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水箱水位串级控制系统建模与仿真

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2020年4月19日
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水箱水位串级控制系统建模与仿真

摘要：本设计充分利用自动化仪表技术，计算机技术和自动控制技术，来对水箱水位的串级控制系统进行建模与仿真。首先对被控对象的模型进行分析，并采用实验建模法求取模型的传递函数。其次，根据被控对象模型和被控过程特性设计串级控制系统，在MATLAB中对其进行性能进行分析。然后设计PID控制算法，完成控制系统实验和结果分析。

关键词：实验建模；串级控制系统； PID控制；MATLAB仿真

The Modeling and Simulation of Tank level Cascade Control System

Abstract: In order to make the modeling and simulation of water tank level cascade control system, this design takes advantage of automated instrumentation technology, computer technology and automatic control technology. First, make analysis for the controlled object model and strike the transfer function by using the experimental modeling method. Secondly, according to the controlled object model and the characteristics of the controlled process, design cascade control system in MATLAB to analyze its performance. Then design the PID control algorithm, complete control system experiments and analysis of results.
Keywords：Experimental modeling; Cascade control system; PID control; MATLAB simulation
1. 设计目的和意义
随着现代工业生产过程的发展，对产品的产量、质量，对提高生产效率、降耗节能以及环境保护提出了更高的要求，这使工业生产过程对操作条件要求更加严格、对工艺参数要求更加苛刻，从而对控制系统的精度和功能要求更高，因此，复杂过程控制系统应用越来越广泛，另一方面，自动控制理论的发展，一些新型的先进的控制方法在工业生产过程控制中得到了逐步应用，可是这些先进控制方法需要比较复杂的运算，往往需要借助计算机数字控制来实现。本设计构建串级控制系统，经过PID控制算法，对水箱水位进行控制，很好的适应了工业的发展。
2. 控制要求
1) 确定主、副对象的传递函数；
2) 利用合适的方法对该串级控制系统进行整定，并分析总结参数总结规律；
3) 分别采用单回路控制和串级控制设计主、副PID，并给出整定后系统的阶跃响应特性曲线和阶跃扰动的响应曲线，并说明不同控制方案对系统的影响。
3. 设计方案论证
3.1. 被控对象建模
方案一机理分析法建模，即理论建模。机理建模是根据过程的内部机理（运动规律），运用一些已知的定律、原理，如生物学定律、化学动力学原理、物料平衡方程、能量平衡方程、传热传质原理等，建立过程的数学模型。其最大的特点是当生产设备还处于设计阶段就能建立其数学模型。只能用于简单过程的建模，
方案二：试验法建模，此方法是在实际的生产过程（设备）中，根据过程输入、输出的实验数据，即经过过程辨识与参数估计的方法建立被控过程的数学模型。其特点是不需要深入了解过程的机理。可是必须设计一个合理的实验，以获得过程所含的最大信息量。常采用阶跃响应曲线和矩形脉冲响应曲线来辨识过程的模型。
两种方案相比，机理建模有着很大的局限性，对实际过程的机理并非完全了解，另外，实际工业过程多半有非线性因素，在进行数学推导时常常作了一些近似与假设，虽然这些近似和假设具有一定的实际依据，但并不能完全反映实际情况，甚至会带来估计不到的影响，而利用试验法建模如何设计一个合理的实验来获得过程所含的最大信息量，是很困难的，因此在本设计中，先经过机理分析确定模型的结构形式，再经过实验数据来确定模型中各系数的大小。
3.2. 串级控制系统PID整定方案比较
方案一：逐次逼近法。该方法是在主回路断开的情况下，求取副调节器的整定参数，然后将副调节器的参数设置在所求数值上，将串级控制系统主回路闭合以求取主调节器的整定参数值。然后，将主调节器的参数设置在所求数值上，再进行整定，求出第二次副调节器的整定参数值。比较上述再次的整定参数值和控制质量，如果达到了控制品质指标，整定工作就此结束。再按此法求取第二次主调节器的整定参数值，依次循环，直到求得合适的整定参数值。这样，每循环一次，其整定值与最佳参数更接近一次。采用逐步逼近法时，对于不同的过程控制系统和不同的品质指标要求，其逼近的循环次数是不同的，因此，往往费时较多。
方案二：两步整定法。该方法就是整定分为两步进行，先整定副回路，再整定主回路。具体步骤下：
1) 将主副回路均闭环，置主控制器的比例带为最大，积分时间为最大，微分时间为最小，然后按4：1衰减曲线法整定副回路的比例带和振荡周期；
2) 将副控制器的比例带置为第一步所得到的比例带，然后把积分时间调为最大，微分时间调为最小，按4：1衰减曲线法整定主回路的比例带和振荡周期；
3) 按所得到的主副回路的比例带和振荡周期，结合主副控制器的选型，采用4：1衰减曲线法的经验公式，分别整定主副控制器的参数；
4) 在主副回路均闭合的条件下，采用步骤3所得到的控制器的参数，按先副回路后主回路，先比例后积分最后微分的顺序对系统进行调试，观察控制过程的曲线，如果结果不够满意，可适当进行一些微小的调整。
经过上述两种方法的比较，可知，采用逐步逼近法费时较多，在实际中很少使用，采用两步整定法相对来说好一些。
3.3. 系统控制方案设计
方案一：单回路控制。单回路系统一般是指针对一个被控过程，采用一个测量变送器监测被控过程，采用一个控制器来保持一个被控参数恒。单回路系统结构简单，投资少，易于调整和投运，适用于被控过程的纯滞后和惯性小、负荷和扰动变化比较平缓，或者对被控质量要求不高的场合。
方案二：串级控制。串级控制系统比单回路系统在结构上多了一个副回路，形成了两个闭环。其主回路是一个定值控制系统，而副回路则为一个随动系统。
比较两种方案，可见串级控制系统中增加了一个包含二次扰动的副回路，对系统的动态性能和抗扰动能力有更高的提升。因此选用串级控制系统。
4. 系统设计
本设计的主要思路是：经过机理和实验法建模求取上下水箱的传递函数；然后在SIMULINK绘制仿真框图，采用两步整定法对串级控制系统进行整定，接着分别采用单回路控制和串级控制设计主、副PID控制器的参数，并给出整定后系统的阶跃响应特性曲线和阶跃扰动的响应曲线。系统框图如图1所示。
图 1串级控制系统框图

