中考数学——几何热考题（二） 三角形热考模型(10种模型汇总+专题训练+10种模型解析)(含答案).docx

第四章 三角形
重难点08 几何热考题二 三角形热考模型
（10种模型汇总+专题训练+10种方法解析）
【题型汇总】

题型01 A字模型
图示

结论
∠1+∠2 = 180°+∠A
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（    ）．

A．180° B．215° C．235° D．245°
2．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（    ）

A．35° B．40° C．45° D．55°
3．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）

A．210° B．110° C．150° D．100°
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．

5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2＝ °．

题型02 8字模型

8字模型
8字模型-进阶（8字模型+角平分线）
图示

AP平分∠BAD, CP平分∠BCD
结论
∠A+∠B=∠C+∠D, AD+BC＞AB+CD

1. 如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（    ）．

A．262° B．152° C．208° D．236°
2.．（2023临汾市模拟预测）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图（2），AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______．

3．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：

如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．

4．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题

【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度数为 ___________；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A=___________（用含有α和β的代数式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M=α，∠N=β，α+β<180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P=___________．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ___________．（用x、y表示∠P)
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ___________．

题型03 飞镖模型

飞镖模型
飞镖模型-进阶（飞镖模型+角平分线）
图示

BO平分∠ABC, OD平分∠ADC
结论
∠BCD=∠A+∠B+∠D, AB+AD＞BC+CD

1．（2024内江市模拟预测）如图①，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作∠ABC和∠ACB的平分线交于点E1，易得∠E1=∠A+∠D2，如图③，在飞镖模型中作∠ABD靠AB的三等分线，作∠ACD靠AC的三等分线，两条三等分线交于点∠E2，……，依次方法，在飞镖模型中作∠ABD靠AB的n等分线，作∠ACD靠AC的n等分线，两条n等分线交于一点，则∠En−1= ．

2．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．

（1）求证：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；
（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度数．
3．（21-22八年级·全国·假期作业）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝　　；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．

4．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用
（1）直接应用：
①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；
②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；
（2）拓展应用：
①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO1C=__________°；
②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO7C=__________°；
③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则∠ADB=__________°；
④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为__________．
题型04 老鹰抓小鸡模型

老鹰抓小鸡模型
图示

点O为∠A内部的一点
结论
∠1+∠2 = ∠A+∠O
解题方法：腋下两角之和等于上下两角之和.
1．（2023·广东珠海·模拟预测）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ）

A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°，∠1=96°，则∠2 的度数为（    ）

A．30° B．24° C．25° D．26°
3．（2023杭州市模拟）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于(   )

A．40° B．60° C．80° D．140°
4．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，将纸片折叠，使点CD落在AB边上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1+∠2=（    ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2023下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1−∠2）与∠A的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ．
(2)如图②，翻折后，点A落在点A'处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C的度数．
(3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为 ．
6．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
题型05 三角形翻折模型

向内翻折
向外翻折
图示

结论
2∠C=∠1+∠2
2∠C=∠2-∠1
1．（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC、AB交于点D、点E．下列结论：①∠3+∠B=90°；②∠1+∠2=90°；③∠1=∠2；④DF∥AB．其中一定正确的结论有(   )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（21-22七年级下·江苏南京·期末）已知△ABC中，∠A=65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'=35°，则∠1+∠2+∠3= °．

4．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，∠AOB=α，点M是射线OA上的一个定点，点N是射线OB上的一个动点，连接MN， 把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点C处．

(1)如图1，点C在∠AOB的内部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，则a= ．
(2)如图2，若α=45°，ON=2，折叠后点C在直线OB上方，CM与OB交于点E，且MN=ME，求∠OMN的度数及折痕MN的长．
(3)如图3，若折叠后，直线MC⊥OB，垂足为点E，且OM=5，ME=3，直接写出此时ON的长．
5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处．

【观察猜想】
（1）如图①，若∠A=40°，则∠1+∠2=___________°；
若∠A=55°，则∠1+∠2=___________°；
若∠A=n°，则∠1+∠2=___________°；

【探索证明】
（2）利用图①，探索∠1,∠2与∠A的关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图②，把△ABC折叠后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中的结论求∠BA'C的度数．
6．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：
（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为 　，请说明理由；
深入探究：
（2）如图②，若点A'落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75°，∠2=15°．

①∠B的度数为 　　；
②若BE=22，AD=12AE，求点H到BC的距离．
题型06 三角形双角平分线模型

两内角平分线模型
两外角平分线模型
一内一外角平分线
条件
已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF

BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD

图示

结论
∠D = 90°+∠A
∠D = 90°-∠A
∠E = ∠A
1．（2022-2023七年级下·江苏常州·期末）【基本模型】：
（1）如图1，BO平分△ABC的内角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，试证明：∠BOC＝12∠A；
【变式应用】：
（2）如图2，直线PQ⊥MN，垂足为点O，作∠PON的角平分线OE，在OE上任取一点A，在ON上任取一点B，连接AB，作∠BAE的角平分线AC，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点F，请问：∠F的大小是否随着点A，B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数；
（3）在（2）的基础上，若FC∥MN，则AB与OE有何位置关系？请说明理由．

2．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角(∠A)的三角板模型，现要知道∠A的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度数，再求得∠A的度数，而是分别画出∠MBC的角平分线与∠NCB的外角平分线相交于点P，测得∠P=26°，请告知∠A= °.

