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1、第六章 圆 第28讲 与圆有关的位置关系 （思维导图+5考点+1命题点15种题型（含5种解题技巧）） 1 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 点与圆的位置关系 考点二 直线与圆的位置关系 考点三 圆与圆的位置关系 考点四 与切线有关的知识 考点五 三角形的外接圆与内切圆 04题型精研·考向洞悉 命题点 与圆有关的位置关系 ►题型01 点与圆的位置关系 ►题型02 直线与圆的最值问题 ►题型03 直线与圆的位置关系 ►题型04 圆与圆的位置关系 ►题型05 利用切线的性质求解 ►题型06 证明某
2、直线是圆的切线（有明确的交点） ►题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点） ►题型08 切线的性质与判定综合 ►题型09 作圆的切线 ►题型10 应用切线长定理求解或证明 ►题型11 由三角形外接圆求值 ►题型12 由三角形内切圆求值 ►题型13 三角形内心有关的应用 ►题型14 三角形外接圆与内切圆综合 ►题型15 圆位置关系与函数综合 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 点与圆的位置关系 ★ 了解点与圆的位置关系. 圆与圆的位置关系 ★★ 了解直线与圆的位置关系. 切线的判定 ★★★ 掌握切线的概念，*探索并证明
3、切线长定理 切线的性质与计算 ★★ 三角形的内切圆 ★ 了解三角形的内心与外心 三角形的内切圆 ★★ 【考情分析】本专题中切线的判定和性质是圆的相关问题中的重点，常以解答题的形式出现，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意其常用辅助线的作法:“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”同时，切线长定理也有考查。 【命题预测】本专题内容是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，
4、多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
点和圆的位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
点在圆内
点P在圆内ód
5、1．（2024·云南怒江·一模）平面内，⊙O的半径为10 cm，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（ ） A．8cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ） A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．无法确定 3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ） A．a+b2 B．a−b2 C．a D．b 4．（
6、2024长春市三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点 B在⊙A外时，r的值可能是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点二 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 无 圆
7、心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系
d
8、cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 3．（2020·广东广州·中考真题）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 考点三 圆与圆的位置关系 设的半径分别为r
9、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
公共点个数
性质及判定
外离
无
两圆外离⇔d>R+r
外切
1个切点
两圆外切⇔d=R+r
相交
两个交点
两圆相交⇔ R−r 10、
A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交
2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
3．（2024·上海·二模）若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为 ．
考点四 与切线有关的知识
1.切线的性质定理与切线的判定定理
切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共 11、点叫做切点．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线）
【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径.
2.切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【解题技巧】切线长定理 12、经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD= °．
2．（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面积．
3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（ 13、
A．56° B．60° C．68° D．70°
4．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．62°
5．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点五 14、 三角形的外接圆与内切圆
1.三角形的外接圆与外心
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.
三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.
2.三角形内切圆与内心
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.
三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.
1．（202 15、2·江苏常州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是 ．
2．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（ ）．
A．60° B．70° C．80° D．90°
3．（2020·青海·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，则△ABC的内切圆的半径为 ．
4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步 16、．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
04题型精研·考向洞悉
命题点一 与圆有关的位置关系
►题型01 点与圆的位置关系
根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.设半径为r，点到圆心的距离为d1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外.
1．（2024·广东广州 17、·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．（2021·青海·中考真题）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
3．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（ ）
A．甲图四点共 18、圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆
C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆
►题型02 直线与圆的最值问题
已知点P为⊙O上动点，点Q为直线AB上动点，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O为点C
图示：
结论：当O，P，Q三点共线且为垂线段时，PQ取最小值，最小值为PQ的长.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB 19、24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB 20、的距离OM的长．
►题型03 直线与圆的位置关系
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；
②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；
③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离.
2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
设半径为r，直线到圆心的距离为d
①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离.
1．（2022·山东青岛·模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为4cm，以点A为圆心，以3.5cm长为半径作⊙A，则⊙A与BC的位置关系是（ 21、 ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．外离
2．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个.
3．（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B2=2 22、×1+（−1）×2+122+(−1)2=15=55．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y=3x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y=3x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
►题型04 圆与圆的位置关系
1．（2024·上海·中考真题）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2．（2023·四川德阳·中考真 23、题）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为r，圆心距O1O2=5，如果在⊙O2上存在一点P，使得PO1=2，则r的取值范围是 ．
3．（2024·上海·模拟预测）若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为 ．
►题型05 利用切线的性质求解
运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
1．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） 24、
A．30° B．40° C．45° D．50°
2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC=35，则半径OC的长为 ．
3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
►题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
1）给出了直线与圆 25、的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.
