图-连通的概念.doc

三、连通性
 3.1 连通性和Whitmey定理
 定义 V’真包含于V(G)，G[V(G)-V’]不连通，而G是连通图，则称V’是G的顶剖分集。最小顶剖分集中顶的个数，记成κ(G)，叫做G的连通度；规定κ(Kv)=υ-1；κ(不连通图)= κ(平凡图)=0。由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义 E’包含于E(G)，G为连通图，而G-E’(从G中删除E’中的边)不连通，则称E’为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E″，使得|E″|<|E’|,则称|E’|为G的边连通度，记成κ’(G)。|E’|=1时，E’中的边叫做桥。规定κ’(不连通图)=0，κ’(Kv)= υ-1。
定义 κ(G)>=k时，G叫做k连通图；κ’(G)>=k时，G称为k边连通图。
k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。
k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

定理1 κ(G)=<κ’(G)=<δ(可以复习一下第一章的1.2：δ=min{d(vi)})
证：设d(v)=δ，则删除与v边关联的δ条边后，G变不连通图，所以这δ条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过δ，即κ’(G)=<δ。下证κ=<κ’。分情形讨论之。
若G中无桥，则有κ’>=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删除这κ’条中的κ’-1条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述κ’-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过κ’-1个)端点，若G变得不边能，则κ=<κ’-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是κ=<κ’。证毕。
这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。

下面就是Whitmey定理

定理2(Whitney,1932) υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。
证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。任取两顶u,v∈V(G-w)，u,v在G中共存于圈C上，若w不在C上，则G-w中仍有圈C，即u与v在G-w中仍连通；若w在G中时在C上，在G-w中u与v在轨C-w上，故u与v仍连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故κ(G)>=2，即G是2连通图。
反之，若G是2连通图，υ>=3,任取u,v∈V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨
当d(u,v)=1是时，因κ=<κ’=<δ，故κ’>=2，uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v)与边uv。
假设d(u,v)=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。令P0(u,v)之长为k,w是P0(u,v)上与v相邻的顶，则d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。在G-w中存在轨P’(u,v)<>P0(u,v)，令x是P∪Q上P’的最后一个顶。因u∈P∪Q，故x存在(可能x=u)。不妨设x∈V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P’上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。

图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。
就是打字时中英文切换麻烦。

3.2 割顶、桥、块

割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。看起来比较的累人。

定理3 v是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：
(1)   v 是割顶
(2)   存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上
(3)   存在V-{v}的一个划分V-{v}=U∪W，U∩W=φ，使得对任意的u∈U,w∈W,v在每一条由u到w的轨上。

定理4 x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：
(1)    x是G的桥。
(2)       x不在G的任一圈上。
(3)       存在顶u,v∈V(G),使得x在每一个从u到v的轨上。
(4)       存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w, u∈U,w∈W时，x在每条从u到v的轨上。

上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。

定理5 G连通，υ>=3,则下列命题等价：
(1)G是块。
(2)   G的任二顶共圈。
(3)   G的任一顶与任一边共圈
(4)   G的任二边共圈
(5)   任给G的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨
(6)   对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶
(7)   对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，不含第三个顶。
(本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下)
证：(1)>>(2)，(2)>>(1)见定理2
(2)>>(3) 只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且u<>v,u<>w的情形。设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w)与边vw形成一个圈，它含u及边vw。若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P(w,u)。令u’是P(w,u)与C从w沿Pw,u)看来的第一个公共顶，则由边vw,P(w,u)上w到u’段，以及C上含u的轨P’(u’,v)并成一个圈，此圈满足(3)的要求。
(3)>>(4)与(2)>>(3)类似证明。
(4)>>(5) 已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于(2)>>(3)知u与x共圈，设此圈C1；同理v与x共圈，设此圈是C2；若v∈C1或u∈C2,则(5)成立；若u不属于C2，且v不属于C1，则如下构作含x之轨P(u,v):从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。
(5)>>(6) 设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由(5)存在轨P(u,v)，x在P(u,v)上，于是w在P(u,v)上。
(6)>>(7) u,v,w∈V(G),由(6)，存在轨P(u,w)，P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u到v的一段不含w。
(7)>>(1) 由(7)，对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨上，由定理3，G无割顶，故G是块。证毕。