3．（22-23七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．
解：结论：∠P= _________．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．
∴∠P=180°−∠PBC−∠PCB
=180°−12∠ABC+∠ACB
=180°−12180°−∠A
=_________．
【模型发展】如图②，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．
【解决问题】如图③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，点Q是△PBC的外角平分线BQ与CQ的交点．若∠A=68°，则∠Q=______度．

4．（1）如图（1），在△ABC 中，∠BAC=70°，点 D 在 BC 的延长线上，三角形的内角∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P，求∠P 的度数.（写出完整的解答过程）

【感知】：图（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代数式表示）
【探究】：如图（2）在四边形 MNCB 中，设∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P.为了探究∠P 的度数与 α 和 β 的关系，小明同学想到将这个问题转化图（1）的模型，因此，他延长了边 BM 与 CN，设它们的交点为点 A， 如图（ 3 ）， 则∠ A= （用含有 α 和 β  的代数式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代数式表示）
【拓展】：将（2）中的 α+β＞180°改为 α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点 P，其它条件不变，请直接写出∠P＝ 　　．（用 α，β的代数式表示）
5（22-23七年级下·江苏苏州·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°，则∠P=________；
(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度数．
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=100°，则∠BPC=________；
(4)【拓展提升】如图4，在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，∠DCF=β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
题型07 三角形面积比问题

底相同
高相同
已知
∆ABC中BC边上的高为AE，
∆BCD中BC边上的高为DF
∆ABC中，D为BC上一点.
∆ABC中BC边上的高为h
图示

结论
三角形底相同时，面积比等于高之比
三角形高相同时，面积比等于底之比
1．（22-23八年级下·河北唐山·开学考试）小明学习了角的平分线后，发现角平分线AD分得的△ABD和△ADC的面积比与两边长有关，在图中，若AB=10，AC=6，你能帮小明算出下面两个比值吗？

（1）S△ABDS△ADC= ；
（2）BDDC= ．
2．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）如图；在△ABC中，△ABE、△BEF、△BCF和四边形AEFC的面积都相等．若DF:FC=3:2，△ABC的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字）

（1）线段AD与线段DB的比值ADDB= ；
（2）△GEF的面积是 ．
3．（2023·山东青岛·二模）【模型】
同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．

已知，如图1，△ABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：S△ABDS△ACD=BDCD．
【模型应用】
（1）如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF= ___________ ．
（2）如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF= ___________．
（3）如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF= ___________ ．
【拓展与应用】
（4）如图5，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP，则图中阴影部分的面积是___________．
4阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是ΔABC中BC边上的中线，则SΔABD=SΔACD=12SΔABC．
理由：∵BD=CD，∴ SΔABD=12BD×AH=12CD×AH=SΔACD=12SΔABC，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，ΔABC的面积为a．
(1)如图2，延长ΔABC的边BC到点D，使CD=BC连接DA．若ΔACD的面积为S1，则S1=___________（用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长ΔABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若ΔDEC的面积为S2，则S2=___________（用含a的代数式表示），并写出理由；

(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到ΔDEF（如图4)．若阴影部分的面积为S3，则S3=___________；（用含a的代数式表示）
拓展与应用：
(4)如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接FH,EG交于点O，求图中阴影部分的面积？

5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点，连接AD，点E为AD上一点，连接CE，∠DEC=60°，

(1)求证：BE平分∠AEC
(2)如图2，点F是AB上一点、CD=BF，连接CF交BE于点M．求证：点M为CF中点．
(3)在（2）的条件下，若AEDE=32，直接写出△AEC与△BCM面积的比值．
6．阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值.

