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关于投资地选择问题的论文

摘要：本文是以一道投资地选择的问题进行的数学模型的建立，该问题使用的是层次分析法进行模型建立和研究计算，并运用高等代数中特征值、特征向量的方法进行计算求解。该层次分析分为三层，包括目标层、决策层、准则层。其中准则层共有六项，根据重要性分别进行分析，最后得出结果。可以对于实际问题的选择给予一定的参考意见，但在实际问题的考虑中还要想到当地的政府政策、当地的资源等问题。
关键字：层次分析法、一致性检验、最优投资地

一、问题重述
某投资者到某地投资，该市的选择范围主要有三个区域：A区、B区、C区。该投资者认为选择投资区域的主要影响因素为：工资水平、办公成本、市场规模、便利性等。下表为投资者搜集的关于这三个区域的相关信息。请建立适当的数学模型帮助该投资者选择决策投资区域。

A区
B区
C区
工资水平
53000(元/人.年）
42000(元/人.年）
39000(元/人.年）
商务楼租金
2.5（元/平方米.天）
3.0（元/平方米.天）
4.0（元/平方米.天）
市场规模
高
中
中
交通便捷
堵塞
畅通
畅通
与相关单位联络的便利程度
高
一般
较高
社会安全
一般
较高
一般
二、模型假设
1. 三个地区具备的其他条件都相同，不在考虑范围内；
2. 忽略每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响；
3. 在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会 出现改变；
4. 三个区域投资者只能选择一个，投资方案不包括几个区域组合选择。
三、问题分析
对于该问题，在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，A,B,C三个投资地，受到多种因素的影响，具有层次性，因而用层次分析法来比较三种方案的优度是可行的，我们选择六个因素：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性来建立模型并检验。
四、符号的定义与说明
O
选择投资区域

决策层

准则层

成对比较矩阵

工资水平

办公成品

市场规模

市场便利安全性

社会安全

单位联络便利性

权向量

特征根

矩阵的秩

一致性指标

一致性比率
（i=1,2...6）
决策层对于准则层权向量

组合权向量

一致性指标

五、模型的建立与求解
一.建立层次分析结构模型
目标层O：选择投资地
准则层C：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利性，社会安全，单位
联络便利性
决策层B：A区，B区，C区
图一：投资的选择层次图

二：构造准则层对于目标层成对比矩阵
假设要比较准则层4个因素,，，，，对上层一个因素选择投资区域O的影响。每次取两个因素和，用表示表示和表示对O的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵
,> 0 , (1)
表示。由（1）给出的的特点,A称为正互反矩阵。显然比有=1。
在调查情况后，我们分析得出，市场上投资者在投资区域时所考虑的用，，，，，依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性6个准则，构造C--O成对比较距阵（正互反阵）为：

1

1

2
1
1
1
1

2
1
1
1
1

2
1
1
1
1

2
1
1
1
1
从矩阵上可以看出表示工资水平对于办公成品对选择投资区域这个目标的重要性之比为5:2；表示工资水平对于市场规模对选择投资区域这个目标O重要性之比为5:4；表示办公成品对于工资水平之比为2:5.可以看出此投资者在选择投资区域的时，最看重工资成本，其次是市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性，最后是办公成品。
比较尺度：在进行定性的成对比矩阵时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如表1。
表1：1-9尺度的含义
1
与的影响相同
3
与的影响稍强
5
与的影响强
7
与的影响明显的强
9
与的影响绝对的强
2,4,6,8
与的影响之比在上述两个相邻之间
1,1/2,......1/9
与的影响之比为上面个的互反数

三：计算权向量和特征值并进行一致性检验
计算权向量，对应于最大特征根（即作）的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足
= （2）
直观地看，应为矩阵的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时，的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。
我们用根法来求权向量：
a. 将的每一列向量归一化得 ；
b. 对按行求和得；
c. 将归一化，=（，，......)T 即为近似特征向量；
d. 计算，作为最大特征根的近似值。

1.0000 2.5000 1.2500 1.2500 1.2500 1.2500
0.4000 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 列向量归一化
A= 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174
0.0870 0.0870 0.0870 0.0870 0.0870 0.0870
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 按行求和
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739

