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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是：x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的数，无解。2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a0时，有唯一的解x=；当a=0且b0时，无解；当a=0且b0时，有无数多解。（不论x取什么值，0x0都成立）3. 求方程ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当ab时，方程有整数解；当ab，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b第二部分 典例精析例1 a取什么值时，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？例2 k取什么整数值时，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整数？（1x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x2)=b(x+1)2a无解。问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x2. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a_3. 在方程a(a3)x=a中，当a取值为时，有唯一的解；当a时无解；当a时,有无数多解；当a时,解是负数。4. k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？ x= x= x= x=5. k取什么值时，方程xk=6x的解是 正数？ 是非负数？6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m1的解 是零？ 是正数？7. 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？8. m取什么整数值时，方程的解是整数?9. 己知方程有无数多解，求a、b的值。第二篇 二元一次方程的整数解第一部分 基本方法1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x2y=1都没有整数解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2. 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x= (1) , 设是整数），则y=15k (2) ,把（2代入（1）得x=k2 (15k)=11k2原方程所有的整数解是（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）1， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 用观察法直接写出。第二部分 典例精析例1 求方程5x9y=18整数解的能通解例2 求方程5x+6y=100的正整数解例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？第三部分 典题精练1. 求下列方程的整数解公式法：x+7y=4, 5x11y=3 整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42. 求方程的正整数解：5x+7y=87,5x+3y=1103. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍及老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） 4x2y=11, 10x5y=70, 9x+3y=111,18x9y=98, 91x13y=169, 120x+121y=324.6. 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=142x=第三篇 二元一次方程组解的讨论第一部分 基本方法1. 二元一次方程组的解的情况有以下三种： 当时，方程组有无数多解。（两个方程等效） 当时，方程组无解。（两个方程是矛盾的） 当（即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）第二部分 典例精析例1.选择一组a,c值使方程组例2.a取什么值时，方程组 的解是正数？例3.m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？例4 （古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？第三部分 典题精练1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：1 a取什么值时方程组的解是正数？2 a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？3 要使方程组的解都是整数， k应取哪些整数值？4 （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？第四篇 用交集解题第一部分 基本方法1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作6的正约数1，2，3，6，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作除以3余1的正整数1，4，7，10，它的个元素有无数多个。1 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A1，2，3，6，10的正约数集合B1，2，5，10，6及10的公约数集合C1，2，集合C是集合A和集合B的交集。2 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组解的集合就是不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x2的交集，x3. 如数轴所示： 0234一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）第二部分 典例精析例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？公式一N N（A）+N（B）N（AB）。例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？例5. 十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值第三部分 典题精练1. 负数集合及分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合及 三角形集合的交集。2. 12的正约数集合A，30的正约数集合B12和30的公约数集合C，集合C是集合A和集合B的3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？5. 求符合如下三条件的两位数：能被3整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数及原两位数的个位数字相同。6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）10. 十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）第五篇 用枚举法解题第一部分 基本方法有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。第二部分 典例精析例1. 如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？例2. 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。例3. 讨论不等式axb的解集。例4. 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数第三部分 典题精练1. 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共 个，它们是 . 2. a+b=37,适合等式的非负整数解共 组，它们是 . 3. xyz=6,写出所有的正整数解有： . 4. 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数. A B C D E F 5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。6. 除以4余1 两位数共有几个？7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？8.把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？9.右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10.一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，则这个正整数的最小值是 . 第六篇 经验归纳法第一部分 基本方法1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ，（ 1 ）3 1 ，（ 1 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9102），四位数有91039000个（9103），归纳出n 位数共有910n1(个) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）第二部分 典例精析例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例2符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如5！12345。试比较3n及（n+1）！的大小（n 是正整数）例3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。丙练习141 除以3余1的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n位数有个。2 十进制的两位数可记作10a1a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作，n位数记作3 由1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）（）2；（）2。（）2；（）25 把自然数1到100一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算（提示把每个分数写成两个分数的差）7a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽3等分，把长8等分，分成24个小长方形，那么这24个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。第 14 页