浅谈反证法草稿.doc

宁夏师范学院2010届毕业生

毕业论文

题 目：

院 系： 数学与计算机科学学院
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目 录
1反证法的概念及模式
1.1反证法的概念
1.2反证法的模式
2反证法逻辑依据及种类
2.1反证法的逻辑依据
2.2反证法的种类
3反证法的使用范围
3.1否定性命题
3.2限定性命题
3.3逆命题
3.4无穷性命题
3.5某些存在性命题
3.6全称肯定性命题
3.7一些不等量命题的证明
3.8基本命题
3.9整除性问题
4在中学中最常用的反证法证明的题型
5注意事项
5.1必须正确否定结论
5.2必须明确推理特点
5.3了解矛盾种类
浅谈反证法
摘 要：本文重点阐述反证法的概念、模式，依据及种类。反证法的使用范围有否定性命题、限定性命题、逆命题、无穷性命题 、某些存在性命题 、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题、整除性问题应用。及在中学中最常用的反证法证明的题型与注意事项
关键词；反证法 归谬法 矛盾 假设

引言
在深山老林里，当看到不认识的水果或植物，没有动物敢接近，且也没有啃食的咬痕，我们就会认为此种植物有毒，这种间接判断的方式，我们就称之为反证法
1反证法的概念及模式
1.1反证法的概念
先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法
用框图表示如下:
1.2反证法的模式
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
（1） 反设：作出与求证结论相反的假设；
（2） 归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
（3） 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
2反证法的逻辑依据及种类
2.1反证法的逻辑依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。

排中律常用公式 来表示，意即 真或 真。其中 和 表示两个互相矛盾的概念或判断。
排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。

排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明 不是有理数有困难时，只要证明 是有理数为假就可以了。
2.2反证法的种类
运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
反证法所改证的等价命题的条件包含原命题结论的否定（或反面）。若命题的结论的反面只有一种情况，这种反证法称为归谬法；若命题结论的反面多于一种情况，这种反证法称为穷举法。下面分别研究这两种反证法的逻辑依据。
3. 反证法的适用范围
反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
3.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。
3.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例 在半径为 的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。
证明：每个小圆的公共部分的面积都小于 ，而九个小圆共有 个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于 ，又大圆面积为 ，则九个小圆应占面积要大于 ，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。
例 已知方程 ， 中至少有一个方程有实数值，求实数 的取值范围。
分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件 的集合的补集即可。
证明：假设三个方程都无实根，则有：
解得
∴所求 的范围为 .
3.3无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例 求证：是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。
证明：假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，∴，∴，则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。
例 求证：素数有无穷多个。
证明：假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1·P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。
3.4逆命题
某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。
例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。
逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。
逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC……（1），设四边形ABCD不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE……（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CE BC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BC BC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或离，BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。
3.5某些存在性命题
例　设x，y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥ 成立.
证明：假设对于一切x , y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜ 恒成立，令x = 0 , y = 1 ,则|b|＜ 令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜ 令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| ＜ 但| 1 - a - b| ≥1 - a| - | b| ＞ 1 - - = 产生矛盾,故欲证结论正确。
3.6全称肯定性命题
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。
例 求证:无论 是什么自然数， 总是既约份数。
证明：假设 不是既约分数，令 （1）， （2）（ ），且 为既约，由（2）×3-（1）×2得 ，因 为整数， 为分数，则 不成立，故假设不成立，分数 是既约的。
3.7一些不等量命题的证明
如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。
例 已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。
证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd＝0 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2＝0 ∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0 ∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.
例 在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.
分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。
证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.
（1） 若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.
（2） 若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC. ∵AD=AC ∴△ADC为等腰三角形 ∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角 ∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C ∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.
3.8基本命题
即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。
例 已知：如图 AB⊥EF于M。CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD
证明:假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P ，则过P点有AB⊥EF ，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。∴假设错误，则AB∥CD。
例 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P,求证：a、b只有一个交点。
证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
3.9整除性问题
例 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.
证明：假设a、b不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.
4适合用反证法证明的题型
1、结论本身以否定形式出现的一类命题
例1、证明2不是方程2x＋1=0的根。
证明：假设2是方程2x＋1=0的根，则2×2＋1应等于0，实际上2×2＋1=5，结果与假设产生矛盾，故2不是方程2x＋1=0的根。
2、有关结论是以“至多…”或“至少…”的形式出现的一类命题
例2、已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3=0，x2＋(a－1)x＋a2=0，x2＋2ax－2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。
解：假设方程没有一个实根，则16a2－4(3－4a)<0 ① ,
(a－1)2－4a2<0 ②, 4a2＋8a<0 ③,
联立①②③解得：x3)=0
因为a≠0，所以x2-x3=0，即x2=x3，这与假设x1≠x2≠x3矛盾，所以原方程最多只有两个不相等的实根。
3、关于存在性、唯一性的命题
例4、求证过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
已知：点p 直线a。求证：过点p和直线a平行的直线b有且只有一条。
证明：∵点p a，∴点p和直线a确定一个平面α，在平面α内过点p能作出一条直线与直线a平行(由平面几何知识知),故直线b存在。假设过点p还有一条直线c与a平行。∵a∥b，b∥c，∴a∥c，这与直线b、c共点p矛盾，故假设不成立，因此直线b唯一。故过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
4、结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题
例5、用反正法证明 为无理数。
证明：假设 为有理数，并且 =（m、n N*且m 1，m、n互质），则

n2=2m2，又∵m、n互质，∴n为偶数，m为奇数。当n为偶数，m为奇数时，令n=2k（k N*）则m2=2k2，这与m为奇数矛盾。综上知， 不是有理数，故 是无理数。
5 运用反证法应注意的问题
5.1必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
5.2必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（ 例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。
5.3了解矛盾种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等

认识与理解反证法，对活跃学生的思维，开展学生的思维空间都有着很大的帮助。

参考文献：
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