中考数学——圆(章节测试)(含答案).docx

章节综合训练六 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（    ）

A．2 B．22 C．23 D．4
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）

A．34 B．23 C．12 D．22
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A的度数为（    ）

A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（    ）

A．1 B．2 C．2 D．3
7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（    ）

A．4 B．42 C．5 D．52
8．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ）

A．43π−3 B．43π C．23π−3 D．43π−34
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kxk为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（    ）

A．43 B．33 C．23 D．3
10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（    ）

A．3 B．32 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD= °．

12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
13．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE的长为 ．

14．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 ．

15．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55BC的最大值为 ．

16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD=∠DAC；
②AF=FG；
③当DG=2，GB=3时，FG=142；
④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是3．
上述结论中，正确结论的序号有 ．

三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
18．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

19．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．

(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
20．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE=AD．

(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
21．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．

（1）兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB．理由如下：
∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠B=①______
∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD
∴ABAC=②______
∴AC2=AD⋅AB
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．

22．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．

(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
23．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cos33°≈1113，tan33°≈1320．

24．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…

任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
25．（2024·山东日照·中考真题）如图1，AB为⊙O的直径，AB=12,C是⊙O上异于A,B的任一点，连接AC,BC，过点A作射线AD⊥AC,D为射线AD上一点，连接CD．

【特例感知】
（1）若BC=6．则AC=_______．
（2）若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=3，连接OD．
（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；
（4）求OD长度的取值范围．

章节综合训练六 圆
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（    ）

A．2 B．22 C．23 D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根据CD=2得到AC=2CD=4，最后根据勾股定理求解即可得到答案
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AD，∠ABD=60°，
∴∠ACD=∠ABD=60°，
∴∠DAC=90°−60°=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=42−22=23，
故选：C．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ）

A．34 B．23 C．12 D．22
【答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设AB=2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接EG，HF，设AB=2a，则圆的直径为2a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EG=FH=AB=2a，
∴小正方形的面积为：12×2a×2a=2a2，

则飞镖落在阴影区域的概率为：2a22a2=12．
故选：C．
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°，有圆的切线定理可得出∠BAC=90°，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵AD=AD，
∴∠B=12∠AOD=40°．
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°−40°=50°．
故选：D．
4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积π×底面半径×母线长．
【详解】解：S侧=πrl=π×3×4=12π，
故选：B．
5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A的度数为（    ）

A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°．根据三角形外角定理可得∠ABC=∠E+∠ECB，∠ADC=∠F+∠DCF，由此可得∠ECB=41°，又由∠ECB+∠BCD=180°，可得∠A=∠ECB，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°,
∵∠ABC=∠E+∠ECB，∠ADC=∠F+∠DCF，
∴∠E+∠ECB+∠F+∠DCF=180°，
∵∠ECB=∠DCF，∠E=54°41'，∠F=43°19'，
∴54°41'+43°19'+2∠ECB=180°，
解得∠ECB=41°，
∵∠ECB+∠BCD=180°，
∴∠A=∠ECB=41°．
故选：C
6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（    ）

A．1 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接OA，OF，作OG⊥AF于G，证明△AOF是等边三角形，可得FG=12AF=1，然后利用勾股定理求出OG即可．
【详解】解：如图，连接OA，OF，作OG⊥AF于G，

∵OF=OA，∠AOF=360°×16=60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2，
∵OG⊥AF，
∴FG=12AF=1，
∴OG=22−12=3，
即它的内切圆半径为3，
故选：D．
7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（    ）

A．4 B．42 C．5 D．52
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，
∴OE⊥AB，AE=12AB=4，
在Rt△AOE中，OA=OE2+AE2=42+42=42，
故选：B．
8．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ）

A．43π−3 B．43π C．23π−3 D．43π−34
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，得三角形AOO'是等边三角形，求出AB=3，S弓形AO'=S扇形AOO'−S△AOO'=2π3−3，再根据S阴影=S弓形AO'+S扇形AO'O，即可解答．
【详解】解：如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，

∵OA=OO'=AO'=2，
∴三角形AOO'是等边三角形，
∴∠AOO'=60°，OB=12OO'=1，
∴AB=22−12=3
∴S弓形AO'=S扇形AOO'−S△AOO'=60π×22360−2×3×12=2π3−3,
∴S阴影=S弓形AO'+S扇形AO'O=2π3−3+2π3=4π3−3．
故选：A．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（    ）

