分形高等数学.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,分形历史介绍,被誉为大自然的几何学的分形（,Fractal,）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。,分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（,B.B.Mandelbrot,）,1975,年首先提出的，但最早的工作可追朔到,1875,年，德国数学家维尔斯特拉斯（,K.Weierestrass,）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（,G.Cantor,，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。,1890,年，意大利数学家皮亚诺（,G.Peano,）构造了填充空间的曲线。,1904,年，瑞典数学家科赫（,H.von Koch,）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。,1915,年，波兰数学家谢尔宾斯基（,W.Sierpinski,）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。,1910,年，德国数学家豪斯道夫（,F.Hausdorff,）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。,1928,年布利干（,G.Bouligand,）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。,1932,年庞特里亚金（,L.S.Pontryagin,）等引入盒维数。,1934,年，贝塞考维奇（,A.S.Besicovitch,）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫,-,贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。,分形简介,分形几何的产生,客观自然界中许多事物，具有自相似的,“,层次,”,结构在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的,物理现象,，背后就是反映着这类层次结构的,分形几何学,。,客观事物有它自己的,特征长度,，要用恰当的,尺度,去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量,大肠杆菌,，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺,分形几何,度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫,标度,），这叫做,“,无标度性,”,的问题。如,物理学,中的,湍流,，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至,木星,大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体,宏观,运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助,“,无标度性,”,解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。,两名数学家的贡献,在二十世纪七十年代，法国数学家,芒德勃罗,(B.B.Mandelbrot),在他的著作中探讨了,“,英国的海岸线有多长,”,这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。,如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆,分界线,具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取,不列颠,岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的,“,无标度,”,区，长度不是海岸线的,定量,特征，就要用,分维,。,数学家柯赫,(Koch),从一个正方形的,“,岛,”,出发，始终保持面积不变，把它的,“,海岸线,”,变成无限,曲线,，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是,“,Koch,岛,”,海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于,1,到,2,之间。,这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流,模型,，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。,分形几何学的应用,分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在,显微镜,下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动,(,布朗运动,),，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞,(,每秒钟多达十亿亿次,),下表现的平均行为。,布朗,粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更,小尺度,的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是,2,，大大高于它的拓扑维数,1.,在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在,藻类植物,上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。,自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈,，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。,有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从,1,公里到,1000,公里的无标度区。小于,1,公里的云朵，更受地形概貌影响，大于,1000,公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。,近几年在流体力学,不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、,生物学,上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。,分形几何的意义,上世纪,80,年代初开始的,“,分形热,”,经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。,美国,物理学大师,约翰,惠勒,说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。,中国,著名学者,周海中,教授认为：分形几何不仅展示了,数学之美,，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解,自然奥秘,的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的,几何学,，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。,分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与,艺术审美,的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义,分形几何的创始人,最简单的,分形几何,图形,分形几何图形欣赏,对比下,分形的艺术,分形理论,定义,1967,年他在,美国,权威的,科学,杂志上发表了题为,英国,的海岸线有多长,?,的著名论文。