学士学位论文--关于凸函数的研究.doc

西安石油大学本科毕业设计（论文）

关于凸函数的研究

摘 要：凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．
本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定方法及其应用，得到了凸函数的许多重要性质，给出了凸函数的几个著名不等式（其中包括Jensen不等式、Hadamard不等式以及一些初级不等式）及其应用，并讨论了凸函数在微分以及画函数图像中的应用．

关键词： 凸函数；不等式；应用；性质

The study of convex function

Abstract: Convex function is an important function. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof.
This article by a convex function definition, the determination of the convex function and its application, get many of the important properties of convex functions, convex functions give several famous inequalities (including Jensen inequality, Hadamard inequality and some elementary inequalities) and its application and discussed the convex function in the differentiation and function of the image in the application of paint.

Key words: Convex function； Inequality； Application； Property

目 录
第1章 绪论 1
1.1 凸函数研究的背景 1
1.2 凸函数研究的意义 1
第2章 凸函数的定义及判定 2
2.1 凸函数几种常见定义： 2
2.2 定义之间等价性的证明与探讨 4
2.3 凸函数的判定定理 7
第3章 凸函数的性质 10
3.1 运算性质 10
3.2 分析性质 12
3.3 其它性质 14
第4章 凸函数的应用 15
4.1 凸函数在证明不等式中的应用 15
4.1.1 凸函数基本不等式 15
4.1.2 Jensen不等式 15
4.1.3 Hadamard不等式 16
4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用 17
4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用 19
4.2 凸函数在微分中的应用 21
4.3 凸函数在画函数图像上的应用 23
4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤 23
4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例 23
结 论 26
参考文献 27
致 谢 28

I

第1章 绪论

1.1 凸函数研究的背景
在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进行寻求解决问题的途径．凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数，自21世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛应用（例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论等领域之中得到广泛应用并取得了较好效果）．
凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中．它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具．在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用．
1.2 凸函数研究的意义
凸函数的定义最早是由Jenser给出．自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用．凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用．由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出．数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广．

第2章 凸函数的定义及判定

大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方．我们可以下这样的定义：设在上有定义，若曲线在任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数．
上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的．
2.1 凸函数几种常见定义：
定义2.1：设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点、和任意的总有

则称为上的凸函数．
若把式中的“”变成“”，则称为上的凹函数．
定义2.2：设在区间上有定义，若，，总有

则称为上的凸函数．
例 指数函数是上的凸函数．
不难验证，恒正的函数满足关系式:
，
由指数函数的单调性可知，当时，必有，再由不等式正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有综合上述可得：
因此，是上的凸函数．
凸函数的几何特征

Y

0 X
如上图所示，，是凸函数上的两点，它们对应的坐标分别为
，且，，
那么存在，使得，于是是图中的点，而是图中的点，点的位置在点的上方，也就是
．
因此凸函数的几何意义就是，其函数上任意两点，之间弧段位于弦的下方．
定义2.3：设在区间上有定义，若，，，，总有

则称为上的凸函数．
定义2.4：设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当：且，，，，有

定义2.5：设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当：不全为零，，，，，有

定义2.6：设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当：，， ，且，有

定义2.7：设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当：，， ，且，有

上述定义中的“”若改成“”，则称为区间上的严格凸函数．
2.2 定义之间等价性的证明与探讨
定理2.1：定义2.2与定义2.3等价．
证明：“定义2.3 定义2.2”显然成立，在式中令即得式．只要证明“定义2.2 定义2.3”．采用反向归纳法．
1）由式知：当时式成立．现证时成立．事实上，，，，，由式有

此即式当时成立．一般地，对任意正整数，重复上面方法，应用式次，可知
这表明式对一切皆成立．
2）（证明式对成立时，必对也成立）记，则，可得．假若式对成立，则有

两边同乘以，减去，最后除以，又，从而可得:

此即式对也成立．证毕．
定理2.2：定义2.1与定义2.2、2.3等价．
证明：1）“定义2.1定义2.2、2.3”．在式中令可得式成立，即定义2.1蕴含定义2.2，由定理2.1至定义2.2、2.3等价，故定义2.1也蕴含定义2.3．
2）“定义2.2、2.3定义2.1”．（若，式显然成立），不妨设，，先证式当为有理数（为正整数）时成立．事实上：

此即为有理数的情形得证．若为无理数，则存在有理数使．注意到表示的点均是区间内部的点，由引理知在这些点处连续，从而

对于有理数，利用上面的证明有

此式中令取极限并联系上式，有

此即式对任意无理数也成立．故定义2.2,2.3也蕴含定义2.1.证毕．
定理2.3：定义2.1与定义2.4、2.5 等价．
证明:“定义2.4定义2.1”只要在式中令即得．“定义2.1定义2.4”采用数学归纳法可证（定义2.4即为“不等式”）．“定义2.4定义2.5”明显，故定理2.3得证．
定理2.4：定义2.1与定义2.6、2.7等价．
证明：“定义2.1定义2.6”，，且，令，则，且，又由式知：

