四年级第一讲：小数及乘法原理.doc

第一讲 小数及乘法原理
【学习要点】
1.小数的意义和性质。
2.小数的比较大小。
3.小数点位置的移动引起小数大小变化的规律。
4．理解并掌握乘法原理。
5．用乘法原理解决一些简单的实际问题。
【目标要求】
1.理解小数的意义，能正确读、写小数。
2.掌握小数的性质，能利用小数的性质将小数化简和改写。
3.掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
4.理解小数点位置的移动与乘、除法之间的关系。
5.认识小数的计数单位和相邻单位之间的关系。
6.理解乘法原理的意义，初步掌握用乘法原理计数的方法。
7.发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
基础知识】
1.小数的意义
小数的意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……取其 中的1份或几份，表示十分之几、百分之几、千份之几……的数，叫小数。
分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示，表示十分之几的小数是一位小数、表示百分之几的小数是两位小数、表示千分之几的小数是三位小数……
小数的组成：以小数点为界，小数由整数部分和小数部分组成。
小数数位顺序表：

整 数 部 分
小数点

小 数 部 分
数位

···
万位
千位
百位
十位
个位

·
十分位
百分位
千 分 位
万
分
位

···
计数单位

···
万
千
百
十
个（1）
十分之一
百分之一
千分之一
万
分
之
一

···

数字表示

···
10000
1000
100
10
1

·
0.1
0.01
0.001
0.0001

···
2.认识小数的计数单位和相邻单位之间的关系。
小数的数位、计算单位、进率：
①　 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……与整数一样，小数每相邻两个计数单位之间的进率是10。
②　 小数部分最大的计算单位是十分之一，小数部分没有最小的计数单位。
③　 小数的数位是无限的。
④　 在一个小数中，小数点后面含有几个小数数位，它就是几位小数。小数部分末尾的零也要计入其中。
⑤理解0.1与0.10的区别联系：区别：0.1表示1个0.1、0.10表示10个0.01、意义不同。联系：0.1=0.10两个数大小相等。运用小数的基本性质可以不改变数的大小，改写小数或化简小数。
⑥小数的分类：整数部分是0的小数叫做纯小数；整数部分不为0的小数叫做带小数。
3.小数的性质：小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
4.小数的大小比较先看他们的整数部分。整数部分大的那个数就大。带小数比纯小数大。整数部分相同的，再比较小数部分。十分位上的数大的那个数就大，十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大······（整数大小的比较：先比位数的多少，位数越多，数越大；当数位相同的时候，从高位开始，最高位上的数大，这个数就大；最高位相同，就比左边第二位······一位一位地比下去，直至比出大小。）
5. 小数点位置多的移动引起小数大小变化的规律：
小数点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍；小数点向右移动两位，小数就扩大到原数的100倍；小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的1000倍……
小数点向左移动一位，小数就缩小到原数的；小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的；小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的……
【例题精讲】
★例1 明明在摆数字卡片游戏中，摆出了一个小数，可是在读小数时，由于粗心，把小数点丢了，结果读成了六百八十五万零四，原来的小数读出来只读一个零，原来的小数是多少？

★例2 明明从数字卡片盒里拿出3、6、9和小数点“ .” ，他一共可以摆出多少个小数？其中最大的小数是多少？最小的小数是多少？

【同步练习】
★1.明明在玩具超市里买了一件物品，付给营业员50元，营业员把这件物品标价上的小数点看错了一位，找给明明47.65元，找多了，这件物品标价是多少元？营业员应找给明明多少元？

★2.在 . 7的方框里填数，使它符合以下的要求：
（1） 要使这个数最大，这个数是多少？
（2） 要使这个数最小，这个数是多少？
（3） 要使这个数最接近1，这个数是多少？
【例题与解析】
同学们一定还记得搭配问题吧。
一件上衣配一条裤子是一种搭配方法。媛媛有3件上衣，2条裤子，一共有多少种不同的搭配方法？
分析与解答：我们先用第一件上衣分别搭配两条裤子，得到两种方法；再用第二件上衣分别搭配两条裤子，又得到两种方法；最后用第三件上衣分别搭配两条裤子，还是得到两种方法。一共有3个2种方法，就是6种方法。像这样的问题我们可以用乘法解答：2×3=6（种）。

