电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题.doc

电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．方程所有常数解是　　 　　．
2．方程的基本解组是 ．
3．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　 　　．
4．函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．
5．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程的奇解是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
7. 方程过点共有（ ）个解．
　　（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
8．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
10．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为 （B）必为
（C）必为 （D）将因解而定
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分：
11.
12.
13.
14．
15．
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程的通解．
17．求下列方程组的通解
．
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．
19．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．

试题答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1． 2．
3．，（或不含x 轴的上半平面）
4．充分 5．没有
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．D 7．B 8．A 9．C 10．D
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： 令，则，代入原方程，得
， （2分）
当时，分离变量，再积分，得
（4分）
（5分）
即通积分为：
（6分）
12．解： 对应齐次方程的通解为
（2分）
令非齐次方程的特解为
（3分）
代入原方程，确定出
（4分）
再求初等积分得
（5分）
因此原方程的通解为

+ （6分）
13．解： 积分因子为
（3分）
取，则原方程的通积分为
（5分）
即
（6分）
14．解： 令，则原方程的参数形式为
（2分）
由基本关系式 ，有
（4分）
积分得 （5分）
得原方程参数形式通解为
（6分）
15．解： 原方程是恰当导数方程，可化为
（2分）
于是积分得
（4分） 分离变量得
（5分）
积分得通积分为
（6分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应的齐次方程的特征方程为：
（1分）
特征根为：
（2分）
故齐次方程的通解为：
（4分）
因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
（6分）
代入原方程，有
， （7分）
可解出
． （8分）
故原方程的通解为
（10分）
17．解： 方程组的特征方程为

即 （1分）
特征根为
， （2分）
对应的解为
（3分）
其中是对应的特征向量的分量，满足
（4分）
可解得． （5分）
同样可算出对应的特征向量分量为 ． （8分）
所以，原方程组的通解为
（10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明： 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． （2分）
显然 是方程的两个常数解． （4分）
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为． （ 10分）
19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是． （2分）
显然，该方程有零解． （5分）
假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 ．这与是非零解矛盾． （10分）广播电视大学
电大属于中央广播电视大学的简称，国家开放大学7月31日正式挂牌成立，它是由在中央广播电视大学和地方广播电视大学的基础上组建，以现代信息技术为支撑，办学网络立体覆盖全国城乡，学历与非学历教育并重，面向全体社会成员，没有围墙的新型大学。目前，注册在学生359万人，其中本科学生105万人，专科学生254万人，包括近20万农民学生，10万士官学生，6000多残疾学生。国家开放大学的组建成立，标志着广播电视大学系统在新的历史起点上踏上了新的征途。电大是我国高等教育的重要组成部分，与普通高校(所谓的"正规大学")一起承担培养各类专门人才，提高劳动者素质的任务，国家同样承认学历。