学位论文-—高中数学求解最值问题的一些方法.doc

高中数学求解最值问题的一些方法

摘要：最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛应用，是反映实践数量关系、几何图形性质中的数学。最值问题是中学数学的重要内容之一，分布在各知识点，以最值为载体，考查高中数学的所有知识点。因此,它在高考中占有比较重要的地位。本文给出了求解最值的几种方法,如均值不等式、三角函数、函数的单调性、数形结合法等。同时，给出了每种方法的特点，并且分析了某些方法适用于何种题型。
关键词：最值；均值不等式；三角函数；函数的单调性；数形结合。

引言
在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最低”等问题。例如效益最高，成本最低，利润最大等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，简称为求解最值问题。最值问题是历年高考考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用数学技能，灵活选择合理的解题方法。本课题对求高中数学中最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求高中数学最值问题的初等求解方法。相信本课题在理论知识上丰富和发展了最值问题及相应学科的理论、方法和技巧。

一 利用均值不等式求解最值问题
利用均值不等式求解最值问题主要根据算术平均数大于等于几何平均数
即：，（其中）
由此得到几个常用的重要均值不等式：
(1)、当且仅当时，“=”号成立；
(2)、,当且仅当时，“=”号成立；
(3)、,当且仅当时，“=”成立；
(4)、，当且仅当时，“=”成立。
注 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
熟悉一个重要的不等式链：.
例1 已知两正数且，求的最小值。
解 因为且，所以

当时，
例2 求函数的最小值。
分析 是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值。而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添1、减1，即，再用均值不等式
解

当且仅当，即时，等号成立。所以的最小值是3.
小结 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
1、利用均值不等式求常见最值问题：
(1)、求几个正数和的最小值；
(2)、求几个正数积的最大值；
(3)、用均值不等式求最值等号不成立；
(4)、条件最值问题；
(5)、利用均值不等式化为其它不等式求解的问题。
2、用均值不等式求最值问题的常见技巧：
(1)、添、减项（配常数项）；
(2)、配系数（乘、除项）；
(3)、裂项；
(4)、取倒数；
(5)、平方；
(6)、换元（整体思想）；
(7)、逆用条件；
(8)、巧组合；
(9)、消元。

二 利用三角函数法求解最值问题
在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用三角函数的这一性质，将三角函数化为同一角的三角函数形式，或将其看作一个整体进行配方，从而解决问题。
例3 求函数的最值。
解 因为，
又因为，所以，由三角函数的图象可知.
小结 在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法。
用三角函数求最值问题的常见技巧：
(1)、用三角函数的有界性求最值；
(2)、将三角函数最值化为二次函数的最值；
(3)、数形结合；
(4)、利用三角恒等变形。

三 利用函数的单调性求解最值问题
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年高考必考内容。利用函数的单调性求最值问题先判明函数在给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值。
例4 设的导数满足，，其中常数，设，求函数的极值。
解 因，故
令，得 由已知 解得
又令，得
由已知，解得. 所以
，从而有， 则
令，得 解得
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减。
从而在处有极小值在处有极大值.
注 此类型题一般出现在高考题中的第21题，其中有的题型是直接求解最(极)值，有的是以函数的单调性作为媒介求系数的取值变化。在高考题中，还有利用函数的单调性求实际生产应用中的利润问题。例如已知某商场每日销售商品的销售量与销售价格之间的关系式，求商品每日所获得的最大利润。但是此类型题在最近几年的高考题中很少出现。
小结 运用函数单调性求常见最值问题：
(1)、利用函数单调性求对勾函数[形如型]的最值。
注：对勾函数的极值规律：
当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值；
当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值；
当时，函数没有极值。
(2)、利用单调性求抽象函数的最值。
(3)、利用单调性求复合函数的最值。

四 利用简单线性规划求解最值问题
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。
例5 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，
求的取值范围。
解 由线性约束条件画出可行域如图1，考虑，把它变形为，这是斜率为1且随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距。当直线满足约束条件且经过点时，目标函数取得最大值为4；直线经过点时，目标函数取得最小值为-3.故的取值范围为.

