中考数学——几何压轴题（二 ）相似模型(6大类型20种模型详解+20种模型专题训练)(含答案).docx

第四章 三角形
重难点12 几何压轴题二 相似模型
（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）
【题型汇总】

类型一 A型模型
类型
A型模型
作平行线构造A型相似
条件
DE∥BC
点D在线段AB上
图示

结论
∆ADE∽∆ABC
过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为
如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为
题型01 直接用A型相似
1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB=AC，拉杆EF∥BC， AE=16AB，EF=0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（    ）

A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．103米
2．（20-21九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2024·广东东莞·二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，AB=BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，且PD⊥BC，垂足为点D．

(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若tanC=12,BD=2，求⊙O的半径．
题型02 构造A型相似
1．（2020·湖北武汉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE＝ ．

2．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．

3．（2020·浙江杭州·一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．

题型03 反A型模型
类型
条件
图示
结论
反A型模型
∠1=∠2

∆ADE∽∆ABC，
AD•AC=AE•AB
作垂线构造反“A”字相似模型
∠B=90°，E为AB上的一点

∆ADE∽∆ABC，AD•AC=AE•AB
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为 ．

2．（2020·山东潍坊·二模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
3．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．

4．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

(1)求证：△ABE∽△DCE；
(2)当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE−DECE=___________；AFAB+FEAD=___________；1AB+1AD−1AF=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S,S1,S2，若满足S=S1+S2，试判断，△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE⋅CE．
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求证：BDAB=BEBC．

【问题探究】（2）如图2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，作EF⊥BC于点F，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=AC时，直接写出∠BCD的正切值tan∠BCD．
题型04 作垂线构造反“A”字相似模型
1．（2024 九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．

类型二 X型模型
类型
X型模型
作平行线构造X型相似
条件
AB∥CD
=k
图示

结论
∆AOB∽∆COD
过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造∆AOB∽∆COD，可得
题型01 直接用X型相似
1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（　　）

A．23 B．12 C．13 D．34
2．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的长．

3．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．

(1)若CD=40cm，求AB的长；
(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度∠AOB=106°，求AB距离地面的高．(结果保留整数)(参考数值sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)
4．（20-21九年级上·四川达州·期末）某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？

5．（2021·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．

（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
题型02 构造X型相似
1．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD= ．

2．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= ．

3．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．

题型03 双反X型模型（蝶形模型）
条件：∠OAB=∠ODC
图示：
结论：∆AOB∽∆DOC ，∆AOD∽∆BOC
1．（22-23九年级上·上海·期中）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．

(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)求证：DA•OC＝OD•CE．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的两点，BD=CE．

(1)求证：∠BAD=∠CBE；
(2)H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，求AFFH的值；
迁移拓展：
(3)如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1．E是AC上的点，CE=2BD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，直接写出HG的长．
类型三 母子相似
题型01 母子相似模型
类型
母子相似模型
构造母子相似模型
条件
点D在AC边上，∠1=∠2
∠ABE=∠C
图示

结论
∆ACD∽∆ABC，
延长BE交AC于点F
∆ABF∽∆ACB
过点C作CG∥BF交AB延长线于点G, ∆ABC∽∆ACG
1．（21-22九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现；（1）如图1，在△ABC中，∠B=∠CAF；求证：AC2=CF·BC；
初步应用：（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AB，BE⊥AD，连接CE、CD；求证：BEBD=CECD．
迁移拓展：（3）如图3，在△ABC中，∠B∠CAF，H为AC上一点使CH=CF，过H作HG∥BC交AB于G，AG=AF，求BFCF的值；

3．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．

(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
4．（2023·江苏淮安·三模）【探究发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH=AD，连接CH．由∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为______，位置关系为______．

【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K．试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一动点，连接BE交AD于点F．
①若BF=AC．求AE的长度；
②在射线AD上取一点G，且AGCE=45，连接BG，直接写出4BE+5BG的最小值．
题型02 射影定理模型
类型
射影定理
作高用射影定理
条件
∠ABC=∠ADB=90°
F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°
图示