A．43 B．33 C．23 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，OH=DH=12OH，进而得到EH=32OD，设OD=2m，则OH=m，HE=3m，则Em，3m，D2m，0，即可得到点2m，3在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到k=2m⋅3=m⋅3m，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，

∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，∠EOD=360°6=60°，
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD，
∵EH⊥OD，
∴OH=DH=12OD，
∴EH=DE2−DH2=32OD，
设OD=2m，则OH=m，HE=3m，
∴Em，3m，D2m，0，

∵将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点2m，3在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴k=2m⋅3=m⋅3m，
解得m=2或m=0（舍去），
∴k=2m⋅3=43，
故选：A．
10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（    ）

A．3 B．32 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．
【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，AB∥CD，
∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=32+12=2，
∴OA=OC=12AC=1，
∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
AE=CF∠EAO=∠FCOOA=OC
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠AOE=∠COF，
∴E，O，F共线，
∵AG⊥EF，H是OB中点，
∴在Rt△AGO中，GH=12AO=12，
∴G的轨迹为以H为圆心，12为半径即AO为直径的圆弧．
∴AG的最大值为AO的长，即AGmax=AO=1．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD= °．

【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，从而得出∠CAD的度数．
【详解】解：连接OD，
∵ CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=90°，
∵∠C=20°，
∴∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAD=12∠COD=35°，
故答案为：35
12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】1cm
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为Rcm，弧长为lcm，
由题意得：90π×R2360=4π，
解得：R=4（负值舍去），
则12l×4=4π，
解得：l=2π，
∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷2π=1cm，
故答案为：1cm．
13．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE的长为 ．

【答案】5
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
先证∠DAF=∠ABD可得△DAF∽△DBA从而得到DFAD=ADBD=tanB=12，求得AD=2，再运用勾股定理可得AF=5，再根据圆周角定理以及角的和差可得∠AED=∠AFD，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AH是⊙O的切线，
∴∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠ABD=90°−∠DAB，
∴△DAF∽△DBA，
∴DFAD=ADBD=tanB=12，
∵DF=1，
∴AD=2，
∴AF=5，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD=∠DAC=∠DAF，
∵∠ADE=∠ADF=90°，
∴90°−∠DAE=90°−∠DAF，即∠AED=∠AFD，
∴AE=AF=5．
故答案为：5．
14．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 ．

【答案】105°/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC，利用等边对等角得出∠OAB=∠OBA=20°，∠OCB=∠OBC，利用切线的性质可求出∠OBC=∠OCB=55°，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接OC，

∵OA=OB=OC，∠AOB=140°，
∴∠OAB=∠OBA=12180°−∠AOB=20°，∠OCB=∠OBC，
∵CP是切线，
∴∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°，
∵∠BCP=35°，
∴∠OBC=∠OCB=55°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠ABC=105°，
故答案为：105°．
15．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55BC的最大值为 ．

【答案】52
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示，利用三角函数定义得到AC+55BC=AC+DC，延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图所示，从而确定AC+55BC=AC+DC=AC+CE=AE，∠E=45°，再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC+55BC的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
  ∵ tan∠C=2，
∴在Rt△BCD中，设DC=x，则BD=2x，由勾股定理可得BC=5x，
∴DCBC=x5x=55，即55BC=DC，
∴ AC+55BC=AC+DC，
延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图所示：
  ∴ AC+55BC=AC+DC=AC+CE=AE，
∵ BD⊥DE，DE=2x=BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E=45°，
在△ABE中，AB=5，∠E=45°，由辅助圆-定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图所示：
  ∴由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC+55BC的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图所示：
  ∵AE是⊙O的直径，
∴ ∠ABE=90°，
∵∠E=45°，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∵AB=5，
∴ BE=AB=5，则由勾股定理可得AE=AB2+BE2=52，即AC+55BC的最大值为52，
故答案为：52．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键．
16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD=∠DAC；
②AF=FG；
③当DG=2，GB=3时，FG=142；

