毕设论文--列行式乘法规则的证明方法及其应用.doc

本科毕业论文（设计）

题 目： 行列式乘法规则的证明方法及其应用

学生： *** 学号： *************
学院： 数学与计算科学学院 专业： 数学与应用数学
入学时间： 2009 年 9 月 16 日
指导教师： ** 职称： 讲师
完成日期： 2013 年 4 月 10 日

诚 信 承 诺

我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式乘法规则的证明方法及其应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人（签名）：
2013 年 4 月 10 日

行列式乘法规则的证明方法及其应用
姓名：*** 学号：******** 指导老师：***
摘 要：行列式的乘法规则是解决行列式相关问题的重要理论依据。通过对它的学习，有利于我们更好的掌握和运用行列式的解题技巧去解决相关问题。本文首先用三种方法证明了行列式的乘法规则，包括数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明和用矩阵分块思想证明。最后，还给出了行列式乘法规则的几个应用。
关键词：行列式；拉普拉斯定理；分块矩阵

The Proof Methods of Determinant Multiplication Rule and Its Applications
Name: Xia Jiajun Student Number: 200940510340 Advisor: Tang Jian
Abstract: The multiplication rule of the determinant is the important theoretical basis to solve the associated problems. Through learning about it, it is helpful for us to better master and apply the solving skills of the determinant problem to solve related problems. Firstly, this paper use three methods to prove the multiplication rule of the determinant, including mathematical induction, the Laplace theorem and the through of partitioned matrices .Finally, give some applications of the multiplication rule of determinant.
Key words: determinant; Laplace theorem; partitioned matrix

目 录
1.引言及预备知识 1
2.行列式乘法规则的证明方法 1
2.1.利用数学归纳法证明 1
2.2.利用拉普拉斯定理证明 5
2.3.利用矩阵分块证明 8
3.行列式乘法规则的应用举例 9
4.结束语 11
参考文献 11
致 谢 13

1.引言及预备知识
线性方程组是数学中最基础也是应用最广泛的内容之一，而行列式是解线性方程组的一个基本工具。随着数学的不断发展，行列式的应用已经不仅仅局限于线性代数，在数学分析、解析几何、概率论与数理统计、数学建模等领域都有着广泛的应用。在学习行列式的过程中，它自身的特点和性质是基础中的基础，决定着其它有关内容的掌握程度。当然行列式的计算也是相当重要之内容由于行列式的计算方法多样，应用灵活，我们要根据题目的具体要求选择简便的方法，使问题解决简单化。
行列式的乘法规则是行列式中最基础也是必须掌握的内容之一，它的应用非常广泛，是解决相关问题的依据。通过对行列式乘法规则的掌握，也有利于我们进一步的理解和应用行列式去探讨其它一些重要问题。本文主要采用数学归法，利用拉普拉斯定理和利用矩阵分块这三种方法完整的证明了行列式乘法规则，同时给出了它们的常见应用。
命题1（ 行列式的乘法规则）若两个阶行列式
，
则与的乘积是一个行列式

其中

2.行列式乘法规则的证明方法
2.1.利用数学归纳法证明
要证明行列式的乘法规则需先证明以下两个引理：
引理1 证明:

.
证明 首先我们对的个数作数学归纳法。
当时，左边==右边，故引理结论成立。
假设当时，引理结论成立,即

现在我们来看当时，引理结论是否成立。
首先我们按第一行展开，则有

可见，当时，引理的结论也成立。
因此，根据数学归纳法原理，引理1得证。
引理2 证明:

其中

证明 首先对作以下变换:
第一列乘以，第二列乘以，依此类推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此类推，第列乘以，之和加到第列；如此下去，第一列乘以，第二列乘以，依此类推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此类推，第列乘以，之和加到第列，则有

然后再依次按行，行,…,行展开，则有
原式=
因此，由引理1及引理2知行列式的乘法规则成立。
2.2.利用拉普拉斯定理证明
首先需证明以下引理：
引理3 行列式的任一子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的一项，而且符号也一致。
证明 令为行列式的任一阶子式,为对应的余子式。令展开后
的一般项为
（1）
其中为从小到大的行排列，为次序不定的列排列。
再令展开后的一般项为
（2）
其中为从小到大的列排列，为次序不定的行排列。又与都为的一个排列。
从而将式（1）（2）相乘，得
.
显然为展开后的任意项。 再者
（3）
我们注意到
，
因为中的任意项也会与中的任意项构成逆序，产生逆序数。在中能与构成逆序的有项，能与构成逆序的有项，依此类推，能与构成逆序的有项。所以有（3）式成立。
又由于
（4）
我们注意到
，
因为中的任意项也与中的项构成逆序，产生逆序数。比项大的有项，而中有项，所以能与构成逆序的有项，同理在中能与构成逆序的有项，依此类推，能与构成逆序的有项。所以有（4）成立。因此，我们有

