Mathematica软件介绍及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常用数学软件选讲,1,2,Mathematica,是美国,Wolfram,研究公司生产的一种,数学分析型,的软件，以,符号计算见长,，也具有,高精度,的数值计算、强大的图形功能和动画等多媒体集成功能。在物理、化学、机械制造、建筑等专业都展露出异样的风采,.,Mathematica,被美国,Macword,杂志誉为,“不只是一个软件，更是一场划时代的革命”。,2,3,Mathematica,的进一步说明,它吸取了不同类型软件的,一些优点,：,（,1,）具有,BASIC,的简单易学的交互式方法,（,2,）具有,MathCADMatlab,那样强的数值计算能力,（,3,）具有,Maple,的和,SMP,那样的符号计算能力,（,4,）具有,APL,和,LISP,那样的人工智能列表处理能力,（,5,）像,C,和,PASCAL,那样的结构化设计语言,Mathematica,的开发者,Stephen Wolfram,是,Mathematica,的创始人，并被公认为是当今科学计算的先驱。,Wolfram1959,年出生于伦敦。他曾在牛津大学和加州理工学院接受教育，,15,岁发表了第一篇科技论文，,1979,年,20,岁时在加州理工学院获得理论物理学博士学位。,他从,1973,年开始使用计算机，,1981,年主持开发了第一个计算机代数系统,SMP,。,3,4,本章内容,1.Mathematica软件概述,2.Mathematica软件的使用,3.数列极限,4.函数的最值与导数,5.定积分计算,7.级数,8.线性方程组和矩阵的应用,4,5,0 引言,Mathematica是什么?,Mathematica,是什么,?,Mathematica,是一位数学家，她能做一位物理系大学毕业生能做的几乎所有的数学题，从简单的代数运算直到解偏微分方程。,Mathematica,不能做什么,?,Mathematica,没有脑袋，所以她不能思考问题，也不能主动解决问题。她只能按照人类的指令一步一步地去解决某一特定问题。,Mathematica,是研究人员和工程技术人员的好朋友和最佳助手之一。,5,6,Mathematica的主要功能及特色,符号计算,Mathematica,以,符号计算为主,，能像人一样进行带字母的计算，得到的是,准确,的结果。符号运算功能可以分成,4,个部分。,(1):,初等数学,各种数及初等函数式的计算和化简,(2):,微积分,求极限、导数、不定积分和定积分、将函数展成幂级数，无穷级数求和及积分变化,(3):,线性代数,计算行列式、矩阵各种计算，解线性方程组、特征值、特征向量等,(4):,解方程组,（包含微分方程）,6,7,输入相对简单,7,8,Mathematica软件的基本命令,在命令窗口中输入命令，如,S,in,Pi/2,，然后同时按下,Shift+Enter,键即可执行相应的命令。,在输入的命令前出现提示符,“In1:=”,其中,“In”,表示“输入”，数字“,1”,表示输入命令的序号；在运行结果之前会自动出现提示符,“Out1=”,表示输出,8,9,1:算术运算,Mathematica,软件的算术运算是指,加减乘除以及乘方、开方,运算。,例如：,（,1,）,3*(5-2)+4(6-3)/2,（,2,）,3(1/3),（,3,）,1/3+2/5,精确计算与近似计算：,在,Mathematica,软件中，若输入的数据是精确的，计算结果保留精确数字。若计算近似值，可以采用下面的方法：,（,4,）,N3(1/3),函数,Nx,表示,x,的近似值,9,10,比较如下的输入方式,若采用浮点数输入，则计算结果为近似值,（,1,）,1./3+2/5,（,2,）,2100,（,3,）,2.100,一个是精确计算,2,的,100,次方，一个是近似计算,2,的,100,次方,10,11,2：常数与函数,Mathematica,软件中提供了数学上通用的一些常数,下表中给出了其中一部分常数,11,12,常数可以直接参与计算,（,1,）,2*E,（,2,）,NPi,30,给出,30,位有效数字,在函数中使用,（,1,）,SinPi/6,（,2,）,Sqrt3.3+1.5I,（,3,）,Log10,2.0,12,13,常用函数,-,列举,(,不完整,),13,14,（,1,）,Round-3.5,(*,下取整*,),（,2,）,Random,（,3,）,RandomInteger,-1000,1000,(*,产生,-1000,到,1000,之间的一个随机整数*,),注意,：,在,Mathematica,软件中，英文字母大小写,严格区分,函数与命令的,第一个字母必须大写,。