讲了这么多，下节才涉及到实践中的问题。下节讲可靠通讯网的构作。不过下节又是本章的最后一节了。

3.3 可靠通讯网的构作

我们要构作一个有线通讯网，使得敌人炸坏我几通讯站后，其余的通讯站仍然可彼此通话。显然，有两个要求是必要的：一是不怕被敌人炸坏站的数目要多，一是整个造价要小。这个实际问题的数学艺术模型如下：
G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。当k=1时，它就是用Kruskal算法求得的生成树；当k>1时，是尚未解决的难解问题之一。哦，原来k>1时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。
当G=Kυ，每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。下面介绍Harary的工作。
令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，m={mn/2}
Harary实际上构作出一个n顶的m连通图，它的边数恰为{mn/2}条，且f(m,n)={mn/2}。此图记成H(m,n) 。
(1)                     m是偶数，m=2r。H(2r,n)以{0,1,2,…,n-1}为顶集合。当i-r=H(2r+1,n)。
(3)                     m是奇数，m=2r+1,n是奇数。先构作H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与(n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2间加上边，其中1=两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通片，令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},
其中加法在mod n下执行。因为|V'|<2r，不失一般性，设|V'∩S|={mn/2}, ε(H(m,n))={mn/2},
而H(m,n)是n顶m连通图，故有
f(m,n)=<{mn/2},
从而得
ε(H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。
证毕。

由于κ=<κ'，故H(m,n)也是m连通图，若用g(m,n)表示n个顶m边连通图中最少边数，则对1欧拉这个人真的是厉害，在数学的各个领域都留有他的足迹。噢，从欧拉之后停滞了好长一段时间(再次可见欧拉的水平，对他是佩服得五体投地呀，不服不行)，直到二百年后，1936年匈牙利的Konig(书上的名字打不上来呀，字母怪怪的，随便用其他字母替了)发表了《有限图与无限图理论》这第一本图论的专著，图论才获得了长足的发展，成长了数学中的一门独立的学科。下面讲了图论的各种应用，在各个学科中的作用，不一而足呀。
又提到了四色定理，这么有名的东东，当年也是三大猜想呀。这个还是靠机器证出来的。后面出了个以前没听到过的名词----妖怪图(Snark graph)，看它的定义有点晕乎乎的先记在这，后面还要讲到：何为妖怪，指这种性质的图很难设计出来，它是无桥三次正则图，每个顶点处关联了三条边；它的围长不小于5，它的边色数是4，删除三条边不会使它破裂成两个有边图。(书上说是封面上那幅漂亮的图，可我下载的电子书没有封面呀，不知这个妖怪迷到何程度呀)。MD，第一课就讲了好多难题，差点不想往下看了，什么Ulam猜想，货郞问题，Ramsey问题，真有点让人望而却步。
最后摘段书上的话，“从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙的论证、即使是非常困难的尚未解决的问题也易于表达。现实生活中也处处潜藏有图论的难题，图论是最接近群众生活，最容易向科学水准很低的人阐述的一门学科。问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问题。常常是貌似简单的问题，即使幸运地得出证明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往运用了极艰苦的计算。”后面越往后看，越觉得上述的话说的有理，十分之有理(无理的话书上也不会堂而皇之的放那么久)。
回顾结束，下次正式进入正题。

1.2 图的定义
这节没什么好说的，学过图论的人应该都知道这些东西吧。
只是有些符号要注意一下，这好象是约定成俗的，不注意的话下面的一些东西会看不顺溜。图G，顶点集合V(G)，边集合E(G)，顶点一般就用u、v了，边一般用e，顶点数|V(G)|=υ，边的数目|E(G)|ε。
本书只讨论有限图，无限图应该是很不同的东东了，咱以前学初等数学不太考虑无限的时候是一番天地，到后来一考虑无限，多了个无穷这个符号(就是8横过来的那个符号)又是另一番一天地了。看来这无限图也不是很好惹的。书上说不讲了，那我也不讲了，讲不出来。
下面是术语：
(1)   边的端点：e=uv，u、v就叫边e 的端点
(2)   边与顶相关联：e=uv，就叫e与u、v 相关联
(3)   邻顶、邻边：同一边联在一起的就是邻顶了，同一顶连在一起的就是邻边了
(4)   环、重边：这很好理解。回去又回来就是环，两顶间拉了一条又一条就是重边。
(5)   平凡图：只有一顶(点)外什么也没有，光杆司令一个
(6)   单图：无环无重边的图
(7)   完全图：任二顶皆相邻的图，记为Kυ 这个以后常会用到
(8)   二分图：图的顶点可分为两个不相交的集合X与Y，这两个集合内的任二顶之间都不相邻，若X中每一顶毕竟与Y中一切顶相邻则叫完全二分图，记为Km,n 其中|X|=m,|Y|=n 这个也是后面常会提到的
(9)   顶点v的次数：记为d(v),定义d(v)=d1(v)+2l(v)。其中d1(v)是与v相关联的非环边数，l(v)是与v相关联的环数(一个环对顶的次数是要算两次的)。