1.3044 0.2174 1.3179
0.5220 0.0870 0.5272
1.0434 0.1739 1.0543
1.0434 归一化 0.1739 = A= 1.0543
1.0434 0.1739 1.0543
1.0434 0.1739 1.0543

一致性检验：成对比矩阵通常不是一致阵，但是为了你能用它的对应于特征矩阵根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内。据定理，n阶正反矩阵的最大特征根>=n;当=n时是一致阵。
根据这个定理和连续地依赖于的事实可知，比n大的挺多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用-n数值的大小来衡量的不一致程度。Saaty将
(3)
定义为一致性指标。=0时一致阵；越大的不一致程度越严重。
为了确定的不一致程度的容许范围，需要找出衡量的一致性指标的标准。Saaty又引入所谓随机一致性指标。Saaty对于不同的n，用100~500个样本算出的随机一致性指标的数值如表2。

表2： 随机一致性指标RI的数值

表中n-1,2时RI=0,是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵。
对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性的指标RI之比成为一致性比率CR 当
（4）
是认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。
权向量检验：
根据上面计算结果，=6.0621,按公式（3）计算，,在表2中查按（4）式计算，，一致性检验通过，上述可以作为权向量。

四：构造决策层对准则层成对比较矩阵并计算特征值和特征向量
在投资选择区域问题中我们已经得到第2层对第1层的权向量。记作.用同样的方法构造第3层（决策层）对第2层(准则层)的每一个准则的成对比较阵。

（1） 对判断矩阵：
A区，B区，C区取权重如下：

图二

1

0.7307

1.1610
1
0.8483

1.3685
1.1788
1
计算权向量：=(0.2833 0.3289 0.3878）T
计算特征值：3.0000

(2)对判断矩阵
A区，B区，C区取权重如下：

图三

1
1.2
1.6003

0.8333
1
1.3336

0.6249
0.7499
1
计算权向量：=(0.4068 0.3390 0.2542)T
计算特征值：3.0000

（3） 对于判断矩阵
A区，B区，C区取权重如下：

图四

1

1
1

1
1
计算权向量：=(0.7142 0.1429 0.1429)T
计算特征值：3.0000

（4） 对于判断矩阵
A区，B区，C区取权重如下：

图五

1

5
1
1

5
1
1
计算权向量：=(0.0909 0.4545 0.4545)T
计算特征值：3.0000

(5) 对判断矩阵
A区，B区，C区取权重如下：

图六

1

1

4
1
4

1

1
计算权向量：=（0.1667 0.6667 0.1667）T
计算特征值：0.3000

(6) 对判断矩阵
A区，B区，C区取权重如下：

图七

1
5

1

3
1
计算权向量：=（0.5556 0.1111 0.3333）T
计算特征值：3.0000

五． C--B权向量进行一致性检验

由第3层对于第2层的成对比较阵计算的权向量，最大特征值列入表3.

表3：投资投资区域
k
1
2
3
4
5
6

0.2833
0.3289
0.3878
0.4068
0.3390
0.2542
0.7142 0.1429 0.1429
0.0909 0.4545 0.4545
0.1667 0.6667 0.1667
0.5556 0.1111 0.3333

3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
（1）．--B矩阵
=30000

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
（2）．--B矩阵
=3.0000

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
（3）．--B矩阵
=3.0000

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
（4）．--B矩阵
=3.0001

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
（5）．--B矩阵
=3.0000

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
（6）．--B矩阵
=3.0000

=0.58,,一致性检验通过，上述可以作为权向量。
六．计算组合权向量并作一致性检验
（1）计算组合权向量
本问题由各准则层对目标层的权向量和各方案对每一准则的权向量（k=1,.....6）,计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作。对于方案A区，它在工资水平等6个准则中的权重用的第1个分量表示（表2中的第2行），而6个准则对于目标的权重又用权向量表示，第3层对第1层的组合权向量为：
= (5)
所以在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即
= 0.3665
0.3443
0.3000
于是组合权向量=（0.3665 0.3443 0.3000）T。
（2）．组合一致性检验：
在应用层次分析法作重大决策的时，除了对每个成对比矩阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。方案层所有方案的一致性比率公式
（6）
按公式（3）已计算的，列入表4。