注 本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为，然后再一一代入目标函数求出的取值范围为更为简单。
小结 简单线性规划是高中数学教学内容之一，解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）问题 。
运用简单线性规划求常见最值问题：
(1)、与直线的截距有关的最值问题；
(2)、与直线的斜率有关的最值问题；
(3)、与距离有关的最值问题；
(4)、与实际应用有关的最值问题。

五 利用二次函数求解最值问题
定义 一般地，如果，那么叫做的二次函数。其表达式有：
(1)、一般式：；
(2)、顶点式：；
(3)、交点式：。
二次函数的性质：当时，抛物线开口向上，值越大，开口越小，反之值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，值越小，开口越小，反之值越大，开口越大。
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时开口向上

当时开口向上

当时开口向下

当时开口向下

当时开口向下

例6 已知方程有实根,其中,设，求的最大值和最小值。
解
由，得

因为所以
即， 所以的最大值和最小值分别为27和.
小结 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。并且二次函数解析式的三种形式可以互化。
对于，如果没有给出约束条件时，则就有：
若，则当时，取得最小值，即；
若，则当时，取得最大值，即.
但有时候，题目会约束自变量的条件，不易直接求出函数值的取值范围。
利用二次函数求常见最值问题：
（1）、利用二次函数求面积最大（小）值问题；
（2）、利用二次函数求几何图形中的最值问题；
（3）、应用二次函数求实际问题的最值。
六 利用参数法求解最值问题
定义 参数法指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，在进行分析与综合，从而解决问题。
例7 在直角坐标系中，直线方程为，曲线的方程为，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。
解 已知曲线的方程为，则曲线的参数方程为。
因为点在曲线上，故可设点的坐标为，则

由此得，当时，取得最小值 ，且最小值为.
小结 参数法解题的基本步骤：
（1）、设参，即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）；
（2）、用参，即建立参数方程或含参数的方程；
（3）、消参，即通过运算消去参数，是问题得到解决。

七 利用数形结合法求解最值问题
根据代数问题的结构特征，联系几何背景，建立解析几何模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系寻求解法，即将一些抽象的解析式，把代数问题转化为几何方法来求解，使之更简单、快捷。
例8 若实数、满足，求的最大值及最小值。

解 由已知得是以为圆心，以1为半径的圆的方程。然而，正是圆上的点与原点连线的斜率。
设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以的最大值为，最小值为.

小结 利用数形结合法求函数最值常见方法：
（1）、借助两点间的距离公式；
（2）、借助点到直线的距离公式；
（3）、利用平行线间的距离公式；
（4）、利用直线的斜率；
（5）、利用直线的截距；
（6）、利用定比分点坐标公式；
（7）、利用直线与圆锥曲线的位置关系。

八 利用向量方法求解最值问题
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。对于某些代数求最值问题可以构造向量，可将其转化为向量问题求解。有关向量的结论：
（1）、由可知，当与同向时取等号。，当与平行时取等号。，当与平行时取等号。
（2）、，当与反向且时左边不等式取等号，当与同向时右边不等式取等号。，当与同向且时左边不等式取等号，当与反向时右边不等式取等号。
例9 当为何值时，函数有最小值，并求出这个最小值。
解 将函数变形为
，
设，，则有
，
当且仅当与反向，即时等号成立。
所以时，函数有最小值，且最小值为5。
小结 在中学数学中，对某些代数最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容。对求解最值问题时，特别是一些无理式的最值问题，使用向量方法可以大大化简解题过程，提高解题效率。
1、利用向量法求常见最值问题：
（1）、利用向量的数量积求最值；
（2）、利用向量的和求最值；
向量三角不等式主要由以下四个：
，当且仅当与同向时取等号；
，当且仅当与反向时取等号；
，当且仅当与反向时取等号；
，当且仅当与同向时取等号。
2、构造向量求常见的函数最值问题：
（1）、构造向量，求整数函数最值；
（2）、构造向量，求无理函数最值；
（3）、构造向量，求分式函数最值；
（4）、构造向量，求元素条件最值；
（5）、构造向量，求对数函数最值；
（6）、构造向量，求三角函数最值；
（7）、构造向量，解一类解析几何最值题。

结论
求解最大（小）值的问题技巧性强，难度较大，应根据题目特点，选取适当的方法。本文介绍了几种求解最值的方法及其方法的特点，揭示了某些方法之间的联系，使读者能更好的体会各个学科之间是有联系的，并不是独立存在的。

参考文献
[1]卢勇刚.用均值不等式求最值的类型及方法[J].高中数学教与学,2005(05):6
[2]陈秀娟.利用函数的单调性求最值[J].中学教学参考，Peference For Middle School Education,2010(26):35.
[3]李继.构造解几模型求函数最值（高二、高三）[J].数理天地(高中版),2005(04):10.
[4]华靖.用向量方法求函数值域或最值[J].高中数学教与学，2007(01): 19-20.
[5]黄俊峰、袁方程.用向量法求解最值问题[J].数学教学通讯，2008(05):62-63.
[6]李建新、孙建斌.构造向量求函数最值[J]. 中学数学月刊,2003(03):30-32. 

第 12 页 （共 12 页）