书上都把图上的点说顶的，刚开始看书不是从头开始看的，顶呀顶的有点不习惯，上面这些术语会在后面重复的出现。看来要好好的记住。

出现了全书的第一个定理，应该是最古老的图论定理了，就是欧拉给出的。
定理1 Σd(v)=2e 如果明白它的符号的意义的话这很好理解，因为每一条边都会连有两个顶(即使是环的话也是算两次的)。所以所有顶的次数的和恰好是边的数目的2倍。
推论1 奇次顶的总数是偶数 因为所有顶的次数之各是偶数，所以不可能有奇数个奇次顶。
后面是上面的定理与推论的应用：
晚会上大家握手言欢，试证握过奇次手的人数是偶数。
空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而每个面又有奇数条边。
碳氢化合物中氢原子个数是偶数。
上面的命题不是很难，不用图论瞎想想也能想出来，不过数学就是数学，这种东西上升到理论高度就不可同日而语了。就象七桥问题一样，道理很浅显，但由此发展出来的东西就天差地别了。

下面有一个跟妖怪有关的定义：k次正则图----d(v)≡k的图，妖怪的k等于3
又有两个符号：δ=min{d(vi)} Δ=max{d(vi)}

最后是两图同构的定义。定义比较的拗口，又是映射，又是当且仅当，而且有很多符号，把它打上来没意思。意思就是“对应顶夹对应边”，不管它顶怎么放，七扭八扭的迷惑人，到处乱跑也没关系，反正只要边连联对，就逃不掉，就是同构的。我是这样理解的。G、H两图同构记为G≌H

这一节就到这里结束了，到目前为止还没有很棘手的东西，下一节是轨道与连通。会给出一个图G是二分图的充要条件。

1 .3 轨道与连通

本节只讨论无向单图。
定义W=v0e1v1e2v2…ekvk 为图G的一条道路。v0为起点，vk为终点，k为路长，vi(1≤i≤k-1)叫道路的内点。
各边相异的道路叫行迹，顶点各异的道路叫轨道：记为P(v0,vk)
起点终点重合的道路叫回路，起点终点重合的轨道叫圈，长k的圈叫k阶圈。
u,v两顶的距离是指u,v间最短轨道长度，记为d(u,v).
若u,v两顶间存在道路则称u与v 相连通。图G中任二顶皆连通时则称G为连通图。复习一下，完全图是任二顶皆相邻，可比这个要强多的图喽。

打得好累呀，这些定义都简单得很，可不熟悉这些东西，看后面的东西更累，刚开始看书时从中间开始看的，看得很莫名呀----基本概念还是要搞懂。

下面是子图的概念，H是G的子图就是H的边与顶的集合都是G的边顶集合的子集的意思，很好理解，不打那种符号直接讲省事。
若H是G的子图，且H与G不同构，则称H是G的真子图，跟真子集一样的，也是用一样的符号表示的。
若H是G的子图，且两者的顶点集相同，则称H是G的生成子图
若H是G的子图，且V(H)=V’，E(H)是由E(G)中两端皆在V’中的边构成的子集，则称H为由V’导出的G之子图，记为H=G[V’]
若VG)是Vi(i=1,2,…,ω)的合集，又当且仅当两个顶同属一个子集Vi 时，此二顶连通，则称G[Vi]为G的连通片。由此可知G连通图当且仅当ω=1

讲个例子，2n个电话交换台，第个台与至少n个台有直通线路，则其中任两台之间可以通话。把这些台视为图的顶，当两个台有直通线路时，两个顶是相邻的。所以问题就是有个2n个顶的图，每顶次娄至少为n，则图是连通的。若G不连通，则至少有一个连通片，其顶点数目至多是n，在此片中，顶的次数最大是n-1，与原图至少为n相违。
还有如例： 图中只有两个奇次顶，则它们必连通。这个结合推论1很容易证。