小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以SΔA1BC=SΔB1CA=SΔA1BC=SΔC1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题.
（1）直接写出S1= （用含字母a的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值.
题型08 双腰上的高求定值
类型
点D在BC上
点D在BC的延长线上
条件
在△ABC中，AB=AC
在△ABC中，AB=AC
图示

结论

1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高BD记为ℎ，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离ME、MF分别记为ℎ1、ℎ2．

(1)兴趣小组现需要证明ℎ=ℎ1+ℎ2，请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）．
证明：连接AM，由题意得BD=ℎ，ME=ℎ1，MF=ℎ2，
∵S△ABC=S△ABM+S ，S△ABM=12×AB×ME=12AB×ℎ1，
S△AMC=12×AC×MF=12AC×ℎ2，S△ABC=12AC×BD=12AC×ℎ，
∴12AC×ℎ=12AB×ℎ1+12AC×ℎ2，
又∵AB=AC，
∴12AC×ℎ=12AC×ℎ1+12AC×ℎ2=12AC（ ），
∴ℎ=ℎ1+ℎ2．
(2)当点M在BC延长线上时（M点在C点的右边），ℎ1、ℎ2、ℎ之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）．
(3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=34x+6，l2：y=−3x+6，若l2上的一点M到l1的距离是2，请直接写出点M的坐标．
2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．

(1)如图1，BC是AC边上的高，CD是AB边上的高，我们知道S△=12×底×高，则S△ABC=12AC⋅BC=______．
(2)如图1，若∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，CD是斜边AB上的高线，用等面积法求CD的长．
(3)如图2，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，过A作AH⊥BC于点H，且AH=12，P为底边BC上的任意一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，连接AP，利用S△ABC=S△ABP+S△ACP，求PM+PN的值．
3．（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰△ABC中，S△ABC=S△APB+S△APC．即12AB·DC=12AB·MP+12AC·PN，∵AB=AC，∴DC=MP+PN,MP+PN是个固定值．

(1)如图1，在矩形ABCD中，AC与DB交于O，AB=3,AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为_________．
知识应用：
(2)如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13,CN=5,▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边．△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF−PD=3，请直接写出△ABC的面积_________．
4．（22-23八年级下·山东济南·期末）已知△ABC中，AB=AC，BM⊥AC于点M，点D在直线BC上，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F．

(1)如图1，点D在边BC上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了DE，DF，BM三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是_______；
(2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中DE，DF，BM三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．
题型09 维维亚尼模型
类型
点D在△ABC内
点D在△ABC外
条件
△ABC是等边三角形
图示

结论

1．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
请用等面积法的思想解决下列问题：

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______．
(2)如图1，反比例函数y=−6xx>0的图像上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为______．
(3)如图2，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12aℎ1+ℎ2+ℎ3=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+ℎ2+ℎ3=32a；如图3，若P是边长为4的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，ℎ5，参照上面的探索过程，求ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5的值．（参考数据：tan36°≈23，tan54°≈32）
(4)如图4，已知⊙O的半径为1，点A为⊙O外一点，OA=2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
(5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆．用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积V=13底面积×高）
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边△ABC，点P是平面上任意一点，设点P到△ABC边AB、AC边的距离分别为PD、PE，△ABC的BC边上的高为AM．回答以下问题：

(1)如图（1），若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程．
(2)如图（2），当点P在△ABC内，已知AM=10求PD+PE+PF的值．
(3)如图（3），当点P在△ABC外，请直接写出AM与PD、PF、PE的数量关系，不用证明．  
题型10 等边三角形类弦图模型
条件
在等边△ABC中，AE=CD，求AD与BE的数量关系及夹角∠BFD的大小.
图示

结论
①数量关系：BE=AD；②夹角关系：∠BFD=60°
1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知D，E分别是等边三角形ABC中AB，AC边上的点，且AD=CE，连接CD，BE，交于点F．请判断∠DFB与∠ACB之间有怎样的数量关系，并说明理由．

2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的动点，且AE=BD，AD交CE于点F．

(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______；∠CFD的度数为______；
(2)如图2，过C作CP⊥AD于P，PF=1；

①求CF之长；
②若∠CEB=75°，求AB之长；
(3) 如图3，CP⊥AD于P，连接BF，若BF⊥CF，求证：PF=AF．

第四章 三角形
重难点08 几何热考题二 三角形热考模型
（10种模型汇总+专题训练+10种方法解析）
【题型汇总】

题型01 A字模型
图示

结论
∠1+∠2 = 180°+∠A
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（    ）．

A．180° B．215° C．235° D．245°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，
∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（    ）

A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】A
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1−∠4，根据平行线的性质可得∠2=∠3．
【详解】解：如图，

由题意知∠4=90°，AB∥CD，
∵ ∠1=∠4+∠3，∠1=125°，
∴ ∠3=∠1−∠4=125°−90°=35°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠2=∠3=35°．
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等．
3．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）

A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．

【答案】240
【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，

∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60°，
∵ ∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，

∴ ∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵ ∠AED+∠A+∠ADE=180°，
∴ ∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2＝ °．

【答案】230
【分析】根据三角形的内外角之间的关系可求解.
【详解】解：三角形的内角和等于180°，∠D＝50°，
∴∠1=∠D