★例1. 幼儿园老师想把一块水果糖，一块奶糖和一块酥糖搭配成一份，分给小朋友们。现在有3种水果糖，5种奶糖和2种酥糖，一共可以有多少种不同的搭配方法？
分析与解答：如图所示，我们用大写字母A、B、C代表3种水果糖，用小写字母a、b、c、de代表5种奶糖，用①、②代表2种酥糖。

水果糖： A B C

奶糖： a b c d e

酥糖： ① ②

我们用枚举法，把所有的搭配情况列出来：
（1）A 为首：A-a-①，A-a-②，2种
A-b-①，A-b-②，2种
A-c-①，A-c-②，2种 5个2种
A-d-①，A-d-②，2种
A-e-①，A-e-②，2种
（2）B 为首：B-a-①，B-a-②，2种
B-b-①，B-b-②，2种
B-c-①，B-c-②，2种 5个2种 3个（5个2种）
B-d-①，B-d-②，2种
B-e-①，B-e-②，2种
（3）C 为首：C-a-①，C-a-②，2种
C-b-①，C-b-②，2种
C-c-①，C-c-②，2种 5个2种
C-d-①，C-d-②，2种
C-e-①，C-e-②，2种
答：一共有2×5×3=30种
像这样，做一件事（搭配糖果），完成它需要分成n个（3个）步骤，做第一步有m1种不同的方法（3种水果糖），做第二步有m2种不同的方法（5种奶糖），，……，做第n步有mn种不同的方法（2种酥糖）。那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法（3×5×2=30种），这就是乘法原理。
（需要注意的是：要注意与加法原理进行区分。加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
例如：某幼儿园的糖果中有3种水果糖，5种奶糖和2种酥糖，老师要选一种糖果分给小朋友们。一共有多少种分法？解答：一共有3＋5＋2=10种分法。
要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。）
★例2. 老师要从10名同学中选语文科代表和数学科代表各1名，可以有多少种不同的选法？
分析与解答：要完成这件事需要两个步骤：第一步，从10名学生中选1名学生作语文科代表，可以有10种选择。第二步，选数学科代表，由于此时已经有1人被确认为语文科代表，不能再作数学科代表了，所以，只能从剩下的9名学生中选1名学生，因此只有9种选择。运用乘法原理可以求出一共有10×9=90种不同的选择方法。
答：一共有90种不同的选择方法。
★★例3. （1）用数字1、3、5、7、9可以组成多少个不同的，且没有重复数字的四位数？可以组成多少个不同（可以有重复数字）的四位数？
（2）用数字2、5、6、8、0可以组成多少个不同的，且没有重复数字的四位数？可以组成多少个不同的，且没有重复数字的四位奇数？
分析与解答：（1）第一问：用5个数字组四位数需要四个步骤：第一步，确定千位上的数，可以有5种选择方法；第二步，确定百位上的数，由于5个数中已经有1个数被放置在千位上，因此只有4种选择方法第三步，确定十位上的数，此时5个数中已经有2个数被分别放置在千位和百位上，因此只有3种选择方法；第四步，确定个位上的数，在这5个数中已经有3个数被分别放置在千位、百位和十位上，最后只剩2种选择方法；所以，一共可以组成5×4×3×2=120个不同的，且没有重复数字的四位数。
答：一共可以组成120个不同的，且没有重复数字的四位数。
第二问：同样方法，确定千位上的数，可以有5种选择方法；在确定百位上的数时，由于可以重复使用数字，因此也有5种选择方法；十位和个位上的数同样也有5种选择方法。所以，一共可以组成5×5×5×5=625个不同的四位数。
答：一共可以组成625个不同的四位数。
分析与解答：（2）第一问：在确定千位上的数时，由于0不能在最高位，因此只有4种选择方法；在确定百位上的数时，可以选择0，但不能选择千位上已经确定的数，因此也有4种选择方法；十位上的数可以选择0，但不能选择千位和百位上已经确定的数，因此只有3种选择方法；个位上的数也可以选择0，但不能选择千位、百位和十位上已经确定的数，因此只有2种选择方法。所以，一共可以组成4×4×3×2=96个不同的，且没有重复数字的四位数。
答：一共可以组成96个不同的，且没有重复数字的四位数。
第二问：题目要求组成不同的，且没有重复数字的四位奇数。在这5个数字中，只有5是奇数，必须放在个位上，因此个位只有1种选择。千位上不能选择5和0，还剩下3种选择方法；百位上，不能选择5和千位上的数，还剩下3种选择方法；十位上，不能选择5和千位、百位上的数，还剩下2种选择方法。所以，一共可以组成3×3×2×1=18个不同的，且没有重复数字的四位奇数。
答：一共可以组成18个不同的，且没有重复数字的四位奇数。
★★例4. 两个小朋友在5×3的方格中玩“猫捉老鼠”棋，先任选一格放一枚猫棋子，再从余下的方格中选一格放一枚老鼠棋子，要求不能与猫棋子在同一行或同一列。共有多少种不同的摆放方法？
分析与解答：首先，我们要正确理解题意。如图所示：如果猫棋子选择第2列，第1格，老鼠棋子则不能选择第2列和第1行中的任何一个格子，它的选择范围减少了一列和一行，只剩下第1、3、4、5列中的第2、3格，共8个格子。
要完成这件事需要两个步骤：第一步，选一格放猫棋子，可以有5×3=15种选择方法；第二步，选一格放老鼠棋子，可以有（5－1）×（3－1）=8种选择方法。根据乘法原理，共有15×8=120种不同的摆放方法。

