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第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程　2x＋6＝0，　x（x－1）=0, 　 |x|=6, 　 0x=0, 　　0x=2的解
分别是：　　　x=－3, x=0或x=1, 　 x=±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解　x=；　
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3. 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
　当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
第二部分 典例精析
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)　①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？
例3　己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a　无解。问a和b应满足什么关系？
例4　a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
第三部分 典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, 　　②x2=9,　　③|x|=9，　④|x|=－3,　
⑤3x+1=3x－1,　⑥x+2=2+x
2. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3. 在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；　　当a＿＿＿时无解；
　当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；　　　　　当a＿＿＿＿时,解是负数。
4. k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x= ②x= ③x= ④x=
5. k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7. 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8. m取什么整数值时，方程的解是整数?
9. 己知方程有无数多解，求a、b的值。
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1,　 5x－2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x== (1) ,
设是整数），则y=1－5k (2) ,　　
把（2）代入（1）得x=k－2 (1－5k)=11k－2
∴原方程所有的整数解是（k是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）
1， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析
例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解
例2 求方程5x+6y=100的正整数解
例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
第三部分 典题精练
1. 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110
3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍及老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
③ 4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6. 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y=
1
4
－2

x=

第三篇 二元一次方程组解的讨论
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程组的解的情况有以下三种：
① 当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
② 当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
③ 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
　　　（这个解可用加减消元法求得）　　
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
第二部分 典例精析
例1.　选择一组a,c值使方程组
例2.　a取什么值时，方程组 的解是正数？
例3.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
例4. （古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
第三部分 典题精练
1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
1． a取什么值时方程组的解是正数？
2． a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？
3． 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？
4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
第四篇 用交集解题
第一部分 基本方法
1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
1． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6及10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
2． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：
　　　　　　0　　　　　　　2　　　　3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
　 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
第二部分 典例精析
例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
［公式一］N＝+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：有多少人①只会打乒乓球　②同时会打篮球和排球　③只会打排球？
例5. 十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值
第三部分 典题精练
1. 负数集合及分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合及 三角形集合的交集。
2. 12的正约数集合A＝｛　　　　｝，30的正约数集合B＝｛　　　｝
12和30的公约数集合C＝｛　　　｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数及原两位数的个位数字相同。
6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？
8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
10. 十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）
第五篇 用枚举法解题
第一部分 基本方法
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母可从较小数字入手，由列举中找到规律。
第二部分 典例精析　　　　　　　　　　　　　
例1. 如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？
例2. 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
例3. 讨论不等式axz=6,写出所有的正整数解有： .
4. 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.
A B C D E F
5. 　写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8.　把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢10等分呢？
9.　右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？
10.　一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是 .
第六篇 经验归纳法
第一部分 基本方法
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
归纳出n 位数共有9×10n－1　(个)
③ 由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2.　经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
第二部分 典例精析
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
　5！＝1×2×3×4×5。试比较3n及（n+1）！的大小（n 是正整数）
例3．求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数可记作10a1＋a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①＝（＿＿＿）2；；－＝（　＿＿）2。
②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）2
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算＋＋＋…＋＝
　（提示把每个分数写成两个分数的差）

7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.
8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
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