定理2 G为二分图的充要条件是G中无奇圈
证 不妨考虑连通图。先证充分性，若G中有一个圈C=v0v1v2…vkv0，不妨设v0属于X，于是v0v2v4…v0属于X，v1v3…vk属于Y，可见k是奇数，圈C长k+1，是偶圈。(二分图的所有的圈的这个k肯定是奇数，否则构造不出符合二分图条件的X，Y集合)
下面证G中无奇圈，则G是二分图。令X={w|w<-V(G)，d(v1,w)=oven}，Y={w|w<-V(G),d(v1,w)=odd} (符号<-表示属于，那个集合上的属于符号太难找了用这个代替)
其中v1是G的任一顶点，对任意的u,v属于X，设P1(v1,u)是从v1到u 的最短轨，P2(v1,v)是v1到v 的最短轨。设u1是P1与P2上的最后一个公共顶点，因P1(v1,u),P2(v1,v)最短，故P1上的一段P11(v1,u1)与P2上的一段P21(v1,u1)等长且最短。因P1与P2之长为偶数(oven)，从面P1 上的一段P12(u1,u)，与P2上的一段P22(u1,v)有相同的奇偶性。如果u与v相邻，那么P12、P22与uv刚好会围成一个奇圈(这个构造太妙了)。而图中是不能有奇圈的，所以u、v不会相邻。也就是X中任二顶不相邻。同理可证Y中任二顶不相邻。
由此证毕。

证完了定理，照样要讲讲例子，不过也不是书上的每个例子都讲。
例8：一个单图中每个顶点的次数至少是2，就含有一个圈。
这个例子的证明用了一种技巧，叫最长轨方法，据说是图论中的典型技巧。
证：设P(u,v)是此单 图G中的最长轨，由于d(u)>=2,故存在不在P(u,v)上的一条边e与u相关联。设e 的另一端点为w,若w不属于P(u,v)，则P(u,v)可以加长，与最长相矛盾，故w是肯定属于P(u,v)的，所以G中有圈。证毕。
例9：若G是连通图，G’包含于G，|V(G’)|<|V(G)|。则G中有不属于G’的边，它的一个端点在G’上，另一端点不在G’上。这个例子的事实在图论的一些证明中常被引用，证明它没什么难度的，不说了。
例10：G是单图，每顶次数不小于3，则G中有偶圈。
证：设v0v1v2…vm是G中的一条最长轨(果然用到了最长轨方法)，由于d(v0)>=3,由“最长轨方法”知存在vi<>vj,1=<-V(G)}。据说求图的周长和直径还是图论中的难题之一。
单图G的补图记成Gc。补图是这样的一个图，两者顶同，但当两顶中G中不相邻时，在其补图中相邻。
例12：单图与其补图必有一个是连通图
证：设G不连通，证Gc是连通图。设G1，G2，。。。Gω是G的连通片。任取二顶u,v，若u,v属于同一个连通片Gi(1=好多的定义，而且不是前两节的那样的简单的定义，开始有点搞脑子了。特别是定理2的证明。
下一节是Brouwer不动点定理。拓扑学中的著名定理，拓扑学也没学过，不知道有多少的来头。看它好复杂呀，当初就没好好看过，而且符号一大堆。这两天好好看看。

1.4 Brouwer不动点定理

在证明Brouwer定理之前，先证明Sperner定理。
先给出正态三角形的定义。把平面闭三角形区域Δ2进行单纯割分：Δ2=∪δ2i(i从1到m) δ2i是比Δ2小的三角形，且δ2i∩δ2j=φ或δ0或δ1(δ0是一个顶点，而δ1是两个小三角形的公共边)。把Δ2与δ2i的顶用0,1，2标号若
(1)    Δ2三个顶分别标以0,1，2；
(2)    Δ2的一条边两端标号为 i 与j ，0=0)有公共的0-1标志边是时，δ2i与δ2j这两顶间连一条边；δ20与δ2i(1=)<3(一个三角形最多只有2条0-1边)，故δ21，δ22，…，δ2m中的奇次顶次数只能是一次的；仅当δ2i是正态三角形时，d(δ2i)=1，故正态三角形的个数是奇数。证毕。