2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.
3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD 26、．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AD=10，cosB=35，求FD的长．
2．（2024内蒙古·中考真题）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CD=83CG，BE=3CE=3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若sin∠B=12，求证：AC=AP；
27、
(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的长．
►题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
1．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E， ⊙O与AC相切于点D．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC=42，求FG的长．
2．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
(1)求证：AC 28、是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求DE的长l．
►题型08 切线的性质与判定综合
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
2．（2023·湖北随州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE=2，sin∠AFD=13，① 29、求⊙O的半径；②求线段DE的长．
3．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
►题型09 作圆的切线
1．（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件 30、下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
( 31、2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
►题型10 应用切线长定理求解或证明
1．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°−α2 D．0，90°−α2
2．（ 32、2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆O相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．
(1)求证：BA=BD；
(2)若∠ABE=60°，
①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外）
②AB=6，求阴影部分的面积．
►题型11 由三角形外接圆求值
1．（2 33、023·内蒙古·中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
2．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．
3．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O 34、是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
4．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的 35、外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
►题型12 由三角形内切圆求值
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rl B．12πrl C．rl D．πrl
2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则ΔB 36、CE的内切圆半径是（ ）
A．4 B．43 C．2 D．23
3．（2024·北京·模拟预测）在边长为1的正三角形内放入n个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为r最大．
(1)当n=1，r=
(2)当n=6，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹）
(3)当n=5050，求r的长度．（可画示意图说明）
►题型13 三角形内心有关的应用
1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值 37、为 ．
2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI=22，DI=1322，求△ABC的周长．
3．（2024·宁夏·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
(1)求证：BC∥EF；
(2)连接CE，若⊙O的半径为 38、2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
►题型14 三角形外接圆与内切圆综合
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．3
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
3．（2024·福建南平·模拟预测）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与B 39、C交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若⊙O的面积为12π，两个△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
►题型15 圆位置关系与函数综合
1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数y=x2−6x+8的图像与x轴分别交于点A,B（点A在点B的左侧），直线l 40、是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
(1)求点A,B的坐标；
(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．
(1)BD是⊙O的切 41、线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1⋅S=S22，求tanD2的值；
(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
第六章 圆
第28讲 与圆有关的位置关系
（思维导图+5考点+1命题点15种题型（含5种解题技巧））
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01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 42、 点与圆的位置关系
考点二 直线与圆的位置关系
考点三 圆与圆的位置关系
考点四 与切线有关的知识
考点五 三角形的外接圆与内切圆
04题型精研·考向洞悉
命题点 与圆有关的位置关系
►题型01 点与圆的位置关系
►题型02 直线与圆的最值问题
►题型03 直线与圆的位置关系
►题型04 圆与圆的位置关系
►题型05 利用切线的性质求解
►题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
►题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
►题型08 切线的性质与判定综合
►题型09 作圆的切线
►题型10 应用切线长定理求解或证明
►题型11 由三 43、角形外接圆求值
►题型12 由三角形内切圆求值
►题型13 三角形内心有关的应用
►题型14 三角形外接圆与内切圆综合
►题型15 圆位置关系与函数综合
01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
点与圆的位置关系
★
了解点与圆的位置关系.
圆与圆的位置关系
★★
了解直线与圆的位置关系.
切线的判定
★★★
掌握切线的概念，*探索并证明切线长定理
切线的性质与计算
★★
三角形的内切圆
★
了解三角形的内心与外心
三角形的内切圆
★★
【考情分析】本专题中切线的判定和性质是圆的相关问题中的重点，常以解答题的形式出现，掌握 44、切线的判定定理是解题的关键，注意其常用辅助线的作法:“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”同时，切线长定理也有考查。
【命题预测】本专题内容是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是 45、点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
点和圆的位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
点在圆内
点P在圆内ód 46、了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键．
根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可．
【详解】解：∵点P在⊙O内，
∴OP<10，
∴OP的长可以是8cm，
故选：A．
2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断a的取值范围，再根据 47、点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意，得Δ=b2−4ac=4−4a<0，
解得a>1，
∴a>r=1，则点A在⊙O外，
故选：A．
3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A．a+b2 B．a−b2 C．a D．b
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．
点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解．
【详解】解：由题意得， 48、P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
∴圆的直径是a−b，因而半径是a−b2，
故选：B．
4．（2024长春市三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点 B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知⊙A的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论
【详解】解：在△ABC中，∠ 49、ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，
∴6 50、的大小关系
d
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