×
猫
×
×
×

×

×

答：共有120种不同的摆放方法。
★★★例5. 同时掷两个骰子，数字和为偶数的情况一共有多少种？
分析与解答：解决这个问题，首先要知道两个数的和为偶数的情况一共有两种：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数
（1）我们先来研究第一种情况：奇数＋奇数＝偶数
掷两个骰子，说明完成这件事需要两步：第一步，第一枚骰子掷出奇数有3种可能，即：1、3、5；第二步，第二枚骰子掷出奇数也有3种可能，即：1、3、5。根据乘法原理可知，一共有3×3=9种可能。
（2）再来研究第二种情况：偶数＋偶数＝偶数
同上道理，第一枚骰子掷出偶数有3种可能，即：2、4、6；第二枚骰子掷出偶数也有3种可能。根据乘法原理可知，一共有3×3=9种可能。
将这两种情况中的可能性加起来，就可以求出一共有9＋9=18种数字和为偶数的情况。
答：一共有18种数字和为偶数的情况。
【习题与训练】
★1.假日里，妈妈去买服装，她要买一件上衣，一条裤子和一双鞋。她初步选出喜欢的上衣3件，裤子3条，鞋子2双，妈妈可以有多少种不同的搭配方法？

★2.爸爸去餐厅就餐，餐厅里有主食5种，荤菜4种，素菜2种，饮料4种。他打算每样选一种，可以有多少种不同的选择方法？

★3. 亮亮有8个不同颜色的彩球，想要送给两位好朋友每人一个。根据颜色的不同，他可以有多少种不同的送法？

★4.公司销售部要派两名员工分别到上海和广州做市场考察。销售部共有6名员工，可以有几种不同的分配方法？

★★5.用数字2、5、8、9可以组成多少个不同的，且没有重复数字的三位数？可以组成多少个不同（可以有重复数字）的三位数？

★★6.用数字0、1、5、7、9可以组成多少个不同的，且没有重复数字的五位数？可以组成多少个不同的，且没有重复数字的五位偶数？

★★7.王老师给幼儿园的孩子安排舞蹈课和武术课。每周五天，每天6节课，要求这两门课不同天，不同节次，可以有多少种不同的安排方法？

★★8.在6×6的方格中，放置一枚白棋子和一枚黑棋子。要求两枚棋子不能同行或同列，共有多少种放置方法？

★★★9.同时掷两个骰子，数字和为奇数的情况一共有多少种？

★★★10.从甲地到乙地有3条路可通，从乙地到丙地有2条路可通，从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有3条路可通。从甲地到丙地一共有多少种不同的走法？

【参考答案】
【基础知识】
例1 65800.04 例2 12个 最大96.3 最小3.69
【同步练习】
1. 23.5元 26.5元 2.（1）9.97 （2）0.07 （3）0.97
【智慧数学】
1. 3×3×2=18（种）
2. 5×4×2×4=160（种）
3. 8×（8－1）=56（种）
4. 6×（6－1）=30（种）
5. 4×3×2=24（个），4×4×4=64（个）
6. 4×4×3×2×1=96（个），4×3×2×1×1=24（个）
7. 5×6=30（种），（5－1）×（6－1）=20（种），30×20=600（种）
8. 6×6=36（种），（6－1）×（6－1）=25（种），36×25=900（种）
9. 3×3=9（种），9＋9=18（种）
10.3×2=6（种），4×3=12（种），6＋12=18（种）