中考数学——利用函数解决实际问题(13种题型汇总+专题训练)(含答案).docx

第三章 函数
微专题03 利用函数解决实际问题
（13种题型汇总+专题训练）
【题型汇总】

【专项训练】
题型01 最大利润问题
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1)求a,b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
3．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元．且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
(1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
4．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下表：

单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天

10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2=ax2+bx+25刻画，其图象如图：

(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润=单价×销售量−固定成本）
(3)①y2与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
5．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
6．（2024新疆真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为y1=5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中12,74是其顶点．

(1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额−成本）
题型02 行程问题
7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知A，B两地相距360km，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（km），行驶时间为x（h），则y与x的函数图象如图所示．

(1)求乙到达A地所用的时间；
(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距90km？
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：

(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中BC段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　km/h，乙货车的速度是　　　　km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
10．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km．张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间/min
1
4
13
30
张华离家的距离/km

0.6

②填空：张华从文化广场返回家的速度为______kmmin；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中0.62.25
1.8
第二阶梯
220~300（含300）
4
第三阶梯
300以上
6.99
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；
(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
12．（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位）
阶梯
采暖用气
销售价格
第一阶梯
0~1500m3（含1500）的部分
2.67元/m3
第二阶梯
1500~2500m3（含2500）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
2500m3以上的部分
3.63元/m3
根据表中所给的数据回答以下问题：
(1)某户用气量为1000m3，求此户需缴纳的燃气费用：
(2)设某户这个冬季用气量为xm30≤x≤2500，缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式：
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？
13．（2023·河北石家庄·模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1  某地居民用电计费方式
第一档电量
第二档电量
第三档电量
月用电量180度（含180度），以下每度价格0.55元
月用电量180度至300度（含300度）的部分，每度比第一档提价a元
月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2  20户家庭7月份用电量统计表
用电量（度）

120
160
200
260
320
户数
2
3
6
7
2
14．（2023·浙江温州·二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量（单位：GB），y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于x的关系如图所示：

A套餐
B套餐
C套餐
每月基本流量服务费（元）
30
50
80
包月流量（GB）
5
10
20
超出后每GB收费（元）
10
10
5

(1)当x>5时，求A套餐费用yA的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，

小红爸爸： 套餐
（填A、B、C）
小红妈妈： 套餐
（填A、B、C）
总流量
消耗流量
GB
GB
GB
题型04 图形面积
15．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)．

(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
17．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
题型05 拱桥类问题
18．（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线BC相距4米，桥孔宽6米．

(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形EFGH（如图2），当船宽FG为3米时．①求吃水线上船高EF约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
19．（2024·宁夏银川·二模）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，N之间的距离为20米，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，D两点相距90米且CM=DN，已知tan∠ACD=34．

(1)以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A，B两点，求海报底边与桥面的距离．
20．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，AO=BC=17m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF=2.6m，FO．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米．四边形DEFG为矩形，OD=BE．现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
22．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度AB=8m，拱高CD=2m．

同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作OC⊥AB于点D交圆弧于点C．连接OA．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即AE=BF=1m．在大棚内需搭建2m高的植物攀爬竿，即GM=HN=2m，GM⊥AB于点P，HN⊥AB于点Q，GH与OC交于点K．请问哪种设计的种植宽度MN要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形GMNH是矩形）

题型06 投球问题
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度ym与离发射点O的水平距离xm的几组关系数据如下：
水平距离xm
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度ym
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24

1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
24．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度ℎm满足关系式ℎ=−5t2+v0t，其中ts是物体运动的时间，v0ms是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
25．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bxa<0刻画，斜坡可以用一次函数y=14x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
72
6
152
8
152
n
72
…

(1)①m=______，n=______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
26．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系y=ax−12+3.2．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
27．（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线C1:y=a(x−3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2:y=−18x2+n8x+c+1的一部分．

(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
28．2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
题型07 喷水问题
29．（2023·甘肃兰州·中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度ym与离起跳点A的水平距离xm之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
30．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．

(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
31．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为3.2米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为y（单位：米），距喷水装置OA的水平距离为x（单位：米）．如图所示，以喷水装置OA所在直线为y轴，以池底水平线为x轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口A最低时水流高度y和水平距离x之间的几组数据：
x/米
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x/米
1.5
1.875
2
1.875
1.5
0.875
0

(1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出y关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围；
(2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口A升高的最小值；
(3)喷泉口A升高的最大值为1.92米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？
题型08 一次函数与反比例函数综合
32．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y℃与时间xh之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
(2)若大棚内的温度低于12℃时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
33．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．

(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润=年销售利润−研发费用)
34．（2024·安徽·模拟预测）人工智能AI饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温y℃与通电的时间xmin成一次函数关系，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温y℃与通电的时间xmin成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y℃与通电时间x（min）之间的关系如图所示．

(1)求a的值；
(2)求加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
题型09 新考法：新考法问题
35．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长x(cm)
…
23
24
25
26
27
28
…
身高y(cm)
…
156
163
170
177
184
191
…

(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；
(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y=kx(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
36．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度xmm
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
凳面的宽度ymm
115.5
132
148.5
165
181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
37．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，ℎ=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2  利用t=0时，ℎ=30；t=10时，ℎ=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案．
38．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．

【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的x,y可看成一次函数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的x,y就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为1,8和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．

（1根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y=−2x+a与反比例函数y=8xx>0的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点2,4时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
 39．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：m0+m⋅l=M⋅(a+y).其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
40．（2024·山西·模拟预测）项目式学习
项目主题：合理设计  智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．

如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一  测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二  推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d=2.2米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）现安装一台可360°旋转灌溉的喷水器以灌溉某花田．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆MN进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计）如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆MN所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米．现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知AB＝1133m．同时，这款喷水器还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且QN=PN．已知Rt△P1RQ的边QR=1003cm，P1R=25cm，其中QR与地面平行，P1R与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同．

(1)在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式；
(2)若使用原装喷头的喷水器，要求通过360°旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？
(3)园艺师计划分别在BD，DF，FH，HJ，LJ，BL的中点处种植一棵高为3.2米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案．
题型10 新考法：新情景问题
42．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润