中考数学——与圆有关的位置关系(练习)(含答案).docx

第六章 圆
第28讲 与圆有关的位置关系

1

👉题型01 点与圆的位置关系
👉题型02 点与圆上一点的最值问题
👉题型03 直线与圆的位置关系
👉题型04 圆与圆的位置关系
👉题型05 利用切线的性质求解
👉题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
👉题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
👉题型08 切线的性质与判定综合
👉题型09 作圆的切线
👉题型10 应用切线长定理求解或证明
👉题型11 由三角形外接圆求值
👉题型12 由三角形内切圆求值
👉题型13 三角形内心有关的应用
👉题型14 三角形外接圆与内切圆综合
👉题型15 圆位置关系与函数综合

👉题型01 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x+4=0的一个根，则点P在（    ）
A．⊙O的外部 B．⊙O的内部 C．⊙O上 D．无法判断
2．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（    ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
3．（2024·上海嘉定·二模）在△ABC中， AB=AC=8，cos∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是（  ）
A．点A在圆C外，点B在圆C上； B．点A在圆C上，点B在圆C内；
C．点A在圆C外，点B在圆C内； D．点A、B都在圆C外．
👉题型02 点与圆上一点的最值问题
4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线y= 34 x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C0,1为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是（　　）

A．112 B．6 C．8 D．212
5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，AB=10,AD=15，点E是线段AD上的动点，连接CE，点D关于CE的对称点为F，连接AF，则AF的最小值为 ．

6．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=2AB=4，点E为四边形ABCD内一点，连接BE、CE、DE，若∠CBE+∠CDE=45°，则CE的最小值为 ．（结果保留根号）

👉题型03 直线与圆的位置关系
7．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD=8，AB=AD．

(1)求AB的长；
(2)如果tanC=43，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数y=1xx>0的图象上的一点，⊙P的半径为2，当⊙P与直线y=x有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）

A．1≤x≤2 B．2−1≤x≤2
C．2−1≤x≤1 D．2−1≤x≤2+1  
9．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知Rt△ACB，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，点D、E为边AC，BC上的任意点（不与点A，点B重合），以DE为直径的⊙O交边AB于点F，点G，半径为r，连结CF交DE于点H，连结OF，EF．设∠CEF=α．

(1)请用含有α的代数式表示出∠OFC；
(2)若α=60°，CH∶HF＝2∶1，求CE的长（用含有r的代数式表示）；
(3)若DE∥AB，如图2，若⊙O与边AB相交，求r的取值范围；
(4)若D为AC中点，△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求⊙O的半径．

👉题型04 圆与圆的位置关系
10．（2024·上海·三模）如图，已知⊙O1和⊙O2外切，半径长分别为1cm和3cm．如果半径长是5cm的⊙O与⊙O1、⊙O2都相切，那么符合题意的⊙O最多有⋯（    ）．

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
11．（2024·四川德阳·二模）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=48cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙B以每秒3cm的速度自右向左运动，与此同时，⊙A的半径不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系为r=1+2t（t≥0），则当点出发后 秒两圆相切．

12．（2024·上海静安·三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边△ABC的边长为20cm，分别以A、B、C为圆心，AB为半径作BC、AC、AB，M为△ABC的中心．

(1)若Q为BC上任意一点，则MQ的最小值为______cm，最大值为______cm．
(2)转子沿圆P转动时，始终保持⊙M与⊙P相切，⊙M的半径为8cm，⊙P的半径为5cm，当圆心P在线段AM的延长线上时，求B、P两点间的距离的平方．
👉题型05 利用切线的性质求解
13．（2022·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，点B4,3在⊙A上，若⊙A与y轴相切，则⊙A的半径为 ．

14．（2012·北京海淀·中考模拟）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（　　）

A．−2≤x≤2 B．0≤x≤2 C．−1≤x≤1 D．x>2
15．（2025·山东临沂·一模）如图， ⊙O为△ABC的外接圆，直径 AD⊥BC于 E ，过点 A 作⊙O 的切线 AF与∠ABC的平分线交于点 F，BF交AC于点 G ，交AD于点 H，交⊙O 于点 M，连接 AM．

