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数值分析简述及求解应用
摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组 插值法 牛顿法
一、引言
随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。运用数值分析解决问题的过程包括：
实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。 非线性是实际问题中经常用到出现的并在科学和工程中的低位也越来越重要，很多线性模型都是在一定条件下由非线性简化得到的。所以往往需要非线性的研究。非线性的数值解法有牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等。还有很多问题都可用常微分方程的定解来描述，主要有处置问题和边值问题。常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解是确定满足给定方程的可微函数y(x)。下面就数值分析中常用的一些方法和实例进行阐述。
二、数值分析中的一些方法
1、插值法
许多实际问题都用y=f(x)来表示，有的函数虽然有解析式，但由于计算复杂实用不方便，为了找一个既能反映函数的特性又便于计算的函数，我们利用插值法可以得到这个简单函数，插值法包括拉格朗日插值，牛顿插值，Hermite插值等多种方法。
拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。牛顿插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值。
2、解线性方程组的方法
关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
例如用高斯消元法解线性方程组，先通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：

第一步：消元过程
将(1)/3使x1的系数化为1,再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得

由(3)-4×(1)(1)得
将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1得
再将(3)(1)式中x2系数化为零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)得

将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得
经消元后，得到如下三角代数方程组：

第二步：回代过程
由(3)(3)得 x3=1,将x3代入(2)(2)得x2=-2,将x2 、x3代入(1)(1)得x2=1,
所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T
第三步：用矩阵演示进行消元过程
先将方程写成增广矩阵的形式

然后对矩阵进行初等行变换，再将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：

即原方程组被等价转化成为上三角方程组，然后，逐步回代得原方程组的解即可。
3、解非线性方程组的方法
解非线性方程组的方法包括牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等
牛顿法实质是一种非线性方程逐步归结为线性方程来求解的，牛顿迭代法原理如下：
设已知方程f(x)=0的近似根X0则在X0附近f(x)可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示为P(x)=0.用X1表示P(x)=0的根,它与的根差异不大.
设,由于满足解得

重复这一过程,得到迭代格式：
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为：

三、数值分析的一些应用
为了更好地说明说明数值分析在物理领域的应用,以及如何使用数值分析进行求解,本文将简单介绍用直接法和逼近法求解一些实际问题.
1、在电网中的应用
确定下图电网中的回路电流。

分析：在回路1中,电流I1流过三个电阻,且电压降为；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D到A的分支,对应的电压降为
6I2伏特．然而,回路1中电流在DA段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降的代数和为．由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为
,
同理,可得回路2的方程为
,
其中, -6I1是回路1中流经DA分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；12I2是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和； -2I3是回路3中流经CB分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反。回路3的方程为:

注意,在CB分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为-10伏特．出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组:

写成矩阵形式为
(*)
对增广矩阵进行行变换,得

从而解得I1=3安培, I2=1安培, I3=-8安培．I3取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.
在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为R,右端列向量记为u,i =(I1,I2,I3)T,
则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:.
2.在提拉单晶硅中的应用
在提拉单晶硅的过程中，假定晶体导电，熔化物和晶体的平衡方程式是：

该模型还包括坩埚的传导,熔化物、晶体、坩埚、加热元件表面和环境的热辐射,以及融化物和周围的环境的对流。
利用格林第二定理，将面积分变成线积分

Xi是边界节点i出的方向矢量。是边界线，A是横截面积，对轴对称的几何解决方法，i扩散方程式：

K{m}是椭圆部分

（ri,zi）是节点i的坐标。
在数值实现方法、边界被分为温度变化和接近温度梯度的每个值，通过插值逼近中间节点值:

是k的函数，是坐标，Ne是每个元素的节点数。
方程(10) 、(12)代入(9)，形成N每个节点的微分/代数方程：

T是节点处的温度矢量，Q是节点的变化矢量。
为了获得一个边界积分相当于瞬时的域积分,一般利用插值(23)。在这种方法中,对时间的导数形式是:

X是位置矢量，x= [r z] T,N是节点数，fk{x; xk}是几何的已知函数，k{t}是时间的未知系数，方程（13）变为：

矩阵M的整数数域，注意到这矩阵的计算在一个固定的领域只计算一次,方程(16)应用到N结点,结果是:

矩阵F是通过fk{x; xk}在节点处形成的，方程（18）代入方程（17），整数域里方程（9）变成：

另外,为了避免整数域M在较复杂的几何域,利用双重定理，在这种方法中,节点fk { x;Xk }是取代拉普拉斯节点的一个新的节点：

再将方程（21）代入（17），得到一个积分方程：

如果节点，，估测有相同的插值多项式k｛｝，利用温度，矩阵M可写成：, （23）,矩阵 ,是通过节点形成的。
该模型的非线性介绍是通过自由表面传导结合热对流及热辐射效应:

数值分析作为一种计算方法，在各个学科中大量应用。
四、结论
数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题。本文主要讨论了插值法求函数，解线性方程组的求解方法，非线性方程组的解法及微分方程的解法，并通过在电流回路和单晶硅提拉过程中分析应用。进一步体现了数值分析的广泛应用，实际上由于误差的存在，一些问题只能求得近似解。对于良态方程组，只要求解方法稳定，即可得到比较满意的计算结果。但对于病态方程组，即使使用稳定性好的算法求解也未必理想，还需进一步的研究。总之，数值分析可以通过计算方法进行一种比较完善的构造，使之更普遍化，能够有举一反三的思想，能够解决一些实际中难解的问题，应用到各个领域。
参考文献：
[1]李岳生,黄友谦.数值逼近.人民教育出版社.1978.
[2]李庆阳,王能超，易大义.数值分析.北京:清华大学出版社.2010,5.
［3］宇慧平,隋允康,安国平.大直径单晶硅垂直磁场下的数值模拟.北京工业大学学报.第32卷.2006,6.
[4]Roberto Irizarry-Rivera. Model-predictive control of the Czochralskicrystallization process.[J]1997.1.16
[5]薛毅,耿美英. 数值分析[M].北京:北京工业大学出版社,2003.