重庆大学自控原理课程设计实验报告.doc

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自动控制理论课程设计

倒立摆系统的控制器设计

学生姓名: 张萌
指导教师: 谢昭莉
班 级: 自动化 3班

重庆大学自动化学院
二O一六年十二月
课程设计指导教师评定成绩表
项目
分值
优秀
(100>x≥90)
良好
(90>x≥80)
中等
(80>x≥70)
及格
(70>x≥60)
不及格(x<60)
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
20
学习态度认真, 科学作风严谨, 有很强的实际动手能力和计算机应用能力, 严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作
学习态度比较认真, 科学作风良好, 有较强的实际动手能力和计算机应用能力, 能按期圆满完成任务书规定的任务
学习态度尚好, 遵守组织纪律, 有一定的实际动手能力, 基本保证设计时间, 按期完成各项工作
学习态度尚可, 动手能力一般, 能遵守组织纪律, 能按期完成任务
学习马虎, 纪律涣散, 动手能力较差, 工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度

报告技术水平与撰写质量
50
设计合理、 理论分析与计算正确, 实验数据准确, 文献查阅能力强、 引用合理、 调查调研非常合理、 可信。报告结构严谨 逻辑性强, 层次清晰, 语言准确, 文字流畅, 完全符合规范化要求, 图纸非常工整、 清晰
设计合理、 理论分析与计算正确, 实验数据比较准确, 文献引用、 调查调研比较合理、 可信。报告结构合理, 符合逻辑, 文章层次分明, 语言准确, 文字流畅, 符合规范化要求, 图纸工整、 清晰
设计合理, 理论分析与计算基本正确, 实验数据比较准确, 主要文献引用、 调查调研比较可信。报告结构合理, 层次较为分明, 文理通顺, 基本达到规范化要求, 图纸比较工整、 清晰
设计基本合理, 理论分析与计算无大错, 实验数据无大错。报告结构基本合理, 逻辑基本清楚, 文字尚通顺, 勉强达到规范化要求; 图纸比较工整
设计不合理, 理论分析与计算有原则错误, 实验数据不可靠, 文献引用、 调查调研有较大的问题。报告内容空泛, 结构混乱, 达不到规范化要求; 图纸不工整或不清晰

答辩表现
30
答辩时, 能简明扼要地阐述自己设计的主要内容和完成的主要工作; 思路清晰; 表示能力强; 回答问题正确, 有理论根据, 基本要领清楚, 对相关知识掌握好。
答辩时, 能比较清晰流利地阐述自己设计的主要内容和完成的主要工作; 思路清晰; 表示能力较强; 回答问题正确, 有理论根据, 基本要领清楚, 对相关知识掌握较好。
答辩时, 能比较清晰流利地阐述自己设计的主要内容和完成的主要工作; 能比较恰当地回答问题, 对主要问题回答正确, 并有一定的理论依据, 有一定的表示能力, 对相关知识有一定的理解和掌握。
答辩时, 能大致地阐述自己设计的主要内容和完成的主要工作; 能比较恰当地回答问题, 对主要问题回答基本正确, 有一定的表示能力, 对相关知识理解无大错。

答辩时, 阐述不清设计( 论文) 的主要内容, 基本概念糊涂, 对主要问题回答有错误, 或回答不出。

指导教师评定成绩:

指导教师签名: 年 月 日

重庆大学本科学生课程设计任务书
课程设计题目
倒立摆系统的控制器设计
学院
自动化学院
专业
自动化
年级
级

1、 已知参数和设计要求:
M: 小车质量 1.096kg
m: 摆杆质量 0.109kg
b: 小车摩擦系数 0.1N/sec
l: 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I: 摆杆惯量 0.0034kgm2
建立以小车加速度为系统输入, 以摆杆角度为系统输出的被控对象数学模型。分别用根轨迹法、 频率特性法设计控制器使闭环系统满足要求的性能指标; 调整PID控制器参数, 使闭环系统满足要求的性能指标。

2、 利用根轨迹法设计控制器, 使得校正后系统的性能指标满足:
调整时间
最大超调量

3、 利用频率特性法设计控制器, 使得校正后系统的性能指标满足:
(1) 系统的静态位置误差常数为10;
(2) 相位裕量为 50°;
(3) 增益裕量等于或大于10dB。