函数与命令后面的表达式要放在,中括弧,里,14,15,赋值与函数定义,Mathematica,软件中可以直接给变量赋值，并进行运算,（,1,）,a=1,（,2,）,b=2;c=3,Mathematica,软件中的语句可以写在同一行里，中间用分号隔开，分号之前的 命令不显示结果,（,3,）,d=a+b*c,此外，还可以采用,延迟赋值,的方式,延迟赋值并不显示结果，只有调用变量时，才进行计算并赋值。,15,16,上侧输出结果是一样，全部为,0.937314,。,下侧输出结果不一样，分别为,0.440112,和,0.980106,16,17,用户给某个变量,(,比如,x),赋值，以后的计算中再遇到,x,，,Mathematica,将自动替换,x,为其值。给变量赋的值可以是数，也可以是表达式。但是用户如何消除一个变量的赋值呢？,消除变量的值,可见，使用表达式,”x=.”,可以消除变量的赋值,17,18,(1):fx,_,=Sinx,(*,被定义的函数的自变量后需跟下划线,“,_”*),(2)?f(*,此命令用来查看,f,的含义*,),Mathematica,软件还可以定义函数,18,19,1,、获取帮助信息,?,的其他用途,2,、获取,更多,的帮助信息,3,、获取,更多,的帮助信息,19,20,如果需要计算函数,fx,在某一点,x=x0,的值,:,(1)fPi/2,Mathematica,软件中的函数可以用,递归的方法,进行定义,h0=1;hn_:=n*hn-1;h5,在这里定义了,h,函数的初始值,以及一般的函数定义,需要计算,h5,的具体数值,20,21,(1):x=2.0;ux_,:=,Sinx;vx_,=,Sinx,(2):?u,(3):?v,可以看出，上例中函数,ux,被定义为,Sinx,，而,vx,被定义为常函数,0.909297,（,=Sin2.0,）,变量与函数在定义后可以用,Clear,命令清除其内容,(4):Clearf,g,x;?f,在编写程序时,一般在每个程序段的开始将程序中所用的符号的内容都用,Clear,命令加以清除,以防出错,.,21,22,逻辑运算,Mathematica,软件也提供了逻辑运算功能。逻辑运算可用于程序中的条件控制。,Mathematica,软件中的逻辑运算符与,C,语言中的逻辑运算符基本一致,1:,关系运算,（,1,）,32,22,23,相同的关系运算符可以用来重复运算,(1)234=y,2:,逻辑运算,(5.84.1)&!(3.2=2.0),23,24,集合运算,Mathematica,软件中的集合是形如,a,b,c,.,的结构。其中的元素有多种形式，可以是,常数、变量、函数、方程,图形,等。,在,Mathematica,软件中向量、矩阵都可以看作为集合,。,1,2,3,4,5 (*,向量,*,),1,2,1,3,1,4(*,矩阵,，是一个二层集合*,),fx,gx,hx(*,函数,*,),x-y=1,x+y=3(*,该集合表示,方程组,*,),24,25,1集合定义,直接定义,：直接用大括号将相关元素放在一起就得到一个集合,（,1,）,t1=1,2,3,4,5,6,7,（,2,）,t2=Sinu,Cosu,语句定义,：可用,Range,与,Table,语句来定义集合,Range,imin,imax,di,给出的是一个数的集合，,第一项,为,imin,最后一项,不超过,imax,，,步长,为,di,。,（,3,）,t3=Range1,30,3,Table,expr,i,imin,imax,di,给出的是一般的集合，它由表达式,expr,在,i,依步长,di,从,imin,取到,imax,时得到的值构成,（,4,）,t4=Tablei2,i,2,21,2,25,26,Tableexpr,i,imin,imax,di,j,jmin,jmax,dj,给出的是与,i,j,有关的二层集合,(,类似地可定义多层集合,),（,4,）,t5=Tablexi+yj,i,1,2,j,1,2,（,5,）,t6=Tablek,k,3.2,10(*,步长为,1,时可省略*,),（,6,）,t7=Tablek,k,3.2 (*,步长为,1,，初值为,1,时都可省略*,),（,7,）,t8=Table5,4(*,若,expr,与,i,无关，只要写出元素的个数*,),26,27,2.