中考数学——数与式(章节测试)(含答案).docx

章节检测验收卷一 数与式
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国是最早使用负数的国家，在数据−sin45?，2，0，+7，−0.5，中是负数的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【新考法】生活中的数学
2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为．则n的值是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ）
A．1<−1 B．−−0.3<−13 C．−821<−37 D．−−5<0
4．已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A．a+b B．ab C．ab D．a2+b2
5．若x2+mx+4=x−22，则下列结论正确的是（    ）
A．等式从左到右的变形是乘法公式，m=4
B．等式从左到右的变形是因式分解，m=4
C．等式从左到右的变形是乘法公式，m=−4
D．等式从左到右的变形是因式分解，m=−4
【新考法】新定义问题
6．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ）
A．−1 B．−3 C．1 D．3
7．已知Am−1+Bm−2=3m−4m−1m−2，则常数A，B的值分别是（   ）
A．A=1，B=2 B．A=2，B=1
C．A=−1，B=−2 D．A=−2，B=−1
8．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ）
已知a+b=−8，ab=12．求ba+ab的值．
解：；
原式=6412=433．
A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数
【新考法】图形类规律探究问题
9．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ）

A．13 B．14 C．2n+12n D．2n+122n
【新考法】数式类规律探究问题
10．将三项式展开，得到下列等式：
a2+a+10=1
a2+a+11=a2+a+1
a2+a+12=a4+2a3+3a2+2a+1
a2+a+13=a6+3a5+6a4+7a3+6a2+3a+1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数，则关于x的多项式a2+ax−3x2+x+15的展开式中，x8项的系数为（   ）

A．15a2+a−1 B．15a2+a+1
C．15a2+2a+3 D．15a2+2a−3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本．
12．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为5−12，其中 5−1介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
13．因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：a3−4a= ．
【新考法】跨学科类问题
14．如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压U=IR1+IR2+IR3，若线路AB的电流I=2.5A， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V．

【新考法】新定义类问题
15．对于实数a、b，定义运算：①②
例如 ①依此定义方程的解为 ．
【新考法】获取信息类问题
16．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 .

三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分，23题10分，24题13分）
17．（1）计算：；    
（2）化简：．

18．化简分式：a2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

19．先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．

20．以下是某同学化简分式a−ba?a−2ab−b2a的部分运算过程：
解：原式…………第一步
…………第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2…………第三步
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．

21．课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．

小华：∵x2+1−2x−1=x2+1−2x+1=x−12+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“<”）

【新考法】开放性试题
22．已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．

【新考法】 阅读理解类问题
23．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12−02
4=22−02
3=22−12
8=32−12
5=32−22
12=42−22
7=42−32
16=52−32
9=52−42
20=62−42

一般结论
    2n−1=n2−n−12
4n=______
按上表规律，完成下列问题：
（）24=（    ）2−（    ）2；
（）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n−2=x2−y2，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设x=2k，y=2m，其中均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．

【新考法】 利用数形结合解决计算问题
24．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为12，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．

【问题提出】求的值（其中是正整数）．
【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即
探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；分别表示1个的长方形，其面积的和为：；的面积和为，而恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：．
(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：______=______．（要求自己构造图形并写出推证过程）
(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：个，
棱长是2的正方体有：个，
……
棱长是6的正方体有：个；

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为______．
(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为_________．
(5)【拓展探究】
观察下列各式：