4、 设计或调整PID控制器参数, 使得校正后系统的性能指标满足:
调整时间
最大超调量

学生应完成的工作:
1、 利用设计指示书中的实际参数, 经过机理推导, 建立倒立摆系统的实际数学模型。
2、 进行开环系统的时域分析。
3、 利用根轨迹法设计控制器, 进行闭环系统的仿真分析。
4、 利用频域法设计控制器, 进行闭环系统的仿真分析。
5、 设计或调整PID控制器参数, 进行闭环系统的仿真分析。
6、 将所设计的控制器在倒立摆系统上进行实时控制实验。
7、 完成课程设计报告。

参考资料:
1、 固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,
2、 固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册,
3、 Matlab/Simulink相关资料
4、 谢昭莉, 李良筑, 杨欣. 自动控制原理( 上) . 北京: 机械工业出版社,
5、 胡寿松. 自动控制原理( 第五版) . 北京: 科学出版社,
6、 Katsuhiko Ogata 现代控制工程. 北京: 电子工业出版社,

课程设计的工作计划:
1、 布置课程设计任务; 消化课程设计内容, 查阅并参考相关资料, 进行初步设计( 3天) ;
2、 按课程设计的要求进行详细设计( 3天) ;
3、 进行实时控制实验, 并按课程设计的规范要求撰写设计报告( 3天) ;
4、 课程设计答辩, 实时控制验证( 1天) 。

任务下达日期 年 12 月 29 日
完成日期 年 12 月 30 日
指导教师 ( 签名)
学 生 ( 签名)

摘 要 1
倒立摆系统的概述 2
2 数学模型的建立 4
2.1小车倒立摆物理模型的建立 4
2.2小车倒立摆实际数学模型的建立 7
3 开环响应分析 8
4 根轨迹法设计 10
4.1 未校正系统根轨迹分析 10
4.2根轨迹矫正及仿真 11
4.2.1根轨迹矫正 11
4.2.2Matlab计算和仿真 12
5 频域法设计 14
5.1未校正的bode图与奈奎斯特分析 14
5.2 频域法矫正 15
5.2.1 控制目标要求 16
5.2.2 矫正步骤 16
5.3 用Matlab进行阶跃响应仿真 18
6 PID控制器设计 19
6.1 控制器设计过程 20
7 课程设计总结 23
8参考资料 24

摘要
经过对一级倒立摆系统进行数学建模, 得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数:

首先从时域角度着手, 分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应, 得出该系统的开环响应是发散的这一结论。
利用根轨迹分析法, 并借助Matlab一级其中的Simulink仿真系统辅助分析。经过加入超前校正校正环节, 得到系统的校正函数, 而且校正后的系统满足课设的要求, 即最大超调量: , 调整时间: 。同样, 利用频域分析法也得到校正环节的传递函数。对系统进行校正系统的静态位置误差函数常数为10, 相位裕量为, 增益裕量等于或大于。最后利用PID控制器设计出校正函数, 而且也满足最大超调量: , 调节时间: 。
经过以上的设计, 得到一级倒立摆的控制器, 对倒立摆进行有目的的控制, 从而达到预期的效果。

关键字: 倒立摆 根轨迹分析法 频域分析法 PID

倒立摆系统的概述
倒立摆的种类: 悬挂式、 直线、 环形、 平面倒立摆等。一级、 二级、 三级、 四级乃至多级倒立摆。

系统的组成: 倒立摆系统由倒立摆本体, 电控箱以及控制平台( 包括运动控制卡和PC机) 三大部分组成。

工程背景:
(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。
(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。
(3) 通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球, 使它的太阳能电池板一直指向太阳。
(4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
(5) 多级火箭飞行姿态的控制也能够用多级倒立摆系统进行研究。
倒立摆系统是机器人技术、 控制理论、 计算机控制等多个领域、 多种技术的有机结合。
2 数学模型的建立
系统建模能够分为两种: 机理建模和实验建模。对于倒立摆系统, 由于其本身是自不稳定的系统 实验建模存在一定的困难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上, 经过物理等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、 输入变量以及输出变量之间的数学关系。
2.1小车倒立摆物理模型的建立