集合的运算,（,1,）,Firstt2(*,取,t2,的第一个元素*,),（,2,）,Partt4,4,27,28,（,1,）,Taket3,5,（,2,）,Taket3,3,5,（,3,）,Dropt3,-2,在,Mathematica,软件中可用,表示前一个命令的结果,%,表示前面倒数第二个命令的结果，,%n,表示第,n,个命令的结果,28,29,数的类型和精度,在,Mathematica,中，有四种类型的数据类型：,29,30,整数,，不用解释,有理数,：可以看成两个整数的比,实数,可以用小数点来区分（在,Mathematica,中实数可以有任意精度的。,Mathematica,的一大特点就是符号计算功能强大，,数值运算不限精度,。）,复数,可以分成实部和虚部两个部分,30,31,Mathematica,可以使用,Head,函数区分数据类型,31,32,Mathematica,提供了一些判断数类型的函数：,务必小心,(1)EvenQ2 (*,判断,2,是否为偶数*,),(2)OddQ3.0(*,判断,3.0,是否为奇数*,),32,33,Mathematica,在不同类型数之间的转换：,不同类型的数之间是可以相互转化的，涉及到数的类型转换的函数主要有：,这是一个和,Pi,很近似的分数最早由祖冲之发现,33,34,Mathematica,对数的进制的转换：,34,35,35,36,Mathematica,的区间计算：,36,37,Mathematica,的区间计算：,37,38,输入与输出,1:,输入,在,Mathematica,软件中，符号、变量的值及命令等除了在程序中直接输入外，还可以在程序运行时从,键盘输入,:,（,1,）,a=Input;Input;Input“yz”;,Input“mn”;a+b+c+d+e,运行该命令后，将会出现四个对话框，分别对应四个,Input,命令。,出现第一个对话框表示执行第一个,Input,命令，输入,1,第二个对话框输入,b=3,第三个对话框带,“yz”,提示信息；输入,“,c=4;d=5,”,最后一个对话框带,“mn”,提示信息；输入,“,e=12,”,38,39,1:,输入,(,续),我们可以从,其他的文件,中读取信息。比如我们读取,prog1.txt,中的数据,1,0,0,0,1,0,0,0,1,执行命令,:,A=,和,（,1,）,rt_:=t2;rt,“c:1.txt”,（,2,）,!c:1.txt (*,查看,c:1.txt,文件里的内容*,),（,3,）,fx_:=Sinx;fx,“c:1.txt”,（,4,）,!c:1.txt (*,查看,c:1.txt,文件里的内容*,),（,5,）,a=12;b=3;c=a+b;c“c:1.txt”,（,6,）,!c:1.txt (*,查看,c:1.txt,文件里的内容*,),（,7,）,gu_:=Logu;hv_:=vSave,“c:1.txt”,g,h,（,8,）,!c:1.txt (*,查看,c:1.txt,文件里的内容*,),Save,存入的是变量所代表的内容,41,42,Mathematica,的查找和操作文件：,Mathematica,假定计算机系统中的文件都放在相应的文件夹中，在任何时候都一个工作目录。你只需要打入文件名字，就可以从目录中查询到文件,42,43,Mathematica,要求更改的目录必须是,存在,的，否则就是出现上述的错误,43,44,产生,C Fortran,语言的表达式：,Mathematica,可以将公式转化成为上述程序可以应用的表达式,44,45,Mathematica,中的四种括弧,Mathematica,一般用到了四种括弧，每种括弧的功能都是不同的，下面总结一下：,1,、圆括号,(),：用于组合运算，在计算中表示优先计算关系,2,、方括弧,：用在函数中，表示其中为函数的参数,3,、大括弧,：用来表示集合,4,、双括号,：用来表示索引,45,46,初 等 代 数,1.1,有理式的展开,(,常用命令,),46,47,47,48,(1)f=Expand(x+y+3)2,(2)Factorf,(3)Exponentf,x,(4)Coefficientf,x,(5)Factor(x3+2x+1)/(x3+x2+x+1),(6)Apart%(*,将表达式分解为最简单分式*,),48,49,1.2,有理式运算的常用命令,49,50,1.3,多项式的代数运算,50,51,(1)PolynomialQuotient1+x2,x+1,x,(2)PolynomialGCDx2+2x+1,x3+1,x5+1,1.4,方程求解,51,52,(1)Solvea*x+b=0,x,(2)Reducea*x+b=0,x (*,推导方程组的解*,),(3)FindRootSinx=0,x,3,52,53,Mathematica,对符号运算的限制,用户在使用,Mathematica,对符号表达式进行处理时,也许会执行,Expand(x+1)(100100),的命令。