海岸线作为,曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的,100,公里长的海岸线与放大了的,10,公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如,:,连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、,布朗,粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层,曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形,(fractal),。,1975,年,他创立了,分形几何学,(fractalgeometry),。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论,fractaltheory,自相似原则,线性分形又称为自相似分型。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是,数学,上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契,(Koch),雪花曲线,、谢尔宾斯基,(Sierpinski),地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。,这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为,有规分形,和,无规分形,，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的,数学模型,来描述其相似性的分形，比如三分康托集、,Koch,曲线,等；无规分形是指具有,统计学,意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。,几种典型的分形,1883,年，,德国,数学家康托,(G.Cantor),提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程,三分康托集的构造过程,构造出来的,(,如右图,),。其详细构造过程是：第一步，把闭区间,0,，,1,平均分为三段，去掉中间的,1/3,部分段，则只剩下两个闭区间,0,，,1/3,和,2/3,1,。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：,0,，,1/9,，,2/9,，,1/3,，,2/3,，,7/9,和,8/9,，,1,。第三步，重复删除每个小区间中间的,1/3,段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的,Hausdorff,维数是,0.6309,。,Koch,曲线,1904,年，瑞典数学家,柯赫,构造了,“,Koch,曲线,”,几何图形。,Koch,曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的,Koch,曲线也有很多种，比如三次,Koch,曲线，四次,Koch,曲线等。下面以三次,Koch,曲线为例，介绍,Koch,曲线的构造方法，其它的可依此类推。,Koch,曲线的生成过程,三次,Koch,曲线的构造过程主要分为三大,步骤,：第一步，给定一个初始图形,一条线段；第二步，将这条线段中间的,1/3,处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的,1/3,处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出,Koch,曲线。其图例构造过程如右图所示,(,迭代了,6,次的图形,),。,管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展,.,随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、,生活服务设施,建设、信息高速公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、,管理方法,与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础,。,二十世纪后半叶的新技术革命是人类科学技术和生产力发展的结果，它意味着人类利用自然资源能力的飞跃，标志着新的生产力发展阶段已经到来。知识经济则是在这种强大的推动力促进下形成的新的经济发展形态，是在巨大变革之中的经济生活中的新的运行模式、相互关系、发展框架和经营理念，其社会发展形态是信息社会。信息社会是信息化发展的高级阶段，一般说来有三个层次：其一是以国家权力机构为主的政治信息化或政府管理信息化：信息化将使政府的管理工作出现一个崭新的局面，主要表现为：政务公开成为政府各机构部门的自觉行为、政府工作透明度将得到充分体现、反腐倡廉将得到加强和人民参政议政渠道更加畅通等方面。其二是以企业和市场为主的经济信息化：进入信息时代的企业利用信息化来促进企业发展是时代的需要、社会进步的结果。企业和市场信息化应首先集中在市场拓展的信息化、企业情报的信息化和企业管理的信息化。其三是以人民日常生活为主的社会信息化或市民生活信息化：步入,21,世纪的城市居民将会发现，传统的生活方式将随社会信息化的推进而发生巨大变化。具体表现为社区服务网络化、通过网络实现子,女教育的社会化和,网络购物,分形理论的管理学应用,信息社会的分形,分形与能量,是先有分形还是先有能够？其实这种问法就有问题。分形与能量是同一事物的不同表现形式。分形是有形的、固态的，是能量的储存形式。而能量是无形的、易变的、不稳定的，他通常需要一定的载体来承载它。而分形就是表现能量变化的最好的形式。学会观察分形结构，就掌握了能量变动的方向，以便于指导我们交易。在实际操盘中，我们使用,macd(5/34/5),来衡量能量变化，在三波与五波中一般会出现价格与能量的背离，但如果五波是延伸浪的话，能量最高点也会出现在价格的最高点附近，而显示不出背离现象，此时我们需要目标区域、分形、蛰伏、价格的密集成交等指标来帮助，以判断出场的位置。,令人叹为观止的分形结构图,据美国,连线,网站报道，近日，一群数学,“,极客,”,利用特定的数学方程经过反复迭代算法创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案。,“,极客,”,一词，来自于美国俚语,“,geek,”,的音译，一般理解为性格古怪的人。数学,“,极客,”,大多是指，并不一定是数学专业但又对数学等技术有狂热的兴趣并投入大量时间钻研的人。所谓的,“,分形,”,本意是指,“,破碎、不规则,”,，在,“,分形几何,”,中指的是不规则复杂现象中的秩序和结构。因此，,“,分形几何,”,就是研究无限复杂但具有一定意义的自相似图形和结构的几何学。所谓,“,分形艺术,”,图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案。,以下图中的这些三维结构尽显美丽而神奇的特点，有的像细腻的法国奶油蛋糕，有的像神话或科幻小说中的神秘洞穴。这些图形通常也可以用来制作三维屏保，如果你对三维屏保感兴趣的话，这组图片相信可以让你满意而归。,计算分形维数的公式如图，式中,是小立方体一边的长度，,N,（,）是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为,的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体，覆盖一根单位 长度的线 段所需 的数目要,N,（,）,=1/,，覆盖一个单位边长的正方形，,N()=,（,1/,）,2,，覆盖单位边 长的立方体，,N,（,）,=,（,1/,）,3,。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。利用维数公式可算得科赫曲线的维数,d=1.2618,，谢尔宾斯基海绵的维数,d=2.7268,。对于无规分形，可用不同的近似方法予以计算，也可用一定的适当方法予以测定。,分维反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。,详细内容,谢谢观看,11,安防,隋继楠,学号,11057043,