中考数学——锐角三角函数及其应用(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第22讲 锐角三角函数及其应用

1

👉题型01 理解锐角三角函数的概念
👉题型02 求角的三角函数值
👉题型03 由三角函数求边长
👉题型04 由特殊角的三角函数值求解
👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算
👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小
👉题型09 利用同角的三角函数求解
8073;题型10 三角函数综合
👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用
👉题型13 在网格中求锐角三角函数值
👉题型14 解直角三角形的相关计算
👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题
👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）

👉题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项错误的是（    ）

A．sinA=ac B．cosB=ac C．tanA=ab D．tanB=bc
2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（    ）．

A．ADAB B．BDAD C．BDBC D．DCBC
3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中作△ABC，使tan∠A=1．
(2)在图②中作△ABD，使tan∠A=12．
(3)在图③中作△ABE，使tan∠A=2．
👉题型02 求角的三角函数值
4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是5:1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A．5 B．55 C．12 D．255
5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则cosα的值为（    ）

A．34 B．43 C．35 D．45
6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE 分别是边AC、AB上的中线，且 BD⊥CE，那么tan∠ABC= ．
7．（2024·北京·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知∠BAD=α，用两种方法表示△ABC的面积______
【探究】你能否从这里得出sin2α的计算公式呢

👉题型03 由三角函数求边长
8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα=35，那么点P坐标为 ．
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D为直线BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转45°得到AE，连接BE，若BC=2，则BE的最小值为 ．

10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是（     ）

A． 2+3，−3 B． 3，−3 C． 1+3，−3 D． 3，−6
11．（2024·安徽·三模）如图，△ABC中，AB=30，以AB为直径的⊙O经过点C，交△ABC的角平分线AD于点D，DE是⊙O的切线，交AC延长线于点E．

(1)求证：BC∥DE；
(2)延长AB交ED的延长线于点F，tan∠F=34，求CE的长．
👉题型04 由特殊角的三角函数值求解
12．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tan∠A的值（    ）
A．12 B．32 C．33 D．3
13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中两边长如下：AB=π−30+2sin30°；AC=22，求BC边上的高线长．

14．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cos60°,−3) 关于x轴对称，如果函数y=kx的图象经过点A，那么k= ．
15．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3×122= ．
👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中若cosA−22+1−tanB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=12，则△ABC的形状是（    ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算
18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：3−22−15+30+2cos30°−1tan45°；
（2）化简求值：m2−2m−1n÷m2+n2n−5n⋅m2n+2nm+2，m、n为方程x2−3x+1=0的两根．
19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x−2−x÷x−1x2−4x+4，其中x=−sin30°．
20．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：6sin45°−1−2−8×π−20240+12−2．
👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面AB的坡度 i=1:3，则斜坡AB的坡角的度数为 °．
22．（2023·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若tanA−3+2sinB−22=0，则∠C的度数为 ．
23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m，且l∥m．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为3，虚线长度为2，则虚线与m所夹钝角的度数为（    ）

A．110° B．120° C．135° D．150°
24．（2023·安徽六安·二模）如图，⊙C过原点O，与x轴、y轴分别交于A､D两点，已知C−1,n,OD=23，则弧OD的长为 ．

👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小
25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（   ）
A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小
C．tanα随α的增大而增大 D．0
👉题型09 利用同角的三角函数求解
29．（2024·江苏泰州·二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，连接CD，若要计算△BCD的面积，只需知道（   ）

A．AB长 B．AC长 C．CD长 D．BC长
30．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF=ED．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接BC，若tan∠BCD=12，DE=6，求AB的长．
31．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，OE∥BC，AE的延长线交BC于点D，∠ABC=2∠CAD．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CD=2，tan∠CAD=13，求⊙O的直径．
32．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，AB交l2于点E，则DE的长是（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6
👉题型10 三角函数综合
33．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，则CD的长为（    ）

A．7π3 B．4π3 C．7π6 D．14π6
34．（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则tanE= ．

35．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．当CD=4时，求EG的长．

👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
36．（2023·江苏苏州·二模）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，OA=AB，∠OAB90°，将△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角度数至△OA'B'，此时反比例函数y=kxk>0刚好经过OA',OB'的中点，则tan∠AOA'=（    ）

A．12 B．5−12 C．3−12 D．25
37．（2022·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为0,3，点B在x轴上．