这个命令执行的结果，表达式将有,100100+1,项。也许计算机可以很方便地执行这个计算任务，但到计算的后期，每升高,(x+1),的幂指数时，计算的增加量是非常大的。当运算超出计算机容量的限制时，,Mathematica,的计算只能停下来。即使计算下去，花费时间也是相当客观,(1):,进行包含,10000,位数的算术运算,(2):,展开有,1000,项的多项式,(3):,用有几千项的三个以上的变量分解多项式,(4):,使用一个递归计算,1000,次以上,(5):,找出,100,100,矩阵的逆矩阵的计算,(6):,输出结果超过,10,页的计算,53,54,用符号做标记,在,Mathematica,中，可以指定符号为不同类型的目标作标记。这个标记就像数值的单位一样。比如：,54,55,微积分,Mathematica,可以完成,几乎,所有,标准数学函数,的积分,可以对,有理多项式,进行积分,只要分母的幂指数不要,太高,.,55,56,56,57,(1)DSinn*x,x,3,(2)DtSinn*x,x,(3)IntegrateLogx,x,57,58,有些积分可能无法用确定的式子表示,至少不能用标准的数学函数表示。比如像 ，这样的积分根本不能用数学手册中定义的标准函数的形式求解。,Mathematica,对于不可积分的数学表达式将不作任何处理。,58,59,线形代数,计算方法、拟和、最优化计算,59,60,Mathematica软件的作图,给出一个一元函数及其作图区间，用,Plot,语句可以立刻作出函数在相应区间上的图形,(1)PlotSinx,x,0,2Pi,(2)PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-GrayLevel0.1,Dashing0.02,0.01,Thickness0.01,AxesLabel-“x”,“y”,二维,函数,作图,60,61,61,62,62,63,63,64,64,65,修改坐标的原点为,(3,0),并设定图形名称,65,66,修改,x,轴的刻度,y,轴的刻度仍然不变,66,67,在绘图时，允许使用选项对绘制图形的细节提出各种要求和设置。如果不设置任何选项，则,Mathematica,软件作图时选项取默认值。,67,68,PlotStyle,的可选项目,68,69,二维,参数,作图,使用,Plot,命令只能绘出一般的函数曲线，要绘制参数曲线，可以用,ParametricPlot,命令,其一般形式,:,ParametricPlotxt,yt,t,tmin,tmax,选项,(1)ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,(2)ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic,69,70,70,71,三维函数作图,作出二元函数,f(x,y),的立体图形的命令是,Plot3D,其格式为,:Plot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax,选项,(1)Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5,71,72,与,Plot,语句类似,Plot3D,语句中也可以加入许多选项,(2)Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5,Boxed-False,Axes-False,PlotPoints-50,Mesh-False,72,73,三维函数作图,73,74,图形轴上加上标记,74,75,学习过画法几何或工程制图的都知道，制图时通常用三视图来表示一个物体的具体形状特性。我们在生活中也知道从不同观察点观察物体，其效果是很不一样的。在绘制立体图形时，在系统默认的情况下，,观察点在(,1.3,-2.4,2),处,。这个参考点选择是具有一般性的，因此偶尔把图形的不同部分重在一起也不会发生视觉混乱。