4.1. 建立模型
4.1.1. 机理法确定模型的结构形式
系统中上水箱和下水箱液位变化过程各是一个具有自衡能力的单容过程。
图 2液位被控过程简明原理图
如图2所示，水箱的流入量为Q1，流出量为Q2，经过改变阀1的开度改变Q1值，改变阀2的开度能够改变Q2值。液位h越高，水箱内的静压力增大，Q2也越大。液位h的变化反映了Q1和Q2不等而导致水箱蓄水或泻水的过程。若Q1作为被控过程的输入量，h为其输出量，则该被控过程的数学模型就是h与Q1之间的数学表示式。

根据动态物料平衡关系有
（4-1）

（4-2）

在静态时，Q1=Q2；当Q1发生变化后，液位h随之变化，水箱出口处的静压也随之变化，Q2也发生变化。由流体力学可知，液位h与流量之间为非线性关系。但为了简便起见，做线性化处理得
（4-3）

经拉氏变换得单容液位过程的传递函数为

（4-4）
式中
△Q1 ﹑△Q2﹑△h——分别为偏离某一个平衡状态Q10﹑Q20﹑h0的增量；
R2——阀2的阻力；
A——水箱截面积；
T——液位过程的时间常数(T=R2C)；
K——液位过程的放大系数(K=R2)；
C——液位过程容量系数。
4.1.2. 阶跃响应曲线试验法确定模型参数
经过试验建模的方法，分别测定被控对象上水箱和下水箱在输入阶跃信号后的液位响应曲线和相关参数。其测定原理图如图3所示。

图 3水箱模型测定原理图
1) 上水箱阶跃响应参数测定
按图连接实验线路，手动操作调节器，控制调节阀开度，使初始开度OP1=50，等到水箱的液位处于平衡位置时。改变调节阀开度至OP2=60，即对上水箱输入阶跃信号，使其液位离开原平衡状态。经过一定调节时间后，水箱液位重新进入平衡状态。记录数据如表1所示：

表 1上水箱阶跃响应数据(间隔30s采集数据)
t(s)/30s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
h(cm)
13.5
14.8
15.9
17.1
18.1
19.0
19.8
20.6
21.2
21.6
21.9
22.3
226
22.9
23.1
t(s)/30s
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
h(cm)
23.3
23.6
23.8
23.9
24.0
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1
24.1

2) 下水箱阶跃响应参数测定
按图连接实验线路，手动操作调节器，控制调节阀开度，使初始开度OP1=40，等到水箱的液位处于平衡位置时。改变调节阀开度至OP2=50，即对上水箱输入阶跃信号，使其液位离开原平衡状态。经过一定调节时间后，水箱液位重新进入平衡状态。

表 2下水箱阶跃响应数据(间隔30s采集数据)
t(s)/30s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
h(cm)
2.1
2.3
2.6
2.9
3.3
3.7
4.1
4.3
4.7
5.0
5.3
5.6
5.8
6.1
6.3
t(s)/30s
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
h(cm)
6.5
6.6
6.8
6.9
7.0
7.1
7.2
72
7.2
7.2
7.2
7.2
7.2
7.2
7.2

由于实验测定数据可能存在误差，直接使用计算法求解水箱模型会使误差增大。因此使用MATLAB软件对实验数据进行处理，根据最小二乘法原理和实验数据对响应曲线进行最佳拟合后，再计算水箱模型。
两组实验数据中将阶跃响应初始点的值作为Y轴坐标零点，后面的数据依次减去初始值处理，作为Y轴上的各阶跃响应数据点；将对应Y轴上阶跃响应数据点的采集时间作为曲线上各X点的值。