(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；
(2)若函数y=kx的图象经过点M，且sin∠OAB=45，求k的值．
38．（2022·江苏常州·一模）如图，平面直坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=kxk>0的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=10，sin∠AOC=1010，点B的坐标为m,−2．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)求一次函数的表达式．
39．（2023·河北张家口·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1；B1,−1，直线l的解析式为y=kx+b，点A，点B关于直线l的对称点分别为点A'，点B'

(1)当k=1时，
①若点A'的坐标为2,0，则A'B'的长为______，b的值为______，此时AA'与直线l的位置关系是：______；
②若AA'=2，求b的值；
(2)当b=0时，若点A'，B'都在直线a上且直线a经过点C0,2，直接写出直线l与y轴所夹锐角的度数．
👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用
40．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，
tan(α+β)=tanα+tanβ1− tanα⋅tanβ(1−tanα⋅tanβ≠0)．利用这些公式求出下列三角函数值．
(1)sin75°
(2)cos105°
41．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，求sin75°的值，即sin75°=sin30°+45°=sin30°cos45°+cos30°sin45° =2+64．试用公式cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，求出cos75°的值是 ．
👉题型13 在网格中求锐角三角函数值
42．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由7×5的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则sin∠ABC的值是（    ）

A．53434 B．33434 C．23 D．35
43．（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（    ）

A．2 B．32 C．52 D．233
44．（2024·贵州·模拟预测）如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则sinB+sinD的值为（    ）

A．3102+522 B．31010+52626 C．31010 D．52626
45．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B ，C ，D，E都在网格的格则∠ADC的正弦值为（   ）

A．102 B．13 C．23 D．1010
👉题型14 解直角三角形的相关计算
46．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，∠A=30°,BD,CE分别是边AC,AB上的高，则DEBC=（   ）
A．13 B．12 C．22 D．32
47．（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为CD的中点，若点P绕AB上的点Q旋转后可以与点B重合，则AQ的长为（    ）

A．6 B．116 C．3 D．4
48．（2024·四川绵阳·三模）如图△ABC中，tan∠C=12，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是   ）

A．52 B．72 C．5 D．7
49．（2024·湖北·模拟预测）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，∠ACB=60°，AB=53，BC=8，则△BDE的面积是（      ）

A．10 B．85 C．2534 D．53
👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
50．（2020·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF面积的大小变化情况是（　）  

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
51．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD．

(1)求证：直线AC是圆O的切线；
(2)若OD⊥OC，∠ACB=75°，圆O的半径为4，求BC的长．
52．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)延长ED交AB的延长线于F，若AE=8，tan∠ADE=2，求BF的长．
53．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC，BC=2．

(1)求证：AC2=AD⋅AB；
(2)若ADAB=34，求阴影部分的面积．（结果保留π）
54．（2023·四川达州·模拟预测）如图，BC是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过点E作EF⊥AB，连接FC并延长交BA的延长线于点D，已知∠F=2∠B．

(1)判断DF与⊙O的位置关系，并给予证明；
(2)若∠B=30°，EF=53，试求阴影部分的面积．
👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
55．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．

(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；
(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．
56．（2022·四川成都·模拟预测）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为多少米？（3≈1.73）

57．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=12m，∠DCE=30° ，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45° ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° ．

(1)求DE的长；
(2)求塔AB的高度．（tan27°≈0.5，3≈1.73，结果保留整数）
👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
58．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头C，当轮船航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上，此时收到北偏东30°方向B处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着AB方向继续航行30海里到达B处对渔船进行了救助，又沿着南偏东70°方向航行到达码头C．

(1)求∠C的度数；
(2)求轮船从A处到码头C距离．（结果精确到1海里．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2，3≈1.73）
59．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C．

(1)求cos∠ACB的值．（保留2个有效数字，2≈1.414，3≈1.732）
(2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
60．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．

(1)∠CA1A2=__________°，∠CA2A1=__________°；
(2)求点A1到道路BC的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
61．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i=1:2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．

(1)请求出DE的长？
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
62．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC= （结果精确到01m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

63．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD=3m，坝高AE=DF=6m，斜坡CD的坡度为1:3，斜坡AB的坡角∠B=45°，求坝底BC的长．

👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题
64．（2025·上海奉贤·一模）桔槔gao是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC=3米，木质杠杆AB=6米．

(1)当水桶C的位置低于地面0.5米（如图1所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB=0.75，求这个桔槔支架OM的高度；
(2)向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
65．（2025·甘肃·模拟预测）某校三个数学研究小组测量某古城墙的高度．测量方案与测量数据如下表：
项目
测量古城墙的高度
测量工具
测角仪，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案

