中考数学——菱形的性质与判定(含4种解题技巧))(含答案).docx

第五章 四边形
第25讲 菱形的性质与判定
（思维导图+1考点+1命题点22种题型（含4种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点 菱形
04题型精研·考向洞悉
命题点 菱形的性质与判定
►题型01 利用菱形的性质求角度
►题型02 利用菱形的性质求线段长
►题型03 利用菱形的性质求周长
►题型04 利用菱形的性质求面积
►题型05 利用菱形的性质求点的坐标
►题型06 利用菱形的性质证明
►题型07 菱形的折叠问题
►题型08 添加一个条件使四边形是菱形
►题型09 证明四边形是菱形
►题型10 根据菱形的性质与判定求角度
►题型11 根据菱形的性质与判定求线段长
►题型12 根据菱形的性质与判定求周长
►题型13 根据菱形的性质与判定求面积
►题型14 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
►题型15 与菱形有关的新定义问题
►题型16与菱形有关的规律探究问题
►题型17与菱形有关的动点问题
►题型18与菱形有关的最值问题
►题型19 含60°角的菱形
►题型20 菱形与函数综合
►题型21 与菱形有关的存在性问题
►题型22 与菱形有关的材料阅读类问题

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
菱形的有关
证明与计算

★★
理解菱形的概念;
探索并证明菱形的性质定理及其判定定理.
【考情分析】菱形是特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分且平分每一组对角，其面积为对角线乘积的一半，荾形的考查经常与直角三角形的勾股定理、图形面积等结合，试题形式多样，难度中等.
【命题预测】菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年各地中考还将出现. 菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.

2.菱形的性质定理

性质定理
符号语言
图示
边
四条边都相等
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC

对角线
对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD
【补充】
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：

①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.

3.菱形的对称性
1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

4. 菱形的判定

判定定理
符号语言
图示

边
四条边相等的四边形是菱形.
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形

一组邻边相等的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形

1．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ．

2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ）

A．1 B．1−3 C．0 D．3−23
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
5．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 菱形的性质与判定
►题型01 利用菱形的性质求角度
1．（2023·陕西·中考真题）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为 ．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=（    ）

A．45°+12α B．45°+32α C．90°−12α D．90°−32α
3．（2023·河北·中考真题）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（    ）

A．42° B．43° C．44° D．45°
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ．

5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是 ．

►题型02 利用菱形的性质求线段长
1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决；
2）菱形的四条达相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合.
6．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（    ）

A．35 B．75 C．2114 D．5714
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为xs，△BMN的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（    ）

A．22cm B．42cm C．4cm D．8cm
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．

►题型03 利用菱形的性质求周长
9．（2022·四川达州·中考真题）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是 ．

10．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（    ）

A．4+23 B．6+23 C．4+43 D．6+43
11．（2020·四川甘孜·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
►题型04 利用菱形的性质求面积
菱形的面积公式：

①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.（适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算）
13．（2024·广东·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．

14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（    ）

A．245 B．6 C．485 D．12
15．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为 ．
  .
16．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A．3 B．23 C．14 D．214
►题型05 利用菱形的性质求点的坐标
17．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（    ）

A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 D．−4,3
18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（    ）

A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
19．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1,0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 ．

20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为−2,0，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA'B'C'，其中点B'的坐标为（    ）

A．(−2,3−1) B．−2,1 C．(−3,1) D．(−3,3−1)
►题型06 利用菱形的性质证明
21．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．

22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF

(1)求证：AE=AF；
(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．
23．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．

(1)证明：△BEF∽△BCO；
(2)证明：△BEG≌△AEG．
►题型07 菱形的折叠问题
24．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（      ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
25．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片ABCD中， 点E在边AB上，将纸片沿CE折叠， 点B落在B'处，CB'⊥AD， 垂足为F  若CF=4cm，FB'=1cm， 则BE= cm

26．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于 ．

27．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．

28．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．

(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与∠B'CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG，请写出B'C、EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
►题型08 添加一个条件使四边形是菱形
29．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（    ）

A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBD
C．OA2+OD2=AD2 D．AD2+OA2=OD2
30．（2024·西藏·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是菱形．

31．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）

32．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．
►题型09 证明四边形是菱形
判定一个四边形是菱形时，可先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接证明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．即：

33．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形ABCD．

(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．
34．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．

(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角∠1的度数．
35．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
►题型10 根据菱形的性质与判定求角度
36．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（    ）

A．64° B．66° C．68° D．70°
37．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．

(1)求证DE=FH；
(2)连接BE,CH，当AB与BC的比值为_______时，四边形BEHC是菱形．
38．（2024·江苏苏州·一模）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A、E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F．

(1)求证：△BOE≌△FOA；
(2)若∠EBP=28∘，求∠FAE的度数．
►题型11 根据菱形的性质与判定求线段长
39．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
40．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．

(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF的周长．
41．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且DB的中点为M，连接AD，CD．

(1)求∠ACB的度数；
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若AC=6，求CD的长．
42．（2022·四川凉山·中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
►题型12 根据菱形的性质与判定求周长
43．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．

