南通市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题.doc

南通市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题）．满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
数学I
参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高．
锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为高．
样本数据，，…，的方差，其中．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合则 ▲ ．
2． 已知，其中为虚数单位，R，则的值为 ▲ ．
Read
If ≥0 Then

Else

End If
Print
（第4题）
3． 已知一组数据，则这组数据的方差为 ▲ ．
4． 根据如图所示的伪代码，已知输出值为，则输入值为 ▲ ．
5． 函数的定义域为 ▲ ．
6． 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．
现从中随机摸出只球，若摸出的球不是红球的概率为，不是
黄球的概率为，则摸出的球为蓝球的概率为 ▲ ．
7． 在△中，若，则的值为 ▲ ．

8． 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
9． 已知是等比数列，是其前项和．若，，则的值为 ▲ ．
10．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四
棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,,则的值
为 ▲ ．
11．已知实数成等比数列，成等差数列，则的最大值为 ▲ ．

12．如图，在平面四边形中，，，∠°，，则边长的最小值为 ▲ ．

13．如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 ▲ ．
14．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱中，底面为
平行四边形，．
求证：（1）∥平面；
（2）平面⊥平面．

16．（本小题满分14分）
如图是函数在一个周期内的图象．已知
点，是图象上的最低点，是图象上的最高点．
（1）求函数的解析式；
（2）记，均为锐角，求的值．

17．（本小题满分14分）
如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，∥，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点
在道路上（异于两点），．
（1）用表示直道的长度；
（2）计划在△区域内种植观赏植物，在△区域内种植经济作物．已知种植
观赏植物的成本为每平方百米万元，种植经济作物的成本为每平方百米万元，
新建道路的成本为每百米万元，求以上三项费用总和的最小值．

18．（本小题满分16分）
第18题）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为
右准线上一点．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
① 求椭圆的方程；
② 若直线的斜率分别为，
求的值．
（2）若在轴上方存在两点，使
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知数列满足，数列的前项和为．
（1）求的值；
（2）若．
① 求证：数列为等差数列；
② 求满足的所有数对．

20．（本小题满分16分）
对于定义在区间上的函数，若存在正整数，使不等式恒成立，
则称为型函数．
（1）设函数，定义域．若是型函数，求
实数的取值范围；
（2）设函数，定义域．判断是否为型函数，
并给出证明．（参考数据：）

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扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）．本卷满分为40分．考试时间为30分钟．
考试结束后，请将答题卡交回．
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的05毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号．
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．

数 学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，△中，已知，，，是边上一点，与过点的圆相切，求的长．

B．[选修4—2矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，，．
（1）求矩阵；
（2）若直线在矩阵对应的变换作用下得到另一直线，求的方程．

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数，），若直线被圆截得的弦长为，求的值．

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知是正实数，且，求证：．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
将本不同的书随机放入如图所示的编号为的四个抽屉中．
（1）求本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；
（2）随机变量表示放在号抽屉中书的本数，求的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知点为抛物线的焦点，直线过点与抛物线相交于两点（点在第一象限）．
（1）若直线的方程为，求直线的斜率；
（2）已知点在直线上，△是边长为的正三角形，求抛物线的方程．

扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市
2017-2018学年度高三第三次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、 填空题：
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．
9．或 10． 11． 12． 13． 14．或
二、 解答题：

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数学Ⅱ（附加题）