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“图形与几何”内容变化及教学思考
新标准把“空间与图形”改为“图形与几何”。课程内容的调整主要是对《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“实验稿”）中文字表述不够清楚或比较生涩、整体结构不够协调、内容安排不够合理的地方作一些调整，以进一步完善几何课程内容体系。
一、核心内容的调整
新标准“图形与几何”部分课程核心内容的变化主要有两个方面：一是在实验稿的基础上对空间观念的内涵进行更概括、更准确的描述；二是首次提出在义务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。
1．对空间观念进行再描述。
空间观念历来是小学数学课程的核心内容之一。一般认为，空间观念是人脑藉由空间知觉所形成的物体形状、大小、位置关系、运动方式的映象。其主要是通过对事物的空间形式进行观察、分析和描述，展现出再认、保留与回忆图像的思考能力。也就是说，人脑在对现实世界空间形式获得映象的基础上，要能够借助这些映象展开空间想象和推理，并在这一过程中发展空间思维能力。实验稿首次对空间观念的主要表现给出了具体的描述：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”这对教师认识、理解空间观念的含义和特点，探索发展学生空间观念的教学策略起到了重要的指导作用。
新标准对空间观念的描述是：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”相对而言，这一描述更具有概括性，更能反映空间观念的本质内涵。具体地说，主要有几下几个方面：
(1)“抽象”。几何学是研究几何体和平面图形的空间形式、位置关系和量的关系的学科。几何体是舍弃了现实物体的物质属性，如密度、重量、颜色等，而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学对象平面图形是更一般的概念，其中甚至舍弃了空间的延伸。例如，三角形、平行四边形、圆……是二维的，直线是一维的，点是没有维的，是精确到极限位置的抽象概念。学生的几何学习要经历对现实物体的感觉和知觉的过程，并在这一过程中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小和位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何概念。可见，“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。
(2)“想象”。小学几何并不是一个严格的公理化体系。学生的几何思维主要诉诸于自身的直观感受和所形成的表象。只有当学生能够以头脑中形成的表象为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。因此，由几何图形想象实物的形状想象物体的方位和相互之间的位置关系等就成为学生几何学习过程中最重要的思维形式，而这种借助表象展开想象的能力是学生空间观念的重要表现形式。学生在几何学习过程中的想象主要包括：根据几何图形想象物体形状和大小；根据图形之间的联系想象图形的转化过程；根据展开图想象几何体的形状；想象现实空间的方位和物体之间的位置关系；想象图形的运动方式等。
(3)“描述”。现实生活中存在着大量的图形运动和变化现象，而在运动和变化中寻求不变是科学研究的重要方法，也是图形运动学习内容的价值所在。学习和探索图形的运动和变化，就是要使学生在探索和理解“变”与“不变”的过程中，抽象出图形运动的方式，并能借助已经形成的表象描述物体的运动和变化。这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。这里的“描述”可以是用语言进行描述，也可以是用图形进行描述。主要内容有：描述图形的轴对称；描述图形的平移和旋转；描述图形的放大和缩小。
(4)“画出”。依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同作用的结果。“画出”是具体的行为，而行为受观念或思想的制约。“画出”图形的过程中，学生同样需要借助表象和已有的经验进行数学地思考。因此，依据语言描述画出几何图形也是空间观念的重要表现形式。画出几何图形主要包括画图表示学过的平面图形，组合图形，图形之间的关系，以及在方格纸上表示图形的位置，图形的运动和变化等。
2．明确提出发展学生几何直观的课程目标。
新标准将实验稿中“空间观念”的具体表现“能运用图形形象地描述问题，能利用直观来进行思考”单列出来，作为几何直观加以阐释，以凸显几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用。
“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。具体地说，几何直观是指学生通过几何学习，在掌握几何图形结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证（小学不涉及几何证明）的能力。
