．借助图形，则12+122+123+⋯122023+122024=（    ）

A．1−122023 B．1−122024 C．1−122025 D．2−122024
6．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，则m= ，n= ．

7．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 cm．

8．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求1+2+3+⋯⋯+100的值时，发现：1+100=101，2+99=101⋯⋯，从而得到1+2+3+⋯+100= 101×50=5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1=1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3=9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+⋯⋯+an= ．（结果用含n的代数式表示）

9．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 ．

10．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式
第1个等式：13×1+21=2−11
第2个等式：34×1+22=2−12
第3个等式：55×1+23=2−13
第4个等式：76×1+24=2−14
第5个等式：97×1+25=2−15
······
按照以上规律．解决下列问题：
1写出第6个等式____________；
2写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
11．（2023宣城三县三模）【观察思考】
如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，…
依此规律，请解答下面的问题．

【规律发现】
（1）第5个图案有________个正方形；
（2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）；
【规律应用】
（3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由．
12．（2024·河北唐山·二模）如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题．
在第1行两个正六边形内填上数字3、−5，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：0+3=3；第2行第2个：3+−5=−2．

(1)填空：a= _______，b= _________．
(2)求c+d+e的值．
(3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为19．若能，求出n的值；若不能，请说明理由．

第一章 数与式
重难点01 规律探究型问题
（2种命题预测+17种题型汇总+专题训练）
【题型汇总】

类型一 数与式、图形的规律问题
【命题预测】数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律一一重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析。主要考査学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，要求学生通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
题型01 个位数规律
1．（2024·山西大同·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即 21=2,22=4,23=8,24=16,23=32,⋯ 请你推算23024的个位数字是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，结合3024÷4=756，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵3024÷4=756，
∴23024的个位数字与24相同，是6，
故答案为：6．
2．（2024·山东临沂·二模）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
先根据已知等式发现个位数字是以1,7,9,3为一循环，再根据2024+1=4×506+1即可得．
【详解】因为70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
所以个位数字是以1,7,9,3为一循环，且1+7+9+3=20，
又因为2024+1=4×506+1，506×20+1=10121，
所以70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
3．（2021·湖北武汉·一模）观察下列算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…，31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,33=65