结论
1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD
2) ,
,
3）AB•BC=BD•AC（面积法）
过点C作CD⊥AB于点D
∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB
1．（2022·四川广元·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
2．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______．
(2)问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD⋅AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
②若DE=2CE，求OF的长．
3．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：
①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD（依据）．∴BDAD=ADCD．即AD2=BD⋅DC．

(1)材料中的“依据”是指　　　　；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C−3,0，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝210，CD＝2，则△ABE的面积为 ．

类型四 一线三等角模型
类型
一线三等角模型（同侧型）
一线三垂直模型（同侧型）
条件
∠B=∠D=∠ACE=α
∠B=∠D=∠ACE=90°
图示

结论
∆ABC∽∆CDE
ABCD=BCDE=ACCE 或BC•CD=AB•DE
∆ABC∽∆CDE
ABCD=BCDE=ACCE或BC•CD=AB•DE
【一线三等角/一线三垂直的出题样式】
题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，当三个相等角不是直角时，亦可构造“一线三等角”相似模型.

题型01 一线三垂直模型
1．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，FG⊥AB．

(1)证明：△DAE∽△EGF
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF
2．（2023·贵州铜仁·三模）如图1将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．
3．（2024·广西玉林·三模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点H为AB上一动点，且2≤BH<4，截取HM=HB，且HM交线段AD于M，过M作HM的垂线MN交DC于N．

(1)求证：△AHM∽△DMN；
(2)如图2，若点M是AD的中点，求△DMN的周长；
(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，△DMN的周长如何变化？请说明理由．
题型02 一线三等角模型
1．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．

(1)证明：△BDA∽△CED；
(2)若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．

(1)如图1，若∠A=∠B=∠DEC50°，证明：△ADE∽△BEC．
(2)如图2，若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ．
4．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α，线段BC与DE的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，写出变化后线段BC与DE的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．

类型五 热考模型
题型01 对角互补模型
【基础模型】
条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE
图示：
解题策略：
方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以,
由于,则.
方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G, 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则
结论：
1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转，当OAOB=12时，OPOQ的值为 ；当OAOB=mn时，OPOQ的值为 ．（用含m，n的式子表示）

2．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，点D是AC边的中点．将一块直角三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转，使它的两条直角边分别与线段AB，BC交于点P，Q．

(1)如图（2），当DP⊥AB时，猜想线段AP，DQ之间的数量关系，并给予证明．
(2)佳佳发现，在三角板旋转过程中，DPDQ=BCAB，请你利用图（1）证明这个结论．
(3)当点P，B重合时，如图（3），线段AP，PQ，CQ之间满足一定的等量关系，请你探索AP，PQ，CQ之间的数量关系．
3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线BC于点F．探究线段DE,DF之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当n=1时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．
小亮：
证明：连接CD．

由题意，可知AD=BD，
即D为AB的中点．
∴CD=AD=BD,CD平分∠ACB，
CD⊥AB．
∴∠ACD=∠BCD=∠B=45°,∠CDB90°．
∵ED⊥FD,∴∠EDF=∠CDB=90°．
∴∠EDF−∠CDF=∠CDB−∠CDF．
∴∠CDE=∠BDF．
∴△CDE≌△BDFASA．
∴DE=DF．
小红：
证明：过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H．
由题意，可知AD=BD,△ADN和△BDH均是等腰直角三角形，四边形CNDH是矩形．

∴AN=DN,NC=DH．
易得DN∥BC,∴ADDB=ANNC=DNDH=1．
∴DN=DH．
……
(2)【深入探究】
①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段DE,DF之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段DE,DF之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接EF，设EF的中点为M，若AC=4，请直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长．
4．（2020九年级·河南·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．

（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
题型02 角含半角相似模型

90°含45°
120°含60°
条件
∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC
∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE
图示

结论
∆BAE∽∆ADE∽∆CDA
∆BAE∽∆ADE∽∆CDA
1．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合点E不与点C重合），则结论BE⋅CD=AB2是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，求证：△ADE∽△△ACF；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=9cm，则线段DE的长为 cm．

2．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D'AE．
在△DAE和△D'AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，AE=AE，
∴___①___．
∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，___②___．
∵CD'=BD=3，CE=4，