“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。归纳起来，几何直观的教育价值主要有以下四个方面：第一，有助于强化学生的数学理解。一方面，数学抽象地反映着客观世界，人们在认识和理解抽象的数学知识的过程中往往要借助视觉形象来表征，以更加清晰地把握知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。另一方面，直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，促使他们通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。因此，几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，也是学生认识和理解数学不可或缺的辅助手段。第二，有助于启迪学生的解题策略。借助几何直观描述数学问题，能强化学生对问题信息及其关系的理解，能帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，获得正确的解题思路。第三，有助于促进学生的数学思考。数学的抽象性和学生思维的直观形象性始终是数学教学中一对矛盾。而直观的几何图形是学生最容易利用的数学形象，几何直观可以架起联结具体与抽象的桥梁，起到调和矛盾的作用。借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数学思考，揭示数学对象的性质和关系，获得形式化的数学知识，使思维逐步转向更高级、更抽象的层面。因此，几何直观可以帮助学生透过现象看本质，有助于发展数学思考，形成良好的思维品质。第四，有助于增强学生的创新意识和实践能力。很多时候，学生解题的灵感往往来自于几何直观。解决问题时需要把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，才有可能展开想象和创造性的探求活动。从这个意义上说，几何直观对于培养学生创新意识和实践能力都是十分重要的。
理解几何直观还应该弄清几何直观与以下几个概念之间联系：（1）几何直观与直观化。直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。而几何直观是指利用图形的几何性质描述和分析问题的过程。（2）几何直观与空间观念。几何直观和空间观念是有着密切联系的统一体，两者是相辅相成、相互促进的。一方面几何直观是建立在空间观念基础之上的，没有一定的空间观念就谈不上几何直观，另一方面借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是学生联系具体的问题情境展开想象和思考的过程，这一过程本身就是发展空间观念的重要途径。（3）几何直观与数形结合。数形结合是把数和形结合起来考察数学对象，即在研究问题的过程中，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化；或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使抽象的问题具体化。而几何直观是把抽象的数学对象直观化、可视化，即形成和使用关于数学概念、性质、法则，以及数学问题的几何表征的过程。
二、具体内容变化
“图形与几何”部分在结构上没有变化，只是把实验稿中“图形与变换”改为“图形的运动”。在教学内容和要求上，调整的幅度也比较小，主要有以下几个方面：
1．删减的内容。
第一学段，由于学生对图形的认识以直观认识为主，图形学习经验并不丰富，基本的操作技能还没有形成。因此，新标准适当删减了一些学生在这个阶段理解或操作有困难的学习内容。主要包括：删去“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”，相关要求放入第二学段教学，第一学段只要求“能辨认简单图形平移后的图形”；删去“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”，相关要求放入第二学段；删去“会看简单的路线图”；删去“体会并认识面积单位（千米2、公顷）”，相关要求放入第二学段。
第二学段，删去“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”，并把“两点确定一条直线”移到第三学段，作为“基本事实”进行教学。
2．降低要求的内容。
认识东、南、西、北和东北、西北、东南、西南等八个方向，是进一步学习图形与位置有关内容的重要基础，也是很重要的生活技能。而学生对现实空间良好的方位感的形成，关键在于熟练掌握东、南、西、北这四个方位。因此，新标准适当降低了这方面内容的教学要求，把根据“给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向”，改为根据“给定东、南、西、北四个方向中一个方向，能辨认其余四个方向”，并且只要求知道“东北、西北、东南、西南”这四个方向。
3．增加的内容。
实验稿中要求学生认识扇形统计图，但没有安排认识扇形的学习内容。新标准在第二学段增加“知道扇形”的要求，使课程内容更加完整，也有利于学生进一步丰富对圆的认识，加深对扇形统计图特点的理解。
4．进一步规范课程目标的表述。
新标准对实验稿中表述不够准确、清楚的目标进行了必要的修改，以使课程目标的表述更准确、规范、完整。例如，在第一学段，将“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”改为“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”等。在第二学段，将“能区分直线、线段和射线”改为“结合实例了解线段、射线和直线”；将“欣赏生活的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案”改为“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们设计简单的图案”；将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”等。