即
此式化简变得式故“定义2.1定义2.6”成立．反之，，不妨设，令，则，从而由式并化简可得式也成立，故“定义2.6定义2.1”也成立．注意到式与式只是公式的等价变形，所以“定义2.6定义2.7”成立，于是定理得证．
2.3 凸函数的判定定理
利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便．因此需要建立一系列的便于应用的判别法．
定理2.5：若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数是上的一个凸函数．
证明：设，则

由于是递增的，故
从而得，这样，有定义2可知，是凸函数．
定理2.6：设是区间上的可导函数，则下述论断相互等价：
1）是区间上的凸函数；
2）是区间上的增函数；
3）对区间上的任意两点，有；
证明：1）2）在区间上的任意两点，对充分小的正数，由于，则由定义2.6可知

因是区间上的可导函数，令时可得

所以是区间上的增函数．
2）3）在以为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和是区间上的增函数得：
移项后得，且当时仍可得到相同的结论．
3）1）任取区间上的任意两点,，由3）并利用与得：

分别用和乘上述两式并相加．便得

是区间上的凸函数．
定理2.7：若在区间上存在，则在上成为凸函数的充分必要条件是：在上．
证明：必要性，已知为凸函数，令，，并设因而，这样就有，即．用反证法，假设，由可知，存在，，使得
另外，从知
是的减函数．但这函数当时等于．
因此，．这与结论矛盾，因而
充分性，两次应用中值定理有

及 ，
从而
再由 得 ．
在上式中，令，及，得
，
两式相加得．故为凸函数．证毕．
例 函数在内是凸函数，因为．
定理2.8： 若在区间上存在，，则在区间上是严格凸函数．

第3章 凸函数的性质

3.1 运算性质
性质1：若函数和均为上的凸函数，则函数也为的凸函数．
证明：因，是凸函数，有定义可得，若对区间上任意两点和正数总有

则

即为凸函数。
性质2：若函数为上的凸函数，为正常则函数也为上的凸函数．
证明：因是凸函数，由定义知，若对区间上任意两点和正数总有

在上式两边同时乘以正常得：

故也为凸函数。
推论1：若函数和均为上的凸函数，则线性组合的函数
为上的凸函数．
性质3: 若函数和均为上的凸函数，则函数

为上的凸函数．
证明：因为，是凸函数，即对内任意两点和正数总有

从而有

所以为上凸函数
性质4： 若函数是单调递增的凸函数，函数也是单调递增的凸函数，则复合函数也是凸函数．
证明：因为函数是单调递增的凸函数，函数也是单调递增的凸函数．故
，，，
又
所以 ，既证函数是凸函数．
性质5：若函数与都是上的非负单调递增的凸函数，则函数也是其上的凸函数．
证明：因为函数与在区间上是非负单调递增．则
且和有

又因为函数与在区间上是凸函数．
所以 ，

又因为，．将上述两式与相乘得

既证 在区间上是凸函数．
性质6：若函数为区间上的凹函数，，则函数为区间上的凸函数，反之不真．
证明：要证为区间上的凸函数，即证明任意，，有，因为，为凹函数．故有
所以：
只需证明： ，
由于，故成立，结论得证．
3.2 分析性质
性质7：若函数是定义在区间上的凸函数，则在内的任意有限闭子区间上有界．
证明：设是内的任意有限闭子区间，则对，存在，使得，由凸函数的定义知：

因此在上有上界，设其上界是．
再证在上有下界：
对任意的，令，则

所以，记．
综合上述，
性质8：若函数是定义在区间上的凸函数，则对任意的，且，有
证明：令，则，由的凸性可知
从而有

即

所以
性质9：若函数是定义在区间上的凸函数，则在区间内连续．
证明：对任意的，都存在闭区间，使得，令，由性质8知：
当，有
当，有
因而有
再由性质7可知，上式右端是有下界变量．因此，当时，有，所以在点连续，由的任意性可知，在区间内连续．
3.3 其它性质
性质10：若函数是定义在区间上的凸函数，则有：
1） 函数 在内处处存在左、右导数与，且．
2）与都是的不减函数．
性质11：设函数为区间上的严格下凸函数，若有是的极小值点，则是在上唯一的极小值点．
性质12：是上二阶可导的凸函数，是上任一子区间，是区间上任一点，则

第4章 凸函数的应用

4.1 凸函数在证明不等式中的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．
4.1.1 凸函数基本不等式
设是内的凸函数，则对内的任意一组值，，，，必有不等式：

当仅当时等号成立．
4.1.2 Jensen不等式
Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷．
Jensen不等式 设是内的凸函数，则对内的，且
不全为零，，，，有

当仅当时等号成立．
Jensen不等式的积分形式 设是内的凸函数，而与是上的连续函数，，则成立

例1 若为上的正连续函数，则

证明：考虑到函数是凹函数，为上的正连续函数．当设．根据Jensen不等式的积分形式立得：

整理可得: ．
例2 若，则

证明：设，因，故是凸函数．由Jensen不等式有：
两边同乘以立得：
4.1.3 Hadamard不等式
设是区间上的凸函数，则对于，有

证明：由于是区间上的凸函数，所以存在．且当时，，故

即 ：
又因 ：
令，得：

故：

从而：
作变换，则有

从而
综合以上可知：
4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用
例1 设，，为正数，且，证明
证明：令 ．则
因此，在上是凸函数，则有