若（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则的值______．

章节检测验收卷一 数与式
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国是最早使用负数的国家，在数据−sin45?，2，0，+7，−0.5，中是负数的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
【详解】解：，−0.5是负数，共2个，
故选：B．
【新考法】生活中的数学
2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为．则n的值是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：30.7万，
则n=5，
故选：B．
3．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（   ）
A．1<−1 B．−−0.3<−13 C．−821<−37 D．−−5<0
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可．
【详解】A.1>−1，原说法错误，不符合题意；
B. −−0.3=0.3，−13=13，则−−0.3<−13，说法正确；
C. −821<−37，则−821>−37，原说法错误，不符合题意；
D.−−5=5>0 ，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A．a+b B．ab C．ab D．a2+b2
【答案】A
【分析】本题考查了无理数和有理数，根据无理数和有理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：a是有理数，b是无理数，
则a+b必定为无理数，
当a=0时，ab=0，ab=0是有理数，
当a=1，b=3时，a2+b2是有理数，
故选：A．
5．若x2+mx+4=x−22，则下列结论正确的是（    ）
A．等式从左到右的变形是乘法公式，m=4
B．等式从左到右的变形是因式分解，m=4
C．等式从左到右的变形是乘法公式，m=−4
D．等式从左到右的变形是因式分解，m=−4
【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：∵x2+mx+4=x−22，
，
则m=−4，
原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式．
故选：D．
【新考法】新定义问题
6．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ）
A．−1 B．−3 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据题意，逐个判断出所给n的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个n的值不满足“和谐数组”条件即可．
此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给n的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积．
【详解】解：A、当n=−1时，
−1+−1+1+−1+2=0，
，
∵ 0=0，
∴n=−1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；
B、当n=−3时，
−3+−3+1+−3+2=−6，
，
∵ −6=−6，
∴n=−3满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；
C、当n=1时，
1+1+1+1+2=6，
，
∵ 6=6，
∴n=1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；
D、当n=3时，
3+3+1+3+2=12，
，
∵12鈮?0，
∴n=3不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意．
故选：D．
7．已知Am−1+Bm−2=3m−4m−1m−2，则常数A，B的值分别是（   ）
A．A=1，B=2 B．A=2，B=1
C．A=−1，B=−2 D．A=−2，B=−1
【答案】A
【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出A,B的值即可．
【详解】解：Am−1+Bm−2=Am−2+Bm−1m−1m−2=mA+B−2A−Bm−1m−2=3m−4m−1m−2，
∴A+B=32A+B=4，
解得：A=1B=2；
故选A．
8．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ）
已知a+b=−8，ab=12．求ba+ab的值．
解：；
原式=6412=433．
A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答．
【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，
故选：B．
【新考法】图形类规律探究问题
9．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ）

A．13 B．14 C．2n+12n D．2n+122n
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的13，
所以当n无穷大时，的值最接近13．
故选：A．
【新考法】数式类规律探究问题
10．将三项式展开，得到下列等式：
a2+a+10=1
a2+a+11=a2+a+1
a2+a+12=a4+2a3+3a2+2a+1
a2+a+13=a6+3a5+6a4+7a3+6a2+3a+1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数，则关于x的多项式a2+ax−3x2+x+15的展开式中，x8项的系数为（   ）

A．15a2+a−1 B．15a2+a+1
C．15a2+2a+3 D．15a2+2a−3
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据广义杨辉三角形的定义可得x2+x+14的展开式，进而确定x2+x+15的展开式中x8项的系数为1+10+4=15，x7项的系数为16+10+4=30，据此确定a2+ax−3x2+x+15的展开式中，x8项的系数．
【详解】解：由题意得，x2+x+14=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1，
∴x2+x+15
=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1x2+x+1
∴x2+x+15的展开式中x8项的系数为1+10+4=15，x7项的系数为16+10+4=30，
∴a2+ax−3x2+x+15的展开式中，x8项的系数为15a2+30a−45，即15a2+2a−3，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本．
【答案】9
【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书x+4+2本，而甲、丙剩余图书之和为x−4+x−2，再根据题意列式求解即可．
【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，
由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为x+4+2−x−4+x−22=x+6−x−3=9本，
故答案为：9．
12．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为5−12，其中 5−1介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得4<5<9，即得2<5<3，进而得1<5−1<2，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴1<5−1<2，
∴n=1，
故答案为：1．
13．因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：a3−4a= ．
【答案】aa+2a−2
【分析】该题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．
先提取公因式，再用平方差公式分解即可；
【详解】解：a3−4a=aa2−4=aa+2a−2，
故答案为：aa+2a−2．
【新考法】跨学科类问题
14．如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压U=IR1+IR2+IR3，若线路AB的电流I=2.5A， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V．

【答案】115
【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为，I=2.5A代入U=IR1+IR2+IR3中即可求值．
【详解】∵三个电阻阻值分别为，I=2.5A
∴ V，
故答案为：115．
【新考法】新定义类问题
15．对于实数a、b，定义运算：①②
例如 ①依此定义方程的解为 ．
【答案】x=3
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0．
【详解】解：由题意得，2xx2−22−12+x=1，
2x−x−2=x2−4，
x2−x−6=0
x−3x+2=0，
解得：x=3或x=−2，
当x=−2时，2+x=0，不符合题意，
∴原方程的解为：x=3，
故答案为：x=3．
【新考法】获取信息类问题
16．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为 .