(1)求证： ∠ACB=2∠ABF；
(2)若 tan∠AMB=2 ，BC=2，求 CG 的长．
👉题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
16．（2025·广西柳州·一模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，AD=CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BD=8，⊙O的半径为5，求DE的长．
17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
18．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB=22，BC=2，求⊙O的半径．
👉题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在△BCE中，BC⊥BE，点A在BE上，以AB为直径的⊙O交CO的延长线于点G，过点E作EF⊥CG于点F，∠FEB=∠ECG．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BCBE=43，求tan∠BCO的值．
20．（2023·广东江门·一模）如图，点O在∠MPN的平分线上，⊙O与PO相交于点C．与PO的延长线相交于点D，与PM相切于点A．

(1)求证：直线PN是⊙O的切线；
(2)若PA=4,PC=2，求⊙O的半径；
(3)点G是劣弧AC上一点，过点G作⊙O的切线分别交PM,PN于点E，F，若△PEF的周长是⊙O半径的3倍，求tan∠EPF的值．
👉题型08 切线的性质与判定综合
21．（2024·河北·模拟预测）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，延长CA至点D，使AD=8，连接BD，以AD为直径的☉O绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，☉O旋转　　　　°时，☉O与AC第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断☉O与BD的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若☉O与BC相切于点M，与CA相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
22．（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…
证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．
添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．
图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，MN⊥EF，垂足为O，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，OF上滑动，当点B恰好落在⊙O上时，∠PBO=12∠PAO，请判断此时AP与⊙O的位置关系并说明理由．
小王的解题思路如下：AP与⊙O相切．
理由：连接OP．
∵点B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO=12∠POE．（依据1）
∵∠PBO=12∠PAO，
∴∠POE=∠PAO．
∵MN⊥EF，
∴∠POE+∠AOP=90°，
∴∠PAO+∠AOP=90°．
∵∠PAO+∠AOP+∠APO=180°，（依据2）
∴∠APO=90°，
∴AP与⊙O相切．
任务：
(1)依据1：_____________________________．
依据2：________________________________．
(2)在图2中，⊙O的半径为6，AP=8，求BP的长．
23．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．

(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；
(3)若AC=16，tan∠BAC=43，F是AC中点，求EF的长．
👉题型09 作圆的切线
24．（2024·广东东莞·三模）已知：点P是⊙O外一点．

(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（PE=PF，OP平分∠EPF）．
25．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点．

(1)请按要求作出图形：在直径AB上截取AE=AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交射线CE于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)证明（1）中的直线BD为⊙O的切线；
(3)在（1）的条件下，若∠ABC=2∠CDB，求AEBE的值．
26．（2024·辽宁·模拟预测）《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点M．求作：直线MN，使MN与⊙O相切于点N．”

小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接OM，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线OM的上下两侧)；
②作直线 ，交OM于点C；
③以点C为圆心， 长为半径作⊙C， 交⊙O于点N(点 N位于直线OM的上侧)；
④连接MN，交AB于点D，则直线MN即为所求；
(1)请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线MN是⊙O切线的理由；
(2)李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长MO交⊙O于点E，过点E作EF∥ON交MN的延长线于点F，连接EN，并增加条件：FN22，EN=26，tan∠NMO=24，让小星求ND的长，请你帮助小星解答．
👉题型10 应用切线长定理求解或证明
27．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆O相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．

(1)求证：BA=BD；
(2)若∠ABE=60°，
①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外）
②AB=6，求阴影部分的面积．
28．（2024·山西·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，射线BD⊥AB，AB=10，AC=6．CP与⊙O相切时，连接CP，求BP的长．

29．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作射线l⊥AB，点P为l上一个动点，点C为⊙O上异于点A的一点，且PA=PC，过点B作AB的垂线交PC的延长线于点D，连接AD．

(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若AP=4BD，求sin∠BAD的值．
30．（2024·湖南长沙·模拟预测）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．

(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA=34，求S△ADE:S△ACM的值．
👉题型11 由三角形外接圆求值
31．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是9×9的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆．

(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：
①确定△ABC的外接圆的圆心O；
②作出过点C的切线，与AB的延长线交于点D；（上述两问都要保留作图痕迹）
(2)求ABC的长和CD的长．；
32．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知△ABC．

(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB=2，∠ACB=45°，求⊙O的半径．
33．（2023·河北秦皇岛·一模）在△ABC中，∠B=45∘，AB=6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC的长唯一，其中正确的是（   ）
甲：AC=4；
乙：AC=8；
丙：△ABC的外接圆半径为4
A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙
👉题型12 由三角形内切圆求值
34．（2024·四川乐山·二模）已知△ABC，如图所示．

(1)用无刻度直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.2cm，求△ABC的面积．
35．（2024·湖北武汉·二模）如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=20，BC=21，CA=13，则下列说法不正确的是（    ）