下面开始证明Brouwer定理
定理4 (Brouwer) f2 Δ2→Δ2是连续映射，则存在有x0<-Δ2,使得f(x0)=x0
证：设x0,x1,x2是Δ2的三个顶点，则Δ2上任一点x可唯一地表示成
x=a0x0+a1x1+a2x2,
其中ai>=0(i=0,1,2),Σai=1。这里写的x,x0,x1,x2是二维向量。记x=(a0,a1,a2),f(x)=(a0’,a1’,a2’)。令Si{(a0,a1,a2)|(a0,a1,a2)<- Δ2,ai>=ai’},i=0,1,2。只欠证明∩Si(i从0至2)非空。
若∩Si(i从0至2)非空为真，则存在(a0,a1,a2)<- ∩Si,且ai’<=ai; 又Σai’=Σai=1，故有(a0’,a1’,a2’)=(a0,a1,a2),即(a0,a1,a2)为f的不动点。
下面证∩Si(i从0至2)非空为真。下面的证明有些地方现在还是不是十分明白。
考虑Δ2的一个单纯割分正态标志，使得标i 的每个顶属于Si(i=0,1,2)。事实上，Δ2上任一点x，x=(a0,a1,a2),f(x)=(a0’,a1’,a2’)时，存在一个Si使x属于Si,且ai>0；否则对每个ai>0时，ai’>ai，于是Σai’>Σai，矛盾(刚开始看的时候对这段话百思不得其解，回头好好的看了一下Si 的定义，才恍然大悟)。我们如下的标志：一个三角形顶点x属于Si，且ai>0时，x标以i，这种标志是正态标志，例如在Δ2 x0x1边上各点的a2=0，我们只能把这边上的点标以0或1；x0x2上的点同理只能标0或2；x1x2上只能标1或2，故为正态标志。
由定理2，至少有一个正态三角形，其顶点分别属于S0，S1，S2 。我们使剖分无限变密，且小三角形有任意小的直径，则S0，S1，S2中有三个点可以任意小，又f连续，故Si(i=0,1,2)是闭集，于是∩Si(i从0至2)非空为真。证毕。(最后“又。。。故。。。于是”这点有点迷糊，好象已经超过我所学的了)

这个定理是证完了，但一点都没有前几节证完一个定理的那种感觉。对这个定理的背景本身模模糊糊，不象其他定理那样的通俗易懂。看起来一句是一句，看证明一句句的看下来大多都是明白的，但看完后连不起来。也许它不是一个图论中的定理的缘故。
下节是本章的最后一节，讲最短路径的Dijkstra算法。

1.5 Dijkstra算法

这一节比较的轻松，Dijkstra算法是这以前知道的最早的图论算法，当然那时并不知这就是Dijkstra算法，只知道这是求最短路径用的。这个算法比较的简单，也不用什么很高深的背景知识，所以书上也没怎么讲，算法方面这里也不想记了，这个算法随便找本数据结构的书好象都有讲的。

这里给出最短路径问题的数学模型：w=w(e)是定义域为E(G)的实函数，称w(e)为图G的边e之权，G叫做加权图，记
W(G)=Σw(e),
W(G)叫做图G的权，我们求满足某条件的子图H，且使其权最小即
W(H)= Σw(e)(e<-E(H))=min,
最短路径问题即在连通图G中的任给定的两顶u,v之间找出一条轨P0(u,v),使得
W(P0)=min{W(P)},P属于从u到v的轨的集合
这里我们称W(P0)为u与v的距离，记成d(u,v)。
最后给出了图论有效算法的定义，只要算法的复杂度是图的顶数、边数的多项式就称算法为有效算法或好算法。
如Dijkstra算法的时间复杂度f(υ,ε)=O(υ2),所以Dijkstra算法是有效算法。

第一章就这样结束了，下面摘一些书的习题，很理论的那些就算了，只看看那些有点意思的。
1．任何两个以上的人组成的人群中，至少有两个，他们的朋友数一样多。
2．2n个(n>=2)人中每个人至少同其中n个人相识，则其中至少有四个人，使得这四人围圆桌而坐时，每个人旁边是他认识的人。
3．两人有酒，装滿8斤之瓶，另有能装5斤与3斤的空瓶各一只，今欲平分其酒，请设计一个最简便的方法。
4．俱乐部有14人想打桥牌，过去每个人都曾与其中5个人合作过；现规定四人中必须任何两个人都未合作过才准许在一起打一局，在这种规定下，只打三局就无法继续进行，这是新来了一位年轻人，试证明有个年轻人参加，一定还可以再打一局。
5．任何9个人中必有三人相识或四个彼此不相识。