【答案】1.22?106
【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：图②中的数为：，
∴．
故答案为：1.22?106．
三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分，23题10分，24题13分）
17．（1）计算：；    
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）1a
【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
=1；
（2）解：原式=a+2a2?a+2a

=1a．
18．化简分式：a2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

【答案】1a−b；15
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，1m−mm−2+m+3m−3
=2m−m2+2m+m2−9
=4m−9．
当m=52时，原式．
20．以下是某同学化简分式a−ba?a−2ab−b2a的部分运算过程：
解：原式…………第一步
…………第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2…………第三步
……

(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：a−ba?a−2ab−b2a
=a−ba?a2a−2ab−b2a
a−ba?a2−2ab+b2a
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：a−ba?a−2ab−b2a
=a−ba?a2a−2ab−b2a
=a−ba?a2−2ab+b2a
=a−ba?a−b2a
=a−ba?aa−b2
=1a−b．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
21．课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小．
小华：∵x2+1−2x−1=x2+1−2x+1=x−12+1>0，
∴x2+1>2x−1．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“<”）
【答案】(1)M>N
(2)<
【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；
（2）根据作差法求2368−2265的值即可得出答案．
【详解】（1）解：M−N=ab−a+1b+3=ab+3−ba+1bb+3=ab+3a−ba−bbb+3=3a−bbb+3，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案为：<．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
【新考法】开放性试题
22．已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)2a+2a−2
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：A=2a2−8=2a2−4=2a+2a−2；
（2）解：①当选择A、B时：
BA=3a2+6a2a2−8=3aa+22a+2a−2=3a2a−4
AB=2a2−83a2+6a=2a+2a−23aa+2=2a−43a；
②当选择A、C时：
CA=a3−4a2+4a2a2−8=aa−222a+2a−2=a2−2a2a+4，
AC=2a2−8a3−4a2+4a=2a+2a−2aa−22=2a+4a2−2a；
③当选择B、C时：
CB=a3−4a2+4a3a2+6a=aa−223aa+2=a2−4a+43a+6，
BC=3a2+6aa3−4a2+4a=3aa+2aa−22=3a+6a2−4a+4．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
【新考法】 阅读理解类问题
23．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12−02
4=22−02
3=22−12
8=32−12
5=32−22
12=42−22
7=42−32
16=52−32
9=52−42
20=62−42

一般结论
    2n−1=n2−n−12
4n=______
按上表规律，完成下列问题：
（）24=（    ）2−（    ）2；
（）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n−2=x2−y2，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设x=2k，y=2m，其中均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（）7，5；（）n+12−n−12；
(2)4k2−m2+k−m
【分析】（1）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，24=72−52，
故答案为：7，5；
（）由规律可得，4n=n+12−n−12，
故答案为：n+12−n−12；
（2）解：假设4n−2=x2−y2，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设x=2k，y=2m，其中均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=4k2−m2+k−m为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：4k2−m2+k−m．
【新考法】 利用数形结合解决计算问题
24．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．

【问题提出】求的值（其中是正整数）．
【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即
探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；分别表示1个的长方形，其面积的和为：；的面积和为，而恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：．
(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：______=______．（要求自己构造图形并写出推证过程）
(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：个，
棱长是2的正方体有：个，
……
棱长是6的正方体有：个；

然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为______．
(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为_________．
(5)【拓展探究】
观察下列各式：

若（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则的值______．
【答案】(1)；62；推导过程见解析
(2)；
(3)441
(4)6859
(5)45
【分析】（1）根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33=？肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．
（2）利用（1）的结论计算即可；
（3）根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2来求得．
（4）逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成=（1+2+3+…+n）2得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．
（5）首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再看出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，问题得以解决．．
【详解】（1）解：（或36）
如图，表示一个1×1的正方形，即，
表示2个2×2的正方形，即：，
表示3个3×3的正方形，即：，
而恰好可以拼成一个大正方形，边长为：，
∵，
∴，
故答案是：（1+2+3）2，62；

（2）解：由（1）探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：
；
（3）解：图4中大小正方体的个数为
故答案为：441；
（4）解：由（2）得（1+2+3+…+n）2=36100，
∴1+2+3+…+n=190，
∴，
解得：n1=19，n2=-20(舍去)，
∴棱长为1的小正方体的个数为193=6859．
故答案为：6895；
（5）解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
…
发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，
∴453，分裂中的第一个数是：45×44+1=1981，
463，分裂中的第一个数是：46×45+1=2071，
∵1981<2021<2071，
∴2021在第45组里．
∵（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，
∴m=45,
故答案为：45．
【点睛】本题考查数字规律探究，利用数形结合，探究出规律是解题的关键．

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