A．∠EDF=∠A B．∠EOF=∠B+∠C
C．BD=14 D．OE=143
36．（2024·广东广州·一模）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE=α，则AF+CD−AC的值和∠A的大小分别为（    ）

A．0，180°−2α B．r，180°−α
C．2r，90°−α D．3r，90°−α2
👉题型13 三角形内心有关的应用
37．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是Rt△ABC的内心．点P到边AB的距离为 ；

38．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，过O作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，则DE的长为（    ）

A．26 B．4 C．5 D．463
39．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=8，tan∠ABC=43，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（    ）

A．9 B．12 C．15 D．18
👉题型14 三角形外接圆与内切圆综合
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．

(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
41．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则∠CAI= °．

42．（2022·河北衡水·模拟预测如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，点P是Rt△ABC的内心．

（1）点P到边AB的距离为 ；
（2）Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为 ．  
👉题型15 圆位置关系与函数综合
43．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，AB=52，则k的值为（ ）

A．32 B．3 C．62 D．6
44．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点Px1,y1是图形G1上的任意一点，点Qx2,y2是图形G2上的任意一点，若存在直线l∶y=kx+bk≠0满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b，则直线y=k+b(k≠0)就是图形G1与G2的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线l∶y=−x−4是函数y=6x(x<0)的图像与正方形OABC的一条“楚河汉界线”．

(1)在直线① y=−2x，② y=4x−1，③ y=−2x+3，④ y=−3x−1中，是图1函数y=6x(x<0)的图像与正方形OABC的“楚河汉界线”的有_填序号）
(2)如图2，第一象限的等腰直角△EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是2,1，△EDF与⊙O的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点M(2,t)是此正方形的中心，若存在直线y=−2x+b是函数y=−x2+2x+3(0≤x≤4)的图像与正方形A1B1C1D1的“楚河汉界线”，求t的取值范围．
45．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=8，AD=2，点E在AB上，作EF∥CD交BC于点F，点G为CD上一点且DGCF=35，如图2，作△EFG的外接圆交CD于点H，连结EH，FH，设BE=x，DG=y．

(1)求CD的长；
(2)求y关于x的函数表达式；
(3)当CF与△EFH的一边相等时，求满足所有条件的BE的长．

1．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．

2．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=310．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．

3．（2024·海南·中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点HFG⊥BC交BC延长线于点G．

(1)如图1，求证：△ABE≌△EGF；
(2)如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
②当CHDH=m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB=6，求BE的值．  
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得POQO=12，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4),B(2,2),P−1,−32是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且POQO=12，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．

(1)如图1，已知图形W1：线段AB，A2,4，B2,2，在P1−52,−1,P2−1,−1,P3−1,−2中，______是图形W1的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形W2：线段BC，B2,2，C5,2，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W3：以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T，若以D−1,−2，E−1,1，F2,1为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．

1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A的度数为（    ）

A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（    ）

A．1 B．2 C．2 D．3
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（    ）

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
4．（2024·上海·中考真题）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（    ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
5．（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD=22CE，则下列结论：①AEBD=2；②∠DFE=135°；③△ABF面积的最大值是42−4；④CF的最小值是210−22．其中正确的是（    ）

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（    ）
A．12rl B．12πrl C．rl D．πrl
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（    ）

A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°−α2 D．0，90°−α2
8．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2π B．43π C．π D．23π
9．（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（　　）
A．1 ．

11．（2024·浙江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为

12．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．

13．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数y=kx+2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图像与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 ．
14．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

15．（2023·海南·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C=40°，则∠AOD= 度．

16．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0，P−1,0，⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 °．

17．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．

(1)若BA=BD，求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD=4，CE=2，求⊙O的半径．
18．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．

(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=10，DC=8，求⊙O的半径长．
19．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若∠ABC=60°,AB=4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
20．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是2,1)，并且经过点(4,2)，直线y=12x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1)，直线m上每一点的纵坐标都等于1．

(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：圆C与x轴相切；
(3)过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE:MF的值．

第六章 圆
第28讲 与圆有关的位置关系

152

👉题型01 点与圆的位置关系
👉题型02 点与圆上一点的最值问题
&#128073;题型03 直线与圆的位置关系
👉题型04 圆与圆的位置关系
👉题型05 利用切线的性质求解
👉题型06 证明某直线是圆的切线（有明确的交点）
👉题型07 证明某直线是圆的切线（无明确的交点）
👉题型08 切线的性质与判定综合
👉题型09 作圆的切线
👉题型10 应用切线长定理求解或证明
👉题型11 由三角形外接圆求值
👉题型12 由三角形内切圆求值
👉题型13 三角形内心有关的应用
👉题型14 三角形外接圆与内切圆综合
👉题型15 圆位置关系与函数综合