(1)求证：AC⊥BD；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
44．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB=42，AE=2，求四边形BEDF的周长．

45．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于M、N．

（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．
►题型13 根据菱形的性质与判定求面积
46．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．

(1)求证：四边形BDEF是菱形．
(2)若AC=4，求△AFD的面积．
47．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=34，求四边形AFCE的面积．
48．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在矩形ABCD中（AB>BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE=BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF．

(1)求证：四边形DOCF是菱形；
(2)若矩形ABCD的周长为20，AC=8，求四边形DOCF的面积．
►题型14 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
49．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
50．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（    ）

①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
51．（2024·全国·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC，BD交于点O，动点P在边BC上（不与点C重合），连接AP，AP的垂直平分线交AP于点E，交BD于点F，连接FP，CE，OE，现有以下结论：①点A，E之间的距离为定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

52．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．
乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．
丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．
下列选项正确的是（　　）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对
►题型15 与菱形有关的新定义问题
53．（2024·江苏泰州·一模）定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是(    )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
54．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b（a≥b），我们把ab定义为菱形的“神似度”．

(1)当菱形的“神似度”=______时，菱形就是正方形；
(2)当∠BAD=60°时，求菱形ABCD的“神似度”．
55．（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．

(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形ABCE是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．
►题型16与菱形有关的规律探究问题
56．（2022·辽宁·中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2=60°,C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3=60°,C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4；…，按此规律进行下去，则△C2022B2022B2023的面积 ．

57．（2021·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到ΔADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到ΔA1D1A2……按此规律，得到ΔA2020D2020A2021，记ΔADA1的面积为S1，ΔA1D1A2的面积为S2……ΔA2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021= ．

58．（2024·湖南益阳·二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60∘，则菱形ABCD的面积是23；以对角线AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60∘，则菱形ACC1D1的面积是63；以对角线AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°，则菱形AC1C2D2的面积是183；…．按此规律所作的第n个菱形的面积是 ．

59．2024·河南商丘·二模）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为原点，A2,0，∠AOC=60°，作以下操作∶①将菱形OABC绕点 O 顺时针旋转60°得到菱形OA1B1C1；②将菱形OA1B1C1绕点O顺时针旋转60°得到菱形OA2B2C2；③将菱形OA2B2C2绕点O 顺时针旋转60°得到菱形OA3B3C3…按此规律，B99的坐标为（   ）

A．−3,−3 B．−3,−3 C．−3,3 D．3,−3
►题型17与菱形有关的动点问题
60．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．22
61．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ）

A．y=9x B．y=12x C．y=18x D．y=36x
62．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．

(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB'C'C的面积；
(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．
63．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．

(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．
►题型18与菱形有关的最值问题
64．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（    ）

A．2 B．43−2 C．23 D．4
65．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A−3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（    ）

A．3 B．5 C．22 D．323
66．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N．连接EN,CN．

(1)求证：EN=CN；
(2)求2EN+BN的最小值．
►题型19 含60°角的菱形

【基础】条件：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60°
图示：
结论： 1)∠ABD=∠CBD=30°；2) △ABC，△ACD为等边三角形
3)AB：AD：BD=1:1:3； 4)
【进阶】条件：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60°
图示：
结论：1) △AEF为等边三角形;2) △ABE≌△ACF,△AEC≌△AFD.
67．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．

68．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（    ）

A．   B．  C．   D．  
69．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．

70．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分别交BC，CD于点M，N．

(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；
(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；
(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作∠PAN=∠B，连接AP，若AP=13，求线段DN的长．
71．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E,AB=3,∠BAD=60°，点F，G分别在边AD,CD上运动，FG∥AC．

(1)当F，G为边AD,CD的中点时，求证：△BFG为正三角形；
(2)当tan∠CBG=1时，求△BFG的面积．
►题型20 菱形与函数综合
72．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为2,23，点D是边OC上的动点，过点D作DE ⊥ OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S．

(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
73．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为菱形，点B在x轴正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过顶点A．

(1)若AB=10，OB=2，求反比例函数y=kxk>0,x>0的解析式．
(2)若菱形OABC的面积为20，直接写出反比例函数y=kxk>0,x>0的解析式．
74．（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图所示，在直角坐标系中，线段OC与直线BD交于点M，连接OB，BC，CD，OD得菱形OBCD，点B的横坐标为4，点C的坐标为7,7，点P，Q分别是线段OB，CD上的动点，点P从点O出发，以每秒0.8个单位的速度向终点B移动，点Q从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C移动，到达点C后立即以原速再向终点D移动，设P，Q同时出发，移动时间为t秒（t＞0），当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止移动．

(1)求直线BD的函数表达式；
(2)当t为何值时，直线PQ平分菱形ABCD的面积？
(3)若直线PQ与对角线OC的交点为N，E是OB边的中点，当0
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当S=63时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
76．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
77．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB=34，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE＝210，直线OD与BE相交于点F．
（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y=kx经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标．

►题型22 与菱形有关的材料阅读类问题
78．（2024·山西朔州·模拟预测）阅读与思考
下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
作矩形的最大内接菱形的方法
顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法．
方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1）．则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形．
方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