,改变视点,75,76,带有阴影和网格的图形对于理解曲面的形状是很有好处的。在有些矢量图形的输出装置中，你可能得不到阴影，但是,当有阴影时，输出装置可能要花很长时间来输出它,。通常情况下，,Mathematica,为了使图形更加逼真而用明暗分布的形式给空间立体曲面着色。在这种情况下，,Mathematica,假定在图形的右上方有三种光源照在物体上。但有时这种方法会造成混乱，此时你可用,Lighting-False,来采取根据高度在表面上涂以不同灰度的阴影的方法。,76,77,77,78,Plot3D,语句的各种常用的选项,78,79,三维,参数,作图,在,Mathematica,软件中三维参数作图有两种形式,一种是空间曲线参数作图,其命令为,:,ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,tmin,tmax,选项,(1)ParametricPlot3D6Cost,6Sint,3*t,t,-8,8,AspectRatio-1,79,80,另外一种是空间曲面参数作图,其命令为,:,ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zuv,u,umin,umax,v,vmin,vmax,选项,(2)ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,u,0,2Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Axes-False,Boxed-False,80,81,(2)ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,2Cosu*Cosv,2Sinu*Cosv,2Sinv,u,0,Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Boxed-False,Axes-False,81,82,82,83,数据作图,在,Mathematica,软件也可以根据数据作出图形,其命令为,:,ListPlot,数据,选项,(1)p=Tablen,Primen,n,1,20;,ListPlotp,83,84,(2)ListPlotp,PlotStyle-AbsolutePointSize4,(3)ListPlotp,PlotJoined-True,84,85,图形的组合,上述的各种图形命令中，,ParametricPlot,ParametricPlot3D,，,Plot,三个语句不仅可以画出一个函数的图形，而且可以同时画出几个函数的图形。其一般形式为：,图形命令,函数,1,，函数,2,，,变量范围,选项,(1)Plot,Sinx,x,x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x,-2Pi,2Pi,8586,86,87,图形元素作图,如果要绘制一些,最基本,的图形,可以用,Graphics,语句,(,三维图形用,Graphics3D),作出基本图形元素,再用,Show,语句显示图形,87,88,88,89,(1),执行下列语句,V1=GraphicsCircle0,0,3.5,4;,V2=GraphicsLine-2,2.5,-1,2.5;,V3=GraphicsLine2,2.5,1,2.5;,V4=GraphicsCircle-1.5,1.5,0.5;,V5=GraphicsCircle1.5,1.5,0.5;,V6=GraphicsDisk-1.65,1.5,0.15;,V7=GraphicsDisk1.35,1.5,0.15;,V8=GraphicsPolygon-0.5,-1,0.5,-1,0,0;,V9=GraphicsCircle0,-2,0.5,0.3;,V10=GraphicsText“Hello”,0,-5;,Show,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8,V9,V10,AspectRatio-Automatic,89,90,三维图形的元素的函数略，感兴趣的图形查相关手册,90,91,91,92,92,93,编 程,分枝结构,在复杂的计算中经常需要根据表达式的情况（它是否满足一些条件）确定是否做某些处理，或在满足不同的条件时做不同的处理。,Mathematica,软件提供了一些描述条件分枝的结构，它们在常用的程序里，用于控制程序的执行过程。