M 小车质量1.096 Kg
m 摆杆质量0.109 Kg
b 小车摩擦系数0.1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m
I 摆杆惯量0.0034 kg·m2
F 加在小车上的力
图 直线一级倒立摆模型 x 小车位置
Φ摆杆与垂直向上方向的夹角
Θ 摆杆与垂直向下方向的夹角

图 小车及摆杆受力分析
N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量 。

图 小车及摆杆受力分析
小车水平方向的合力: ( 1)
摆杆水平方向的受力进行分析:
即可化为: ( 2)
由方程( 1) 和( 2) 能够得到系统的第一个运动方程: ( 3)
摆杆力矩平衡方程: ( 4)
摆杆垂直方向的合力:
可化为: ( 5)
由方程( 4) 和( 5) 能够得到系统的第二个运动方程: ( 6)
系统的第一个运动方程:

系统的第二个运动方程:

用u 来代表被控对象的输入力F, 线性化后, 两个运动方程如下( 其中)

对上式进行拉普拉斯变换( 令) , 得到摆杆角度和小车位移的传递函数:
( 7)
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
( 8)
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
( 9)
其中。

2.2小车倒立摆实际数学模型的建立
1 倒立摆系统参数
符号
意义
数值
单位
M
小车质量
1.096
kg
m
摆杆质量
0.109
kg
b
摩擦系数
0.1
N/m/sec
l
转轴到摆杆质心的长度
0.25
m
I
摆杆转动惯量
0.0034
kg*m*m
x
小车位置坐标

m
θ
摆杆与垂直向下方向的夹角

rad
φ
摆杆与垂直向上方向的夹角

rad
F
施加在小车上的力

N
把上述参数代入, 能够得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数:
( 10)
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
( 11)
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
( 12)

3 开环响应分析
由物理公式可得到小车位移和小车加速度的传递函数:

当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应:
已知摆杆角度和小车加速度的传递函数为:
在matlab中建立m文件zm1.m
内容如下: m=[0.02725];
n=[0.0102125 0 -0.26705];
t=0:0.1:20;
step(m,n,t)
axis([0 4 0 100])
阶跃响应曲线:

系统阶跃响应曲线上升的斜率几乎趋近于无穷, 且持续上升不能达到稳定状态, 因此系统是不稳定的。
当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应
已知传递函数为:
在matlab中建立m文件命名为zm2.m
内容如下:
m=[0.02725];
n=[0.0102125 0 -0.26705];
t=0:0.1:20;
impulse(m,n,t)
axis([0 4 0 100])
脉冲响应曲线:

与单位阶跃响应同理, 系统的单位脉冲响应也不能达到稳定, 其曲线和单位阶跃响应曲线有相似的趋势。
综上, 无论是单位阶跃响应还是单位脉冲响应, 系统都是不稳定的。
然后利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真, 仿真系统的结构如下图。

摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应分别如下两图所示。

摆杆角度的阶跃响应 摆杆角度的脉冲响应

小车位置的阶跃响应、 脉冲响应分别如下两图所示。

小车位置的阶跃响应 小车位置的脉冲响应

根据上面已经得到系统的状态方程, 利用MATLAB绘制出阶跃响应曲线如下图:

系统状态方程的阶跃响应
由上图能够看出, 在单位阶跃响应作用下, 小车位置和摆杆角度都是发散的。

4 根轨迹法设计
4.1 未校正系统根轨迹分析
已知其传递函数为: , 由Matlab能够得出其对应的根轨迹如下图:

