最简二次根式和同类二次根式.doc

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师华教育IE 个性化辅导教案
教师姓名
张老师
学科
数学
上课日期
2013-8-19
上课时间
12:50—14:50
学员姓名
陈奕杰
年级
初二
学 校
昆明中学
教务长签字

课题名称
一元二次方程的概念及解法
教学目标
1、使学生熟练地应用因式分解法和求根公式法解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，会选择合适的方法解一元二次方程，养成验根的好习惯
重点难点
重点：一元二次方程的概念
难点：用因式分解法和求根公式法解一元二次方程。

教学
过程

教学
过程

一、一元二次方程知识点及例题
（一）一元二次方程的概念

只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一般式：
练习
将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .
例1.关于x的方程是一元二次方程，求m。

例2.关于x的一元二次方程，求k的范围。

（二）一元二次方程的解法
1、开平方法解一元二次方程：
若一元二次方程可化为Z2=d（d＞0）的形式（其中Z为整式），则Z1=，Z2=-，再分别解得未知数的值。
例

2、因式分解法解一元二次方程：
1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。”
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解。【注意】：要具体情况具体分析。
3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程。
例：解方程 (1) (2)

课堂练习1：用适当的方法解下列方程
(1) 12（2－x）2－9＝0 (2) x（3x＋2－6(3x＋2)＝0

(3) (4)

(5) 2x2－6＝0 (6)（2x＋1）2＝2（2x＋1）

(7) （8）

3、配方法解一元二次方程：
通过“配方”将一元二次方程左边的二次项和一次项配成完全平方式，右边为非负常数，再利用开平方的解法。
例1、 x2＋2x－8＝0

注：“配方”关键是配常数项，一般步骤：
（1移常数项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后形如（ ）2=M（其中M为常数）；（4）当M＞0，用开平方法即可得到原方程的根

例2、用配方法解一般形式的一元二次方程：

4、公式法解一元二次方程：
一元二次方程的求根公式：
对一元一次方程的一般式，
当＞0时，，
当=0时，

例：用公式法解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0 (2)

(3)5x2－4x－12＝0 (4)4x2＋4x＋10＝1－8x

课堂练习2：用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x　　　　　 （2）（x＋3）2＝1

（3）x2＋(＋1)x＝0　　 （4）x（x－6）＝2（x－8）

（5）（x＋1）（x－1）＝ （6）x（x＋8）＝16

归纳总结
一元二次方程的解法是本章的重点内容，常见的四种解法如下：
直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
方法
适合方程类型
注意事项
直接开平方法
（x+a）2=b
b≥0时有解，b<0时无解。
配方法
x2+px+q=0
二次项系数若不为1，必须先系数化为1，
再进行配方。
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
b2-4ac≥0时，方程有解；
b2-4ac<0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式
因式分解法
方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，
另一边可用任何方法分解因式。

[注意]
本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地位。
公式法是本节重点。同时，公式法是解一元二次方程的通法，一定要熟练掌握。
难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。

（三）一元二次方程根的判别式及应用
1、记，则△称为一元二次方程根的判别式
2、根的判别式的应用： ①不解方程，由△的符号可知一元二次方程根的情况

②根据一元二次方程根的情况可知△的符号
即：
△＞0 方程有两个不相等的实数根

△=0 方程有两个相等的实数根

△＜0 方程没有实数根
3、一元二次方程的根的判别式
关于的一元二次方程的根的判别式是：
4、性质
（1）当b2－4ac＞0时， ；
（2）当b2－4ac＝0时， ；
（3）当b2－4ac＜0时， .

例1：不解方程，判别方程的根的情况。

例2：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。

例3：当取何值时，关于的方程，
（1）有两个相等的实数根？
（2）有两个不等的实数根？
（3）没有实数根？
（4）有两个实数根？
（5）有实数根？

练习
1.试判断关于x的方程 的根的情况。

2.判断方程的实根个数（a、b是实数）。

3.有实根，求k的范围。

（四）补充内容:一元二次方程根与系数的关系
对一元一次方程的一般式，
当＞0时，，
则,
例1、若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 7
例2、已知关于x的方程两实数根为x1、x2是否存在常数k使成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。

例3、已知实数a、b分别满足，求的值。

课堂练习
1．若方程 x2＋mx－15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝　　　　；

2．若方程 x2－x＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p＝　　　.

课后作业
一、选择题
1．要使分式的植为0，则应该等于（ ）
（A）4或1 （B）4 （C）1 （D）或
2．若与互为倒数，则实数为（ ）
（A）± （B）±1 （C）± （D）±
3．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）
4．关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．下列方程中，无论取何值，总是关于的一元二次方程的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
二、填空题
1．关于x的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。
2．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。
3. ； 。

4．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。

5．若代数式与的值互为相反数，则的值是 。

6．方程与的解相同，则= 。

7．当 时，关于的方程可用公式法求解。
8．若实数满足，则= 。
9．方程4x2＋（k＋1）x＋1＝0的一个根是2，那么k＝ 　 ，另一根是 　　　；

三、解答题
1.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2．解方程
（1）3x2－7x＝O （2）2x(x＋3)＝6(x＋3) （3）

（4）8y2－2=4y （5）2x2－7x＋7＝0 （6）（x－2）（x－5）=－2

3.当为何值时，关于的方程
（1）有两个相等的实数根？ （2）没有实数根？ （3）有两个实数根？

4、已知关于x的方程，对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。

通过这次课你有什么感悟？

课堂回顾
（教学后记、反思）
手写

学员签字：___________________日期：___________________

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