④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是3．
上述结论中，正确结论的序号有 ．

【答案】①②③
【分析】如图：连接DC，由圆周角定理可判定①；先说明∠BDE=∠AGD、∠ADE=∠DAC可得DF=FG、AF=FD，即AF=FG可判定②；先证明△ADG∽△BDA可得ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,代入数据可得AD=10，然后运用勾股定理可得AG=14，再结合AF=FG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，易得∠AOD=∠DOC=60°，从而证明△AOD,△ODC是等边三角形，即ADCO是菱形，然后得到∠DAC=∠OAC=30°，再解直角三角形可得DG=23，根据三角形面积公式可得S△ADG=63，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．
【详解】解：如图：连接DC，

∵D是AC的中点，
∴AD=DC,
∴∠ABD=∠DAC，即①正确；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠AGD=90°，
∵DE⊥AB
∴∠BDE+∠ABD=90°,
∵∠ABD=∠DAC，
∴∠BDE=∠AGD，
∴DF=FG，
∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠ABD=∠DAC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AF=FD，
∴AF=FG即②正确；
在△ADG和△BDA,
∠ADG=∠BDA=90°∠DAG=∠DBA，
∴△ADG∽△BDA，
∴ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,
∴AD2+3=2AD，即AD=10,
∴AG=AD2+DG2=14,
∵AF=FG，
∴FG=12AG=142，即③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，
∵BD=2AD，AB=6，D是AC的中点，
∴AD=DC=13AB,
∴∠AOD=∠DOC=60°，
∵OA=OD=OC，
∴△AOD,△ODC是等边三角形，
∴OA=AD=CD=OC=OD=3，即ADCO是菱形，
∴∠DAC=∠OAC=12∠DAO=30°，
∵∠ADB=90°，
∴tan∠DAC=tan30°=DGAD，即33=DG3，解得：DG=3,
∴S△ADG=12AD⋅DG=12×3×3=332，
∵AF=FG
∴S△DFG=12S△ADG=334，即④错误．

故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
【答案】(1)6−3625π
(2)3541
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切线的性质得出AD⊥BC，利用等面积法求出AD=125，然后利用S阴影=S△ABC−S扇形求解即可；
（2）延长CA交⊙A于P，连接BP，则CP最大，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶连接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=32+42=25=52=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵BC与⊙A相切于D，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=12AD⋅BC=12AC⋅AB，
∴AD=AC⋅ABBC=3×45=125，
∴S阴影=S△ABC−S扇形=12×3×4−90π×1252360=6−3625π；
（2）解∶延长CA交⊙A于P，连接BP，此时CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=125，
∴PB=AP2+AB2=3541．
18．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

【答案】BC与⊙O相切，理由见解析
【分析】连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD=∠OAD，进而证明AC∥OD，则∠ODB=∠ACB=90°，因此OD⊥BC，然后由切线的判定即可得出结论．
【详解】解：BC与⊙O相切．
证明：连接OD．

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点C'落在边AB上，
∴∠CAD=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴AC∥OD．
∴由∠ACB=90°，得∠ODC=90°，即OD⊥BC．
∴BC与⊙O相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
19．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．

(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
【答案】(1)作图见解析，B1(3，2)
(2)作图见解析，π
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，C1运动到点C2所经过的路径长即为弧长即可可求解
【详解】（1）解：△A1B1C1如下图所示：

由图可知：B1(3，2)；
（2）解：△A2B1C2如上图所示：
C1运动到点C2所经过的路径为：π×B1C1×90°180=π×2×90°180=π
20．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE=AD．

(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
【答案】(1)见详解
(2)45°
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB=∠E，等量代换可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．
（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵CD=DB
∴∠CAD=∠DAB，
∵DE=AD，
∴∠DAB=∠E，
∴∠CAD=∠E，
又∵∠C=∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如下图：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
设∠CAD=∠DAB=α，
∴∠CAE=2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA
∴∠ADC=∠CAE=2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
即2α+2α+90°=180°，
解得：α=22.5°
∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°

21．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．

（1）兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB．理由如下：
∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠A+∠ACD=90°
∴∠B=①______
∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD
∴ABAC=②______
∴AC2=AD⋅AB
请完成填空：①_②______；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）215
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明△AFD∽△ABE，得出∠ADF=∠AEB=90°，即可得出答案；
（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0CD，得出∠CDD0=∠CE0E=90°，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，连接CE'，根据垂线段最短，得出当点E在点E'处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=9