👉题型01 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·二模）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2−4x+4=0的一个根，则点P在（    ）
A．⊙O的外部 B．⊙O的内部 C．⊙O上 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d方程x2−4x+4=0得x1=x2=2，
∴d=2<4，
∴点P在⊙O的内部，
故选：B．
2．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（    ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键；
连接OP，OQ，OM，ON，由线段垂直平分线的性质可得出OP=OQ=ON，据此即可得出结论．
【详解】解：连接OP，OQ，OM，ON
    ∵作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O，
∴OP=OQ=ON，
∴点P，Q， N在点O为圆心，OP长为半径的圆上，OM与ON的大小关系不能确定，
∴点M不一定在圆上，
故选：C．
3．（2024·上海嘉定·二模）在△ABC中， AB=AC=8，cos∠B=14，以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是（  ）
A．点A在圆C外，点B在圆C上； B．点A在圆C上，点B在圆C内；
C．点A在圆C外，点B在圆C内； D．点A、B都在圆C外．
【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出BD=2，由等腰三角形的性质求出BC=4，即可判断出点B和点A与⊙C的位置关系，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：

∵AB=AC=8，cos∠B=14，
∴BD=AB×cosB=8×14=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD=4，
∵⊙C的半径为6，
∵4<6<8，
∴点A在圆C外，点B在圆C内；
故选：C．
👉题型02 点与圆上一点的最值问题
4．（2023·浙江金华·三模）如图，已知直线y= 34 x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C0,1为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是（　　）

A．112 B．6 C．8 D．212
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得，12×AB×CM=12×OA×BC，可求圆C上点到直线y=34x−3的最短距离，由此求得答案．
【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，
∵直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令x=0，则y=−3；令y=0，则x=4；
∴点A为(4,0)，点B为(0,−3)，
∴ AB=42+−32=5；
∴OA=4，BC=1−−3=4，
则由三角形面积公式得，12 ×AB×CM= 12 ×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM= 165，
∴圆C上点到直线y=34x−3的最小距离是 165−1=115，
∴△PAB面积的最小值是12 12×5×115=112
故选：A．
5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，AB=10,AD=15，点E是线段AD上的动点，连接CE，点D关于CE的对称点为F，连接AF，则AF的最小值为 ．

【答案】57−10
【分析】连接CF,AC，过点C作CG⊥AD于点G，先根据平行四边形的性质，解Rt△CDG，
再对Rt△ACG运用勾股定理求得AC=57，由对称确定点F的轨迹，由AF+FC≥AC，确定当A、F、C三点共线时，AF最小，即可求解．
【详解】解：连接CF,AC，过点C作CG⊥AD于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=10，
∴∠ADC=180°−120°=60°，
∴DG=DC⋅cos60°=5，CG=DC⋅sin60°=53，
∴AG=15−5=10，
在Rt△ACG中，利用勾股定理可得AC=57，
∵点D与点F关于CE对称，
∴CF=CD=10，
∴点F在以C为圆心，CD为半径的⊙C（平行四边形内部）上，
∵AF+FC≥AC，
∴当A、F、C三点共线时，AF最小，最小值为AC−CF=57−10．
故答案为：57−10．
【点睛】本题考查了平行线四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形三边关系确定最值，以及点与圆的位置关系，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=2AB=4，点E为四边形ABCD内一点，连接BE、CE、DE，若∠CBE+∠CDE=45°，则CE的最小值为 ．（结果保留根号）

【答案】42−4
【分析】本题是最小值的问题，考差了点到圆的最小距离．利用条件找到圆画出圆即可解决问题．
过点D作DO⊥AB交BA的延长线于点O，则四边形OBCD是边长为4的正方形,由∠CBE+∠CDE=45°，可得到∠OBE+∠ODE=135°，进而可得到∠BED=135°，故点E在四边形ABCD内部以点O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接OE、OC，OC交⊙O于点E'，则OE'=OE=OB=4，OC=42，CE≥OC−OE，即CE≥42−4，所以当点E在点E'的位置时，CE取得最小值．
【详解】解：过点D作DO⊥AB交BA的延长线于点O，

则四边形OBCD是边长为4的正方形．
∵ ∠CBE+∠CDE=45°，
∴