三、对教学的几点思考
“图形与几何”相关内容的教学主要是在学生已有的知识和经验基础之上，通过观察和操作、比较和分析、抽象和概括、推理和判断等活动，帮助学生认识常见几何图形和几何体的形状、大小、位置关系、运动方式，使学生更好地认识和把握现实空间，发展空间观念、几何直观和推理能力以及运用所学知识解决实际问题的能力。
1．关于空间观念的教学。
发展学生空间观念的教学策略是多样的，观察与操作、抽象与概括、想象与推理等都是学生感知和体验现实世界的空间形式和关系，建立几何概念，形成空间观念的重要途径和方法。
(1)经历图形抽象的过程。学生的几何学习是一个不断抽象的过程，即在具体的观察和操作活动中获得对研究对象的丰富感知，并逐步舍弃其物质属性，建构正确的空间形式和关系。教学中，要引导学生经历由物体抽象出几何图形的过程，通过对具体实物、几何模型、几何图形等材料的观察，通过搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、画一画等具体的操作活动，使学生的视觉、触觉、听觉等多种感官协同作用，形成对研究对象的本质属性及性质之间关系的充分感知，完成对具体对象的抽象，形成相应的空间表象，获得对几何知识和方法的理解，发展空间观念。
(2)经历空间想象的过程。想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中不可缺少的环节。在几何学习过程中，想象往往伴随着观察、操作等活动展开。学生通过想象能直接、有效地获得物体的位置、物体间距离以及位置关系的表象，形成正确的概念表征。因此，空间想象是学生几何学习过程中最重要的学习方式之一，是学生发展空间思维、建立空间观念的关键因素。教学中，要引导学生经历借助图形表象展开空间想象的过程，使学生在想象、判断、说理的过程中，不断加深对所学知识的认识和理解发展想象能力、语言表达能力和空间观念。
(3)经历直观推理的过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观展开的，学生的几何推理能力主要是在图形的转化、变换等过程中得到发展的。教学中，要引导学生在观察与操作、比较和分析、抽象和概括、归纳和类比、想象和交流等活动中，逐步认识图形的特征及性质，了解不同图形之间的关系，解释或解决一些简单的几何问题，发展空间观念和推理能力。
2．关于几何直观的教学。
教学中，既要注重引导学生借助图形直观理解有关的数学知识，又要注意引导学生经历用图形直观描述、分析和解决问题的过程，并逐步养成借助图形直观展开数学思考的习惯。
(1)借助图形表征数学对象。小学数学中，相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的，加强数学事实几何意义的阐释，有利于学生形成相应的表象，促进对数学知识的理解和记忆，有利于学生积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。教学中，要注意从学生年龄特点和已有的知识经验出发，有计划、有步骤地引导学生利用图形直观表征数学概念、性质、法则，以及量的关系，帮助学生获得清晰的表象。需要注意的是，低年级学生一般不具备利用几何图形描述数学概念的能力，他们更易于接受实物或实物图的直观，但这并不意味着教学时不能采用图形直观。相反，要注意根据学生的实际，采取适当的措施，引领学生逐步由实物直观向图形直观过渡。
(2)借助图形描述问题。一般来说，纯文字形式的问题相对比较抽象，如果能把抽象的问题以直观图示的方式表达出来，学生就可能主动发现条件和问题之间的联系，找到解决问题的方法。因此，教给学生用直观图示描述问题的方法，是发展学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的重要前提。教学时，一要注意诱发学生画图描述问题的主观愿望。当学生在解决问题的过程中遇到困难时，可以引导思考：“问题难在哪里？怎样整理条件和问题？”以诱发学生画图描述问题的心理需要。二要教给学生一些必要的画示意图的技能。通过教师示范并逐步放手让学生独立画图，形成必要的技能。三要注意培养画图描述问题的习惯。完成解题后，要注意引导学生回顾解决问题的过程，并通过比较和交流，帮助学生深刻体会直观图示在分析和解决问题过程中的作用。
(3)借助图形分析问题。加强几何直观教学并不是只要求学生能给出数学知识的图形表征，还要充分发挥图形直观在发现问题、分析问题过程中的作用。注意为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助图形直观进行比较、分析和想象，展开直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得解决问题的方法。
(4)借助图形解决问题。几何直观在解决问题的过程中起着提示解题思路、预测结果的作用，是探索数学规律、解决数学问题的有力帮手。学生在开始接触数学问题时，往往会习惯性地对问题做出一种直观判断。教学中要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用图形直观来描述的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助图形直观提出猜想或猜测，并尽可能地从中找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，以帮助学生不断积累借助图形直观进行思考的经验，发展几何直观能力。