即
故
例2 证明不等式，其中，，均为正数．
证明：设，．由于的一阶和二阶导数
，
可见，在时为严格凸函数，根据Jensen不等式有：

从而
即
又因为 ，所以
．
例3 设，证明
证明：先将原不等式化为，因为为上的凸函数，故当，时，有令，则

而
所以
即 ．
这道题目用初等知识比较困难，但通过构造凸函数巧妙地令，，更可能方便的得证．
4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用
在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算数平均值，算术平均值不大于均方根平均值．而证明数学归纳法，其实，这些不等式可以在凸函数框架下统一证明．
注释：
算术平均值：
几何平均值：
均方根平均值：
调和平均值：
例1 设，，，，，证明：

证明：设，，有，从而，函数在是严格凸函数，取
，，，，，，
有
即
即
取 ，，，，，，，
同样方法，有
于是有．
例2 证明，，，，有

上式称为算术平均不大于次平均，特别地，当时，得到算术平均值不大于均方根平均值．
证明：考察函数，由于有，，所以为凸函数．
从而 ，，，，，，，，
有
在上式中，令
即得
例3 若，，，，且，求证：不等式

证明：从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，可对它进行一定的变形．不妨在不等式两边同取自然对数，则有

由此很容易找到合适的凸函数，考察函数，因为．因此函数在时为凸函数，又有，， ，所以
于是
即
特别地，当，时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式．
4.2 凸函数在微分中的应用
我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz性质．
例1 设函数在区间上为凸函数，试证：在上任一闭子区间上有界．
证明: 设为任一闭子区间：
1）（证明在上有上界），取，
因为凸函数，所以

其中，故在上有上界．
2）（证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以
从而， 即为在上的下界．
例2 设函数为区间内的凸函数，试证：在上的任一内区间上满足Lipschitz条件．
证明：要证明在区间上满足条件，即要证明：，使得
有
因为，故可取充分小，使得与此，若，取．由凸性，（其中分别表示在上的上下界），从而
若，可取，由的凸性，有，从而由此可得成立．
若，则式明显成立，这就证明了式对一切皆成立，因此式当与互换位置也成立，故有，令，则式也获证．
例3 设函数为区间内的凸函数，并且有界，试证极限与存在．
证明：设时，为内的任意三点，根据的凸性，当递增时也递增．又因为
．
根据单调有界原理，有极限 ．
从而亦存在．类似可证的存在．
4.3 凸函数在画函数图像上的应用
4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤
1）、考察自身：
确定定义域，讨论其大范围特性（奇偶、对称与周期性）．
寻求的零点、不连续点以及渐近线．
2）、考察和：
寻求稳定点以及导数不存在的点，判定的符号，用以确定的增减区间与极值点（同时计算极值）．
寻求的零点二阶导数不存在的点，判定的符号，用以确定图形的凸性区域和拐点．
3）、列表并画图．
4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例
例1 作曲线的图形．
解： 1）因在处无定义，且有

即直线是该曲线的垂直渐近线，直线是该曲线的水平渐近线：且．
2）令，有及使导数无意义．
3）列表、画图

1

2

3

+
-
-
-
0
+
+
+

+
+
+
+
+
+
0
-

0

Y

X

曲线的图形

例2 作由方程或给出的曲线图形．
解：1）考察函数本身，可知它具有周期性，周期为．从而只需讨论从变到即可．此时的取值范围为且有：时；时；时；时；曲线无渐近线．
2）对其求一阶、二阶导数得：
在时，且有；使无意义．
3）列表、画图

-

+

-

+

+

+

-

-

Y

X

方程的曲线图形

结 论

本文对凸函数这一概念给出了不同形式的定义，对凸函数几种定义的等价性给予证明，并给出了凸函数的性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出了有关凸函数的简单应用：应用凸函数的概念性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数的在证明不等式中的应用，运用它解题显得巧妙、简练．利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的；此外，本文还研究了凸函数在微分以及画函数图像中的应用．

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致 谢

从开始进入论文的开课到论文的顺利完成，整整经历了三个多月的时间．在这几个月里，有很多老师、同学、朋友给了我无数的帮助，在这里我真心的谢谢他们！
首先感谢理学院四年来对我的培养，是我们的老师教会了我学习方法、锻炼了我思考的能力，指明了我未来奋斗的方向，是我进一步明确了人生目标．
其次，我要感谢我的指导老师—李富民老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；李老师循循善诱的教导和一丝不苟的思路给予我无尽的启示．在撰写整个论文的过程中，李老师为我们思考到每一个细节，尤其是在开题报告和毕业论文的拟定修改上，李老师更是不厌其烦的为我们做好每一步的细心教导．对此，我表示衷心的感谢！没有李老师，我的论文也不可能这么顺利的完成．
最后，我要感谢每一位给过我帮助的老师和同学，在我撰写论文的过程当中同样给了我大量有益的建议，在此向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助．

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