闭环传递函数的一个极点位于右半平面, 而且有一条根轨迹起始于该极点, 并沿着实轴向左到位于原点处, 系统有两个极点, 有一极点为正, 根轨迹从两极点开始, 经实轴在原点会合, 并分离到正负虚轴上, 而且沿着虚轴延伸到无穷远处, 因此无论增益如何变化, 这条根轨迹总是位于右半平面, 即直线一级倒立摆系统系统总是不稳定的。
4.2根轨迹矫正及仿真
4.2.1根轨迹矫正
传递函数
已知要求校正后系统性能指标满足: 调整时间: ; 最大超调量: 。
由公式得到, 不妨取
由, 因此 (弧度)=53.77( 度) =β, 其中θ为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角。
由调节时间:
因此得到: , 不妨取
因此能够由上面的得到期望的闭环主导极点: =—9j12
未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上, 不经过闭环期望极点, 因此需要对系统进行超前校正, 设控制器为:
计算超前校正装置应提供的相角, 已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为: =—108.2°
超前校正网络应该提供的超前相角:
对于最大的值的角度可由下式计算得到:

超前校正的零点:
超前校正的极点:
由幅值条件, 可得
因此超前校正函数为:
4.2.2Matlab计算和仿真
编写m文件命名为zm.m进行阶跃响应分析
num=0.02725*188.66*[1,7]
den=[0.0102125 32.3*0.01021215 -0.26705 -0.26705*32.3];
sys=tf(num,den);
sys2=feedback(sys,1);
t0:0.01:20;
step(sys2,t)
axis([0 1 0 2])
得到输出曲线如下:

经过Matlab编程作图, 得到校正后系统的跟轨迹
编写m文件命名为root.m进行阶跃响应分析
num=0.02725*188.66*[1,4.635];
den=[0.0102125 32.3*0.01021215 -0.26705 -0.26705*32.3];
rlocus(num,den);

从图中可看出, 系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分, 因此系统稳定。根据阶跃响应图, 调节时间为0.5s是满足的, 可是超调量远大于课设要求, 系统存在一定的稳态误差。

5 频域法设计
5.1未校正的bode图与奈奎斯特分析
系统开环传递函数:
编写zm文件bodetu.m 绘制bode图:
num=[0.02725];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
bode(num,den)
grid

开环函数bode图

编写m文件nyquisttu.m绘制奈奎斯特图:
num=[0.02725];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
nyquist(num,den)

奈奎斯特图
在matlab中输入如下语句:
num=[0.02725];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
z=roots(num)
p=roots(den)
得到结果为: z =Empty matrix: 0-by-1; p =5.1136, -5.1136
可见, 系统没有零点, 但有两个极点分别位于s平面的左右从图中得到, 系统没有零点, 但存在两个极点, 其中一个极点位于右半s 平面, 根据奈奎斯特稳定判据, 闭环系统稳定的充分必要条件是: 当ω 从− ∞到+ ∞变化时, 开环传递函数G( jω)沿逆时针方向包围-1点p圈, 其中p为开环传递函数在右半S 平面内的极点数。对于直线一级倒立摆, 由图5-2 我们能够看出, 开环传递函数在S 右半平面有一个极点, 因此G( jω)需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。能够看出, 系统不稳定。
奈奎斯特稳定判据: 当从到变化时, G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1,j0)点的次数等于开环传递函数右极点的个数。在倒立摆系统中, 由于右极点的个数为1, G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1,j0)点的次数应该为1次, 可是奈奎斯特图中并不满足此要求, 故系统不稳定需要控制器来稳定系统。

5.2 频域法矫正
系统开环传递函数为:
5.2.1 控制目标要求
设计控制器, 使得校正后系统的性能指标满足:
(1) 系统的静态位置误差常数为10;
(2) 相位裕量为 50°;
(3) 增益裕量等于或大于10 分贝。
5.2.2 矫正步骤
设控制器的传递函数为:
根据校正后系统的误差常数可得:
可得
于是
进一步分析的bode图和奈奎斯特图
Matlab语句如下: 奈奎斯特图
num=[2.6705];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
nyquist(num,den)
axis([-5 5 -5 5]);
Grid

Matlab语句如下: bode图
num=[2.6705];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
bode(num,den)
grid

