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HPM视角下的角平分线教学
汪晓勤
（华东师大数学系, 上海, 200241）

笔者在文[1]中指出，如何将数学史融入数学教学，是HPM研究的中心课题之一。在与中学一线教师合作开发HPM案例的过程中，我们发现，教师手头缺乏有关的数学史材料；在我们提供材料之后，他们在材料的取舍上也存在一定困难。
“角平分线”是初中数学中的一个知识点，在上教版、苏教版和人教版三种教材中的具体信息见表1。
表1 三种教材中有关角平分线的内容
教材
年级
所在章节
内 容
上教版
六下
7.5 画角的和、差、倍
用折纸方法引出角平分线概念；用量角器画角平分线；角平分线的尺规作图法
苏教版
七上
6.2 角
用折纸方法引出角平分线概念
七下
11.3 探索全等三角形的条件
用角尺的方法引出角平分线的作图
人教版
七上
4.3 角
先给出角平分线的定义；再介绍折纸作角平分线的方法
八上
11.3 角的平分线的性质
通过角平分线仪器引出角平分线的作图法，通过折纸方法引出角平分线的性质定理，通过集贸市场选址问题引出上述性质定理的逆定理。
三种教材都没有涉及角平分线的具体历史，内容呈现也未采用历史的视角。
1 历史、文化素材
1.1 角平分线的起源
角平分线问题或许源于生活实际，但古希腊数学家并不重视数学的实际应用，因而我们很难在古希腊数学文献中找到有关证据。而从数学内部看，角平分线问题的起源应该是很清楚的，那就是三大几何难题之一的化圆为方问题的求解。公元前5世纪，著名辩士、诗人安提丰（Antiphon）首次采用圆内接正多边形试图解决该问题：从圆内接正方形出发，不断倍增边数，当边数无限多时，圆就被化成了方，即圆面积得以求出。而倍增边数，需要通过作角平分线来完成。
古希腊人的作图工具是没有刻度的直尺和易散的圆规（双脚离开纸面后自动合拢），今称欧几里得工具。
1.2 角平分线的作图
欧几里得《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角。”[2]此即：作一个已知角的平分线。

图1 《几何原本》卷1命题9 图2 欧几里得的角平分线作图法
欧几里得在《几何原本》中给出如下的作图法：在OA和OB上分别取点D和E，连接DE，在DE上作等边三角形DEF，则OF就是角AOB的平分线。欧几里得的作图法是书本上作图法的特殊情形。其中，在一条已知线段上做一个正三角形，是《几何原本》第一卷的第一个命题。
1.3 角平分线的推广
知道角平分线的作图之后，我们很容易得到四等分角、八等分角、十六等分角、…的作图。问题是：我们能用尺规将一个角三等分吗？这也是古希腊三大几何难题之一——三等分角问题。古希腊数学家一次又一次的尝试均以失败而告终。直到19世纪，数学家彻底证明：三等分角的尺规作图是不可能的。一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法，有些人借助尺规以外的机械工具（如尼科梅德的蚌线），有些人构造两种不同运动（如希皮亚斯割圆曲线、阿基米德螺线），都涉及超越曲线。在欧几里得看来，这些办法都是不作数的，因为，它们不能通过尺规作图来实现。
1.4 角平分线的应用
美国数学史家和数学教育家史密斯（D. E. Smith, 1860-1944）在教师培训教材《几何教学法》中，提供了角平分线的两种实际应用[3]。如图3，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口若干远处安装一盏路灯，问灯柱该立在何处？显然，要使路灯照在两条街上“一样亮”，就必须将灯柱立于两街所成角的平分线处。