∴DE=D'E=___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

3．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC=PD．

(1)若PC=CD,∠APB=120°，则△APC与△PBD相似吗?为什么?
(2)若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB=_______°时，△APC∽△PBD；
(3)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD?请说明理由．
题型03 手拉手相似模型
条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，
图示：
解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE
结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC
1．（2022·安徽合肥·三模）如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC'沿C'B'方向平移至EB'，连接BE，若CC' =6，则BE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．2
2．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 ．

3．（2021·山西·模拟预测）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．数学思考：

(1)在图1中，BDCE的值为 　 ；
(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；
(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
4．（22-23九年级上·山西临汾·期中）综合与实践
问题情境：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，连接AE，连接CD并延长交AE于点F．

猜想验证：
(1)试猜想△CBD与△ABE是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：
(2)如图，连接BF交DE于点H，AB与CF相交于点G，DHBH=FHEH是否成立？并说明理由．
拓展延伸：
(3)若CD=EF，直接写出BCAB的值．
5．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．

实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE与DF所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为______．
6．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
题型04 12345模型
模型简述：若两个锐角α、β满足tanα=12 ，tanβ=13，则α+β=45°，上面的条件，只要其中两个条件成立，另一个条件也成立.（知二推一）
【结论1】如图所示，在正方形网格中已知
tan∠1=13，tan∠2=12 ，则∠1+∠2=45°
【结论2】如图所示，已知tanα=12，∠EAF=45°，则tan∠DAF =13
正方形网格中构建如图所示矩形,
假设正方形网格边长为1，则DF=1，AD=BC=3
∴tan∠DAF =13

【结论3】如图所示，已知tan∠DAF=13，∠EAF=45°，则tanα=12
⑥上右图，若两个锐角α、β满足tanα=2 ，tanβ=3，则α+β=135°
【总结】
1）需要强调α+β=45°是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tanα=12 ，tanβ=13，就有α+β=45°.实际上，tanα=12 ，tanβ=13，α+β=45°这三个条件，只要知道其中两个就可以推出剩下的一个，即知二推一.
2）“12345”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.
1．（2021·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE= （点A，B，C，D，E是网格线交点）．

2．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为 ．

3．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（    ）

A．25 B．3 C．5 D．2
4．（2020·吉林长春·二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（    ）

A．43 B．2 C．83 D．3
5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AB的中点，连接AE，点G是线段AE上一点，连接GF，延长FG交CD于点M，若AB=4，∠AGF=45°，则CM的长为 ．

6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C2，0，点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值为 ．

类型六 其它模型
题型01 三平行模型
条件
AB∥EF∥CD
图示

结论
1AB+1CD=1EF，1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为 ．

2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（    ）

A．75 B．125 C．35 D．25
3．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．

4．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A，过点D作DC∥EF交BE的延长线于点C．

(1)求证：1AB+1CD=1EF；
(2)请找出SΔABD，SΔBED，SΔBDC之间的关系，并给出证明．
5．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点E，点F在BD上．求证：1AB+1CD=1EF；

小雅同学的想法是将结论转化为EFAB+EFCD=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE与BC相交于点G，点H在AB上，AE=AC．求证：1GH−1AC=2BD．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD交于点M，过点M作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，连接EC，FD交于点N，过点N作GH∥AB，交AD于点G，交BC于点H，若AB=3，CD=5，直接写出GH的长．
题型02 三角形内接矩形模型
类型
三角形内接正方形
三角形内接矩形
图示

解题大招
在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y
在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，
则
在正方形GFED中边长为a，则
【提示】大招结论切勿死记硬背，解题时首先根据已知条件得到∆AGF∽∆ABC，从而得到，再将相关数值代入求解.
1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6cm，BC=12cm，则正方形MNPQ的边长为 ．

2．（2024·河南·三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作∠ACB的角平分线，交斜边AB于点D；然后过点D，分别作AC，BC的垂线，垂足分别为F，E，则DF=DE．（依据1）容易证明四边形DFCE是正方形．

用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果Rt△ABC的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点C作CD⊥AB，垂足为D；
第二步，延长AB到M，使得BM=AD，连接CM；
第三步：作∠BDC的平分线，交MC于点E；
第四步：过点E分别作DC，DB的垂线，垂足分别为P，K，EP交B