,93,94,1,：,If,语句,Mathematica,软件中,If,语句有三种形式,形式一：,Iftest,expr,当,test,的值为,True,时，对,expr,求值，将它的值作为整个语句的值；当,test,的值为,False,时，则给出空值,Null,形式二：,Iftest,expr1,expr2,当,test,的值为,True,时，求,expr1,的值作为整个语句的值，当,test,的值为,False,时，求,expr2,的值作为整个语句的值。,形式三：,Iftest,expr1,expr2,expr3,当,test,的值为,True,时，求,expr1,的值作为整个语句的值，当,test,的值为,False,时，求,expr2,的值作为整个语句的值,;,当,test,求不出值为,True,与,False,时,求,expr3,的值作为整个语句的值,94,95,(1)absx_=Ifx=0,x,-x,(2)fx_:=Ifx5,3,2,1,(3)f6,(4)f5,(5),fa,95,96,2,：,Which,语句,Whichtest1,expr1,test2,expr2,该语句依次求出每一个条件的值，当求出,第一个,值为,True,的条件时，求出对应表达式的值作为整个语句的值。,例,)gx_:=Whichx=8,8,x=6,6,x=4,4,True,0,用,True,作为,Which,语句的最后一个条件，可以处理“其他”情况。在此处即为，当,x4,时，,gx,取值为,0,96,97,循环结构,高级程序设计语言都提供了描述重复执行的循环语句。在,Mathematica,软件中也提供了一些类似的循环控制结构。,1,、,Whiletest,expr,在计算时，条件,test,先被求值。若求出值为,True,，则对表达式求值，然后再重复上述过程；一旦,test,的值不是,True,，整个循环结果计算结束。,97,98,例如下面的程序可用来计算 与,100,！,k=1;s=0;p=1;,While,k=100,s=s+k;p=p*k;k+,;,Print“s=”,s,“p=”,p,98,99,2,、,Forstart,test,incr,body,在计算时，其初始表达式,start,首先求值，然后进入循环，依次计算条件,test,，步长表达式,incr,与循环体,body,，一旦,test,的值不是,True,，整个循环结构计算结束,.,s=0;p=1;,Fork=1,k=100,k+,s=s+k,;,p=p*k;,Print“s=”,s,“p=”,p,99,100,3,、,Doexpr,i,imin,imax,di,在循环变量,i,依步长,di,从,imin,取到,imax,时，重复计算循环表达式,expr,，上述程序可用,Do,循环的形式写为,:,s=0;p=1;,Dos=s+k;p=p*k,k1,100;,Print“s=”,s,“p=”,p,100,101,过程,在高级程序设计语言中提供了子程序功能，用来将某些语句串在一起以实现某种目的。,Mathematica,软件中的过程也有类似的功能。,在,Mathematica,软件中主要有两种过程,1.,expr1;expr2;exprn,这一过程的输出值为最后一个表达式,exprn,的值。,101,102,下面的程序用来检验一个正整数是否可以写成两个素数的和。,如果正整数,x,不能写成两个素数的和则,px,是一个空集；若正整数,x,能写成两个素数的和，则,px,给出两个素数构成的集合,这两个素数的和为,x,。,px_:=,m=2;n=,Floor,x/2,;s=;,While,s=&m=n,IfPrimeQ,m,&,PrimeQ,x-m,s=m,x-m,;,m+,;,s,102,103,计算结果,103,104,2,、,Modulex=x0,y,expr1;expr2;exprn,在,Module,过程中，大括弧中的语句用来说明,局部变量,，并可以赋初值。其输出结果也是表达式,exprn,的值。