图3 岔路口的路灯 图4 日影实验
第二个例子是，选择一个晴天，让学生在上午9点左右，在操场上一点N处立一根高约5英尺的直竿，测量直竿影子的长度，并在影子的末端W处作一个记号；到下午3点左右，再测量直竿的影长，等到影长与上午测得的影长NW完全相等时，在影子的末端E处做一个标记。于是，角WNE的平分线位于正南北方向，如图4所示。当太阳的影子位于NS上时，时间到了真太阳时的正午时分（与钟表上的12点有出入）。
2 教学设计
将数学史、数学文化知识融入数学教学，必须遵循以下原则。
● 趣味性。教学内容应让学生觉得有趣才行。应该讲述数学背后的故事（当然，不能占太多时间）。
● 科学性。数学史材料应符合史实，而不是胡乱编造；数学上不能有错误。
● 有效性。不是为数学史而数学史，而是为有效地完成三维目标而应用数学史。
● 可学性。教学设计一定要符合学生的认知基础，易于为学生接受。
● 新颖性。HPM视角下的教学设计必须有新意、有特色，对教师专业发展起引领作用；而不是完全照本宣科，或网上下载，或人云亦云。
在上述原则，特别是有效性原则的指导下，我们来设计角平分线的教学。
2.1 引入
我们不可能按照历史上数学内部的需要来设计引入部分，而需要重构角平分线知识的发生过程。利用岔路口的路灯安装问题来引入，一方面，将教学建立在一个学生易于理解的生活情境的基础之上；另一方面，可以有效地激发学生的学习动机。这是发生教学法的基本思想。
2.2. 作图
在介绍书本上的作图法之后，问学生：古代数学家又是如何作图的呢？为了体现趣味性，HPM教学设计强调恢复被课本所剥离的“人的元素”，除了增加趣味性，更重要的是让学生体会“数学有着悠久的历史”以及“数学是人类的文化活动，是人参与了数学活动”的道理。教师简单介绍古希腊数学家欧几里得和他的《几何原本》，接着介绍他的作图法。
引导学生讨论作图法背后的几何原理。
2.3 引申
在向学生提出三等分角问题后，学生可能会提出用量角器作图。这时，教师可以提出问题：既然用量角器可以很快捷地解决作图问题，那为什么还要学尺规作图呢？尺规作图的意义何在呢？
除了准确性的原因以外，还有更深层次的原因。这里，教师有机会向学生讲解几何学的价值。我们为什么要学习几何学？利用几何学能解决现实问题，比如路灯安装问题。但这不是几何学的唯一价值。在古希腊，人们不看重、甚至十分鄙视这样的价值。在古希腊哲学家眼里，几何能将我们的灵魂引向真理，几何能让我们成为具有理性思维的高尚的人。所以，当一名来亚历山大向欧几里得求学的学生问：“我学了几何学，能获得什么实际好处？”欧几里得听后立即让下人丢给这名学生三个硬币，让他打道回府。在欧几里得眼里，这位实用主义者是不值一教的。
古希腊数学家坚持使用尺规，因为，尺规作图的每一步背后都是有理有据的，尺规作图是最可信的。尺规作图能够训练我们的逻辑思维，尺规作图体现了几何学在训练逻辑思维方面的价值。
为了加深学生对几何学价值的认识，教师不妨讲述美国总统林肯学习《几何原本》的真实故事。在1860年，林肯竞选总统时，他的简介上这么说[4]：
“自任国会议员以来，他学习并几乎精通了《几何原本》前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱《几何原本》，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。”
2.4 应用
利用角平分线来解决一些几何问题，最后解决引入时提出的实际问题，实现首尾呼应。
3 结语
“角的平分线”是一个平凡的课题，似乎无关HPM。所以，当笔者与昔日的一名教育硕士商量，选择一个该课题进行HPM进行设计并付诸实施时，引起在读研究生们的质疑。事实上，对于多数中学教师来说，中学数学的很多知识点，其背后的历史都是一个盲点。言有易，说无难。诚然，中学数学中，并不是所有知识点都需要从HPM视角进行教学设计。但是，很多知识点之所以会被认为不适合HPM教学，是因为人们对它们背后的历史知识知之甚少。任何知识都不是从天而降，都有其自然发生、发展的历史。只有了解一个知识点的历史，我们才能对其进行HPM教学设计。所以数学史是HPM的基础，教育取向的数学史研究是HPM研究不可或缺的一个方向。
我们可以采用“五、四、三、二、一”来总结本教学设计的特点。本设计在五项原则的指导下，采用附加式（欧几里得、林肯的故事）、复制式（欧几里得作图法）、顺应式（三等分角问题）、重构式（由实际问题引入）四种方式，在实现知识和技能、过程与方法目标的同时，有效地实现了情感、态度、价值观目标。本设计寻求平衡，采用“两条腿”走路：既强调几何学在训练逻辑思维方面的价值，也体现几何学的实际应用价值。最后，我们可以将本设计定性为一种HPM视角下的教学设计。

参考文献：
[1] 汪晓勤. 数学史与数学教育. 教育研究与评论(中学教育教学), 2014, (1): 8-14
[2] Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge: The University Press, 1968. 264-267
[3] Smith, D. E. The Teaching of Geometry. Boston: Ginn and Company, 1911. 137-139
[4] 汪晓勤. 数学文化透视. 上海: 上海科技出版社, 2013
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