1、广州大学 高等数学,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,1.2,函数极限,1.2.1,函数极限概念,（一）函数极限,（二）函数极限,1.2.2 单侧极限,1.2.3 无穷大与无穷小,1.2.4,无穷小,比较,第1页,怎样准确地刻画无限靠近这一过程呢?十九世纪以前，人们用朴素极限思想计算了圆面积、体积等,极限概念创建，是微积分严格化关键它奠定了微积分学基础,背 景,第2页,当 时函数极限,当 时函数极限,第3页,当 时函数极限,),或(,当自变量,x,无限趋近于,x,0,时，,对应函数值,f,(,x,),无限靠近于常数,A,，则称,A,为,其中“l
2、im”代表极限(limit)，极限符号下面,表示自变量,x,无限趋近于,x,0,时极限，记作,函数,f,(,x,)当,第4页,下面就函数极限，,说明两点,(1),x,趋近于,x,0,方式是任意，即,x,既可能从,x,0,左侧趋近于,x,0,，也可能从,x,0,右侧趋近于,x,0,，而对应函数值都应无限靠近于,A,有定义,无关,(2),与函数,f,(,x,)在,x,0,处是否,第5页,比较：,当x趋近于2是时，y=x+2极限,第6页,由此可见，当,时，函数,0.9,2.71,1.001,3.003,1,?,函数,让（,）取值，,3,，,0.99,0.999,2.97,2.997,1.01,1.1
3、3.03,3.31,深入练习,第7页,当 时函数极限,当自变量,x,函数,（或,）,值,无限,靠近于,，则称,为函数,当,时,极限,，记作,绝对值,无限增大时，,第8页,三、深入练习,练习1,(让取值越来越大),0.000001,0.00001,0.0001,0.001,0.01,0.1,1,1000000,100000,10000,1000,100,10,1,x,-0.00001,-0.0001,-0.001,-0.01,-0.1,-1,-100000,-10000,-1000,-100,-10,-1,x,-1000000,-0.000001,下面考查函数,在自变量,时改变情况,第9页,能
4、够观察出，当自变量,与0无限靠近,时，,a,x,y,o,a,+,a,X,y,=,f,(,x,),a,x,y,o,a,+,a,X,y,=,f,(,x,),第10页,一、案例,二、概念和公式引出,三、深入练习,单侧极限,第11页,二、概念和公式引出,函数左极限,若函数,f,(,x,),当自变量,x,从,x,0,左侧,无限趋近于,x,0,时，对应函数值,f,(,x,),无限靠近于某个常数,A,，则称,A,为函数,f,(,x,),在,x,0,处,左极限,，,记作,第12页,函数极限与函数左右极限关系,定理1.1,时以A为极限充分必要条件是：,函数,f,(,x,)当,f,(,x,)在x,0,处左、右极限
5、都存在,并都等于A,第13页,第14页,定理1.2.,定理1.3.,函数极限性质,第15页,推论1:,在x,0,某一去心邻域内：,第16页,无穷小,若,，则称函数,f,(,x,),当,时为,无穷小,（,量,）。,注1,：,无穷小是一个变量，而不是常量。很小数,（除0外）都不是无穷小。,注2：,无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,如sin,x,是,x,0,时无穷小,第17页,一、案例,二、概念和公式引出,三、深入练习,1.2.3 无穷大与无穷小,第18页,f（x）=A+a，其中a是该极限过程中无穷小量，,A,为常数。,定理1.4,若当,时，函数,f,(,x,)以A为极限充分必
6、要条件是,第19页,无穷小量运算定理,有限个,无穷小量代数和为无穷小量.,注：,定理中“有限个”不能丢，无限个无穷小量和不一定是无穷小量,n,个,比如：,第20页,有界量与无穷小量之积为无穷小量.,第21页,常数与,无穷小乘积是无穷小.,有限个无穷小乘积是无穷小,第22页,无穷大,若当,时，对应函数值,f,(,x,)绝对值,无限增大，则称,f,(,x,)当,时为,无穷大,(,量,)。,记作,设函数,f,(,x,)在x,0,某一去心邻域内有定义。,注,：同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。很大数（如1万，1亿等）都不是无穷大。,第23页,无穷小和无穷大关系,第24页,第25页,1.2.4,无穷小比较,第26页,等价,无穷小,第27页,作业,习题1.2,3,4（2）,第28页,
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