有时，我们为了输出多个结果，可将,Returnexprk1,exprk2,置于,Module,过程的最后一个语句,px_:=,Module,m=2;n=Floorx/2;s=,While,s=&m=10-m,n+;,an=Nn(1/n),;,Print“k=”,k,“n=”,n,“an=”,an,“AbsA-an=”,AbsA-an,108,109,极限计算,左右极限的含义,:,左极限就是当,x,从左边逼近某个数时，,y,逼近的某个数,右极限则刚好相反,Limitfx,x-a,，,Direction-1,(,左极限,),Limitfx,x-a,，,Direction-1,(,右极限,),109,110,110,111,Limit,expr,x,-,Direction-1 computes the limit as,x,approaches from,smaller values,.Limit,expr,x,-,Direction-1 computes the limit as,x,approaches from,larger values,.,111,112,112,113,113,114,在试图求,无穷振荡点,的极限时，,Limit,语句得到的是函数振荡时可能的,取值范围,LimitSin1/x,x-0,114,115,极限的应用,1,问题,1,在市场经济条件中存在这样的循环问题：若去年的猪肉生产量供过于求,(,供不应求,),，猪肉的价格就会下降,(,上升,),；价格降低会使明年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不应求，于是价格上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，造成供过于求,。据统计，某城市的猪肉产销情况如下所示：,假设,：猪肉产量与价格之间的,线性关系,，,问,若干年后猪肉产销是否趋于稳定？求出稳定的生产量和价格,115,116,问题分析,116,117,117,118,Clearf,g,a,b,c,d,x,y;,x1997=40;y1997=6;x1998=35;y1998=8;,x1999=39;,z1=,NSolve,y1997=x1997*a+b,y1998=x1998*a+b,a,b,;,z2=,NSolve,x1998=y1997*c+d,x1999=y1998*c+d,c,d,;,t1=a,b/.z1;t2=c,d/.z2;,a=t11,1;b=t11,2;c=t21,1;d=t21,2;,fx_:=a*x+b;gy_:=c*y+d;,x0=x1999;,For,n=1999,n,函数,195,196,196,197,197,198,由最小二乘法确定的拟合多项式,198,199,199,200,200,201,201,202,202,203,Fourier,级数,203,204,204,205,205,206,9,线性方程组和矩阵的应用,熟悉向量、矩阵的概念以及基本运算,.,熟悉,Mathematia,数学软件做向量运算、矩阵基本运算和计算行列式的命令。,206,207,如何表示一个矩阵,207,208,208,209,209,210,210,211,211,212,212,213,213,214,214,215,215,216,216,217,217,218,218,219,219,220,220,221,221,222,如何运用一个矩阵,1.RowReduce,A,功能：用行初等变换把,A,化为阶梯形，,A,为,m,行，,n,列矩阵,.,2.LinearSolve,A,B,功能：求满足,AX=B,的,一个解,，,A,为方阵,.,3.NullSpace,A,功能：求线性方程组,AX=0,的,基础解系,的向量表，,A,为方阵,.,222,223,4.Eigenvalues,A,功能：求矩阵,A,的特征值表,.,5.Eigenvectors,A,功能：求矩阵,A,的特征向量表,.,6.Eigensystem,A,功能：求,A,的所有特征值，特征向量组成的表,.,223,224,224,225,225,226,226,227,227,228,228,229,229,230,230,231,线性方程组的应用,【,例,1】,工资问题,一个木工，一个电工，一个油漆工，三个人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议：,（,1,）每人总工作十天（包括给自己家干活在内）；,（,2,）每人的日工资根据一般的市价在,6080,元之间；,（,3,）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。,下表为他们协商后的制定出的工作天数分配方案：,231,232,一、问题分析与数学模型,这实际上是一个投入产出问题，设,x,1,表示木工的日工资；,x,2,表示电工的日工资；,x,3,表示油漆工的日工资。