由上图能够看到, 系统的相角裕量为0°, 而系统要求的相角裕量为50°。
最大超前角的计算公式为: 其中
取, 能够得到
由公式可得到
由公式
可得到 rad/s
因此
因此校正装置的传递函数为:
校正后的系统的传递函数为:
5.3 用Matlab进行阶跃响应仿真
画校正后系统的bode图和奈奎斯特图, 验证系统稳定性:
Bode图m文件编写如下:
num=[0.02725*1365.14 0.02725*1365.14*7.98];
den1=[0.0102125 0 -0.26705];
den2=[1 111];
den=conv(den1,den2);
sys=tf(num,den);
bode(sys)
Grid

奈奎斯特图m文件编写如下:
num=[0.02725*1365.14 0.02725*1365.14*7.98];
den1=[0.0102125 0 -0.26705];
den2=[1 111];
den=conv(den1,den2);
sys=tf(num,den);
nyquist(sys)
grid

从 bode 图中能够看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度, 从奈奎斯特图中能够看出 曲线绕-1 点逆时针一圈, 校正后的系统稳定。

6 PID控制器设计
开环传递函数:
设计或调整PID控制器参数, 使得校正后系统的性能指标满足:
最大超调量:
调整时间:
SIMULINK仿真模型:

6.1 控制器设计过程
先设置PID控制器的P参数, 取P=20, I=0, D=0, 得到阶跃响应曲线:

从图中能够看出系统阶跃响应呈等幅振荡。为了消除系统的振荡, 增加PID控制器的微分控制参数D。

取P=20, I=0, D=10, 得到阶跃响应曲线如下:

从响应曲线能够看出, 系统稳定时间在2s左右, 基本满足调节时间 可是超调量很大, 且存在系统稳态误差。为了减少系统稳态误差, 增加PID控制器的积分环节参数I。
取P=20, I=10, D=10, 得到阶跃响应曲线如下:

从得到的响应曲线能够看出, 由于加入积分环节, 使得调节时间增大。可是超调量有所减少, 消除了系统稳态误差。故需进一步对超调量和调节时间进行校正, 修改三个参数。
取P=59, I=20, D=15, 得到阶跃响应曲线如下:

超调量已经满足要求, 可是调节时间很长, 过对调节时间进行调节。
设置P=59, I=28, D=15时, 得到阶跃响应曲线:

经过计算发现超调量和调节时间已经大致在误差范围内满足了最后的要求。
故可取PID 控制器的参数为P=59, I=28, D=15。

7 课程设计总结

第一、 学会了如何运用自己所学的知识结合实际进行综合的设计, 以培养自己独立的进行设计的技能。
第二、 要学会如何利用网络及重大的网上数字图书馆检索设计所需的文献资料, 在使用中学习, 在学习中提高。这一点很重要, 不但扩宽了我们的知识面, 而且培养了对庞大的资料库进行有用信息的检索能力和处理能力。
第三提高了我们课程设计报告撰写水平, 提高了我们书面表示能力。也为今后很好的表示自己的思想打下了良好的基础。
第四、 本次设计令我收获最多的就是掌握了MATLIB在自动控制领域的强大功能, 它能够利用输入的函数直观的绘制出伯德图和奈奎斯特图进行判断我们设计的控制器是否符合要求, 还能够将设计的传递函数进行仿真, 经过曲线反映出此函数的校正能力。这对今后的学习和工作有很大的帮助。
最后, 经过此次课程设计是我懂得了自动控制理论这门课的强大生命力, 以前上课的时候总是感觉过于枯燥乏味, 可是这次设计让我彻底的改变了想法, 对自动控制产生浓厚的兴趣, 也使我明白了只有在应用中才能真正的体现出她的价值来。特别是当今社会的飞速发展, 时代对自动控制理论的要求也越来越高了。我们一定要在大学这个人生的黄金学习时间里更好的学会如何利用网络和图书馆拓展我们的知识, 经过实践来弥补能力上的不足, 经过课程设计培养自己的各方面的能力, 为我们以后的工作打下了坚实的基础。

8参考资料

1、 固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,
2、 固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册,
3、 Matlab/Simulink相关资料
4、 谢昭莉, 李良筑, 杨欣. 自动控制原理. 北京: 机械工业出版社,
5、 胡寿松. 自动控制原理( 第五版) . 北京: 科学出版社,
6、 Katsuhiko Ogata. 现代控制工程. 北京: 电子工业出版社,