表4:
k
1
2
3
4
5
6

0
0
0
0
0
0
按公式（6）式计算得=0
方案层B区域对目标层的组合一致性比率为：

因此组合一致性检验通过，得到的权向量可以作为最终决策的依据.在计算过程中，所有的判断矩阵都满足一致性检验，保证了结果的可靠性和正确性.
从计算结果=（0.3665 0.3443 0.3000）T来看,选择地的优先排列顺序为A>B>A.A区的总权重最大,为 0.3665,因此，最优选择投资地应为区A,其次是B区，C区.
六、模型的推广与评价
投资地的选择问题是日常生活中经常会出现的决策问题,但这种问题常常会受到主观因素的影响,因此,采用层次分析法建立适当的数学模型,更加具有科学性、实用性和准确性。能够避免问题的决策受到主观因素的影响导致不利的结果。但该模型存在一定的缺点，它只是粗略的将准则层的几项因素进行定量。而且，它不能完全避免主观的决断，所以，它只能作为一个参考的依据，不能将其作为最终的结果。
推广：如果城市多几个，而不仅仅是三个的时候，或者是在增加准则层的几个因素的时候也可以运用相同的方法进行求解，但不能过多，否则会带来计算上的麻烦。
七、参考文献
[1]将启源，谢金星，叶俊 数学建模,高等教育出版社2011

附录
程序
准则层对于目标层的矩阵求特征向量的过程程序：
A=[1 5/2 5/4 5/4 5/4 5/4;2/5 1 1/2 1/2 1/2 1/2;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1];
w=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]';
a=A*w
a =
1.3179
0.5272
1.0543
1.0543
1.0543
1.0543
C1--B矩阵权重画图
x=[0.2834 0.3289 0.3877];
pie(x,{'A区0.2834','B区0.3289','C区0.3877'})
C1--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 0.8614 0.7307;1.1610 1 0.8483;1.3685 1.1788 1];
[x,y]=eig(A)

x =

0.4868 -0.5765 0.2857
0.5651 0.8020 0.4051
0.6661 -0.1565 -0.8685

y =

3.0000 0 0
0 -0.0000 0
0 0 0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))

C =

-8.3496
11.6159
-2.2663
C2--B权重比重画图：
x=[0.4068 0.3390 0.2542];
pie(x,{'A区0.4068','B区0.3390','C区0.2542'})
C3--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 5 5;1/5 1 1;1/5 1 1];
[x,y]=eig(A)
x =
-0.9901 0.9623 -0.8767
0.0990 0.1925 -0.2410
0.0990 0.1925 0.4164
y =

-0.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 0.0000

C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.7143
0.1429
0.1429

C4--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 1/5 1/5;5 1 1;5 1 1];
[x,y]=eig(A)

x =
-0.2722 0.1400 0.0138
0.6804 0.7001 -0.7407
0.6804 0.7001 0.6717
y =

0.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 0.0000

C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.0909
0.4545
0.4545

C5--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 1/4 1;4 1 4;1 1/4 1];
[x,y]=eig(A)

x =
-0.4364 0.2357 -0.0000
0.8729 0.9428 -0.9701
0.2182 0.2357 0.2425
y =

-0.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 -0.0000
C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =
0.1667
0.6667
0.1667
C6--B矩阵求特征向量和权向量：
A=[1 5 5/3;1/5 1 1/3;3/5 3 1];
[x,y]=eig(A)
x =
-0.9535 0.8452 0.5921
0.0953 0.1690 -0.3589
0.2860 0.5071 0.7215

y =
0 0 0
0 3.0000 0
0 0 0.0000

C=x(:,2)/sum(x(:,2))
C =

0.5556
0.1111
0.3333

组合权向量的程序：
w0=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]';
w1=[0.2833 0.3289 0.3878]';
w2=[0.4068 0.3390 0.2542]';
w3=[0.7142 0.1429 0.1429]';
w4=[0.0909 0.4545 0.4545]';
w5=[0.1667 0.6667 0.1667]';
w6=[0.5556 0.1111 0.3333]';
w=[w1 w2 w3 w4 w5 w6]*w0

w =

0.3665
0.3443
0.3000
计算一致性比率的程序：
w0=[0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793]'; CI=[0 0 0 0 0 0];
RI=[0.58 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58];
CI2=CI*w0;
RI2=RI*w0;
CR2=CI2/RI2
CR2 =

0