从而，有

即的一般项为
.
又为的代数余子式。所以的一般项为
.
这刚好是行列式的一般项，所以引理3得证。
定理1 若为阶行列式，为的取定行后得到的子式，分别为的代数余子式。则有

证明 我们知道的每一项就是中的一项且有相同的符号。又与无公共项，所以只需证明两边项数相同便可得到上式。由于的项数是，而的项数是，的项数式，又

所以被证等式右边的项数是，故定理1得证。
其实，定理1就是拉普拉斯定理的简单叙述，以上也给出了一般的证明方法。拉普拉斯(Laplace)定理是行列式计算中的一个重要定理，是行列式展开的理论依据，有很多教材都给出了详细证明，详见文献[1,2]. 在文献[5]中，殷红彩又给出了拉普拉斯定理新的证明方法。
现在来给出行列式乘法规则的第二种证明方法。
证明 首先我们作一个阶的行列式
，
利用拉普拉斯定理，将按前行展开，可见只有左上角的那个阶子式不为零，则
，
这与引理1所得的结果相同。
其实这不是偶然，引理1中的行列式是的特例，是得一般形式。学过拉普拉斯定理后，类似的行列式都容易计算多了。 再根据引理2即可得到行列式的乘法规则。
2.3.利用矩阵分块证明
下面我们将采用矩阵分块的思想来证明行列式的乘法规则。
证明 首先作一个阶的行列式
.
令
.
所以
.
根据分块矩阵乘法和拉普拉斯定理，得
.
由此可见利用分块矩阵和拉普拉斯定理组合也可以得到和引理1一样的结果。
再由引理2即可得到行列式的乘法规则。
以上我们采用了三种方法证明了行列式的的乘法规则，分别是数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明以及利用矩阵分块证明，下面我们给出其的几个常见应用。
3.行列式乘法规则的应用举例
行列式的应用非常广泛，以下就行列式乘法规则的应用给出几个典型例题，供大家参考。
例1 计算以下行列式
.
解 由行列式的性质，有

例2 计算以下行列式
(1)；
（2）.
解 （1）原式=
（2）原式=
例3 计算下列行列式
.
解 原式=
例4 计算以下行列式

解 由于
显然中的系数为1，所以必是正。即
4.结束语
关于行列式乘法规则的详细证明在《高等数学》等教材中所占的篇幅都比较少，甚至都不给予单独说明。对于它的学习一般都是在学习行列式其它内容时才给出一些简单说明。但是我们在做行列式相关问题时，行列式乘法规则是最基础也是最常用的理论之一，所以我们应该自己组织时间进行具体学习。本文运用了三种方法（数学归纳法，利用拉普拉斯定理及矩阵分块思想）论证了行列式的乘法规则。为了让读者能够顺利的理解和领会乘法规则，还给出了一些典型例题。希望读者在学习此理论的同时，也能够很好的掌握它的运用技巧。当然关于行列式乘法规则的证明以及应用远不止这些，由于本人知识有限，在这里不能一一说明，其它的应用还有望我们大家共同去研究、去探讨。

参考文献：
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[2]张禾瑞，郝鈵新. 高等代数[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3]张金武. 行列式的乘法规则与其应用[J]. 成人教育学报, 1998，4：47-49.
[4]钟婷. 矩阵乘积的一个行列式等式的证明[J]. 高等数学研究，2004, 7（6）:48.
[5]殷红彩. 拉普拉斯(Laplace)定理的新证明[J]. 赤峰学院学报（自然科学版），2012，28（5）：6-7.
[6]杨子胥. 高等代数习题解（上册[M]. 济南：山东科学技术出版社，2002.
[7]王萼芳，石生明. 高等代数辅导与习题解答[M]. 北京:高等教育出版社，2007.
[8]李师正. 高等代数解题方法与技巧[M]. 北京：高等教育出版社，2005.
[9]黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南：山东科学技术出版社，2001.
[10]P.Dentoni, M.Sce. Funzioni regolari nell algebra di Cayley[J]. Rend.Sem Mat.Univ.
Padova,1998，50（8）：251-267.

致 谢
首先由衷的感谢我的导师**老师，感谢老师为我提供了良好的学习条件，营造良好的学习氛围。在这学习的氛围中，我感受到了*老师严谨治学的态度和学术科研的精神。在大学的四年中，不仅从*老师身上学到了丰富的专业理论知识，更重要的是他那精益求精的科研态度和高度负责的敬业精神。这对我今后的学习和工作都是笔宝贵的财富。
我还要感谢朝夕相处的室友和每一个同班同学们！
在学习期间，我的家人给了我很大的精神支持，保证我顺利的完成学业。再此，我表示对他们最诚挚的感谢和敬意！

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