说明
点A，B在古城墙的地面边缘线EF上，点C，D在古城墙的上部边缘线GH上，且EF∥GH
测量数据
∠CAB=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=22m
∠DAB=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=15m
∠CAF=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=10m
问题解决：
(1)直接指出所有可行方案的小组；
(2)在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算古城墙的高度；(精确到 1m，参考数据：sin65.6°≈0.9cos65.6°≈0.4，tan65.6°≈2.2，sin39.4°≈0.6，cos39.4°≈0.8，tan39.4°≈0.8)
(3)计算的古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理建议．
66．（2025·安徽·模拟预测）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板CE垫成倾斜角为12°的斜面，让小球从E点（此时小球的速度为0）沿斜面下滑到C点，测出这一过程中小球运动的时间为2s，再将同样长度的木板放置在AB处，使点A在CE上，且B，C，D在同一水平线上，测得BC=50cm，此时倾斜角为8°，按照同样的条件测得小球从A点沿斜面运动到B点所用的时间为4s．求木板端点A到BD的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）

67．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架AD=221cm，DE=140cm，安装完毕后小明测得∠CAB=72°，∠ADE=138° ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为280cm，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08，结果保留整数）

👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
68．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角∠DAB=60°，篷面宽AD=3米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即AN=1米，支架MN与墙面的夹角∠AMN=45°．

素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角α的正切值
4
3
2.5
2

素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．

任务1
确定安装点
请求出支架MN的固定点M与A点的距离AM的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．
69．（2023·江西吉安·三模）学科综合：我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n= sinαsinβ称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．

(1)求入射角α的度数．
(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）
70．（2023·四川达州·模拟预测）阅读理解：
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°=1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°=1，∴asinA=bsinB=csinC．

拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=40m，∠A=75°，∠C=60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
71．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF∥GH，MC∥BE∥DG∥FO，M，N，P，Q四点分别是AB，CD，EF，GH的中点（N，P两点也分别在BE和DG上），FO⊥底座HI，垂足为O，经测量，AB=CD=EF=GH=44cm，MC=NE=PG=22cm，∠GHI=48°．

(1)求证：四边形MBNC为菱形．
(2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．结果保留一位小数）
72．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=10cm，如图1和图2所示，CD为水面截线，MN为台面截线，MN∥CD，半圆O与MN相切于水槽最低点P．如图1，初始情况下A，C重合，∠AOP=60°．

(1)求圆心O到水面CD的距离；
(2)探究图1中的水槽沿MN向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当CD=8cm时停止滚动，此时B，D重合，如图2．
①求水位下降的高度；
②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：sin53°=45，tan37°=34）
73．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍
在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知．
而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．
建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．

实践任务
以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅
1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度(ℎ)=室外设计地面至檐口的高度（ℎ1）+(12)檐口至屋脊的高度h2）．
如图1，建筑高度ℎ=ℎ1+12ℎ2．
2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度ℎ2/半坡宽度W≈0.5．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．
模型初建
将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，△ABC为等腰三角形， AB=AC，假定BC=8米，DF=10米．
                图3
模型优化
屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力．
学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧AB和弧AC是半径为17m、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为15m．

补充模型
从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线．
如图5所示，折线C−M1−M2−M3−A为宋代常见的一种屋顶建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB边上的四等分点，过N1作N1P1⊥AB交AC于P1，将P1降低110BC米得到M1，连接AM1；重复上述步骤，过N2作N2P2⊥AB交AM1于P2，将P2降低120BC米得到M2，连接AM2；过N3作N3P3⊥AB交AC于P3，将P3降低140BC米得到M3，连接AM3；
“举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．
              图5

问题解决
任务1
模型初建
（1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；
任务2
模型优化
（2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，3≈1.7）；
任务3
补充模型
（3）若M3N3=1，求出屋脊与檐口竖直高度BC．

1．（2024·山西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF=∠CAF，线段的延长线交于点G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 ．

2．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin80°≈0.9848,cos80°≈0.1736,tan80°≈5.6713,3≈1.732）

3．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．

(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．

(1)求证：AG∥CD；
(2)求证：PA2=PG⋅PB；
(3)若sin∠APD=13，PG=6．求tan∠AGB的值．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y=kx的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1x1,y1，P2x2,y2，则P1P2中点坐标为x1+x22,y1+y22．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y=kx图象上，求平行四边形OABC的面积；
(3)如图3，将直线l1:y=−34x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y=kxx>0图象交于M1，M2两点，