,木工的,10,个工作日总收入为,10,x,1,，木工、电工及油漆,工三人在木工家工作的天数分别为：,2,天、,1,天、,6,天，则木工的总支出为,2,x,1+,x,2+6,x,3,。,由于木工总支出与总收入要相等，于是木工的收支平,衡关系为：,2,x,1+,x,2+6,x,3=10,x,1,232,233,同理电工的收支平衡关系为：,4,x,1+5,x,2+,x,3=10,x,2,油漆工的收支平衡关系为：,4,x,1+4,x,2+3,x,3=10,x,3,联立上述三个方程并整理得：,233,234,二、程序与求解：,A=-8,1,6,4,-5,1,4,4,-7;(*,系数矩阵*,),NullSpaceA,Out=31,32,36,因此,方程的通解为,x=k31,32,36=31k,32k,36k,，,k,为任意的实数，每人的日工资范围在,60,80,元。,最后，为了确定满足条件,的方程组的解，根据题意，我们取,k,2,。,尽管这一问题是在方程组的无穷多组解中寻求解答，但是由于题目条件限制，对于参数,k,没有更多的选择余地。为了使日工资为整数值，可确定,k=2,使得,木工日工资：,62,元日,电工日工资：,64,元日,油漆工日工资：,72,元日,234,235,【,例,2】,世界人口预测问题,据统计，,20,世纪,60,年代世界人口数据如下表所示，有人根据表中数据，预测,2000,年世界人口会超过,60,亿。这一结论在,20,世纪,60,年代末令人难以置信，但现在已成为事实。作出这一预测结果所用的方法就是数据拟和方法，根据数学模型，构造出能逼近下表中数据的拟和函数。正是拟和函数反映了人口增长的趋势。试根据下表中数据构造拟和函数，预测,2000,年时的世界人口。,235,236,一、问题分析与数学模型,据人口增长的统计资料和人口理论数学模型知，当人口总数,N,不是很大时，在不太长的时期内，人口增长接近于指数增长。因此，采用指数函数 对数据进行拟合。,为了计算方便，将上式两边同取对数，得,lnN=a+bt,令,y=lnN,，变换后的拟和函数为,236,237,二、程序与求解：,所以,2000,年的世界人口预测为,63.2389,亿。这一数据虽然不是十分准确，但是基本反映了人口变化趋势。,输出结果：,N2000=63.2389,237,238,矩阵的应用,设,A,是,n,阶方阵，是一个数。如果存在非零的列向量,x,使得,成立，则称数 为方阵,A,的特征值，非零向量,x,称为方阵,A,的属于特征值的一个特征向量。,Mathematica,命令：,Eigenvalues(A),求,A,的特征值,Eigenvectors(A),求,A,的特征值和特征向量,【,例,3】,商品的市场占有率问题,有两家公司,R,和,S,经营同类的产品，他们相互竞争。每年,R,公司保有,1/4,的顾客，而,3/4,转移向,S,公司；每年,S,公司保有,2/3,的顾客，而,1/3,转移向,R,公司。当产品开始制造时,R,公司占有,3/5,的市场份额，而,S,公司占有,2/5,的市场份额。,238,239,问两年后，两家公司所占的市场份额变化怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？,一、问题分析与数学模型根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成一下转移矩阵：,根据产品制造之处，市场的初始分配数据可得如下向量：,所以一年后，市场分配为：,239,240,两年后，市场分配为：,以向量,X,n,记第,n,年后市场分配的份额，则,（,n=1,2,）,为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有：,即：,这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解，则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额。,240,241,二、程序与求解：,ClearA,x0,x2,x5,x10,A=1/4,1/3,3/4,2/3;,MatrixFormA,x0=3/5,2/5;,x2=NA.A.x0,x5=NMatrixPowerA,5.x0,x10=NMatrixPowerA,10.x0,输出结果：,x2=,0.3097,0.6903,x5=,0.3077,0.6923,x10=,0.3077,0.6923,由此得下表：,241,242,E N D,242,