3) 求取上水箱模型传递函数
在MATLAB的命令窗口输入曲线拟合指令：
x=0:30:900;
y=[0 1.3 2.4 3.6 4.6 5.5 6.3 7.1 7.7 8.1 8.4 8.8 9.1 9.4 9.6 9.8 10.1 10.3 10.4 10.5 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6 10.6];
p=polyfit(x,y,4);
xi=0:3:900;
yi=polyval(p,xi);
plot(x,y,'b:o',xi,yi,'r')
xlabel('时间t(s)');
ylabel('液位h(cm)');
[x,y]=ginput(1)
[x1,y1]=ginput(1)
gtext('t=200')
gtext('h=10.6')
在MATLAB中绘出上水箱拟合曲线如4所示

图 4上水箱拟合曲线
注：图中曲线为拟合曲线，圆点为原数据点。数据点与曲线基本拟合。

根据曲线采用切线作图法计算上水箱特性参数，当阶跃响应曲线在输入量x(t)产生阶跃的瞬间，即t=0时，其曲线斜率为最大，然后逐渐上升到稳态值，该响应曲线可用一阶惯性环节近似描述，需确定K和T。而斜率K为P(t)在t=0的导数，以此做切线交稳态值于A点，A点映射在t轴上的B点的值为T。
阶跃响应扰动值为10，静态放大系数为阶跃响应曲线的稳态值与阶跃扰动值之比，因此上水箱传递函数为
（4-5）
4) 下水箱模型建立
在MATLAB的命令窗口输入曲线拟合指令：
x=0:30:900;
y=[0 0.2 0.5 0.8 1.2 1.6 2.0 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.7 4.0 4.2 4.4 4.5 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1];
p=polyfit(x,y,4);
xi=0:3:900;
yi=polyval(p,xi);
plot(x,y,'b:o',xi,yi,'r')
xlabel('时间t(s)');
ylabel('液位h(cm)');
[x,y]=ginput(1)
[x1,y1]=ginput(1)
gtext('t=465')
gtext('h=5.1')
在MATLAB中绘出下水箱拟合曲线如5所示。
注：图中曲线为拟合曲线，圆点为原数据点。数据点与曲线基本拟合。
求取传递函数方法和上水箱的类似，求得下水箱传递函数为
（4-6）
图 5下水箱拟合曲线
4.2. 整定参数
在串级控制系统中，主、副调节器所起的作用是不同的，主调节器起定值控制作用，副调节器起随动控制作用，主参数是工艺操作的主要指标，允许波动的范围较小，一般要求无余差，因此，主调节器应选PI或PID控制规律。副参数的设置是为了保证主参数的控制质量，能够在一定范围内变化，允许有余差，因此副调节器先P控制规律就能够了，若引入积分规律，还会延长控制过程，减弱副回路的快速作用，若引入微分控制规律会使调节阀动作过大，对控制不利，因此在本设计中，主控制器选用PID调节器，副控制器选用P调节器，并采用两步整定法对该串级控制系统进行整定，其结构框图如图6所示。
图 6串级控制系统结构框图
按照两步整定法的步骤对该串级系统进行整定：
① 将主副回路均闭环，置主控制器的Kp1为最大，Ti=0，Td=0，然后设置Kp2的值，直到副回路的输出曲线大致为4：1衰减曲线，并记下此时Kp2的值。
② 将副控制器的Kp2置为10，调节主控制器的Kp1的值，直至主回路的输出曲线大致为4：1衰减曲线，记下主回路的Kp1。
③ 根据4：1衰减曲线法的经验公式表3，分别整定主副控制器的参数；
④ 在主副回路均闭合的条件下，采用步骤3所得到的控制器的参数，按先副回路后主回路，先比例后积分最后微分的顺序对系统进行调试，观察控制过程的曲线，如果结果不够满意，可适当进行一些微小的调整。
表 3阻尼振荡整定计算公式
调节器参数
控制规律
δ
TI
TD
P
δS

PI
1.2δS
0.5TS

PID
0.8δS
0.3TS
0.1TS

根据以上步骤对该串级系统进行整定，主副回路4：1曲线如图7和图8所示。
图 7 Kp1200，Kp2=10主副回路输出波形 图 8 Kp1=200，Kp2=20主副回路输出波形

然后根据4：1衰减曲线法的经验公式表设定主调节器的Ti和Td值，分别对主调节器采用PI和PID控制器进行仿真。
1) PI调节器
设置 Kp1=200，Ti=100，Td=0，Kp2=10，20，30，40。仿真图如图9所示
图 9主调节器为PI的仿真曲线图
2) PID调节器
设置Kp1=160，Ti=60，Td=20，Kp2=5，10，15，20。仿真图如图10所示
图 10主调节器为PID的仿真曲线图
4.3. 系统控制方案
经过采用单回路控制和串级控制系统这两种不同的控制方案，对双容水箱的阶跃响应性能和抗扰动性能进行模拟仿真，以考察串级系统的设计方案是否合理。
4.3.1. 阶跃响应性能
仿真框图如图11所示，经过切换手动开关能够实现副回路P控制器的引入与切除，以了解副回路对控制性能的影响。
图 11 阶跃性能测试仿真框图
由上节PID参数整定可知，当主控制器PID参数Kp1=160，Ti=60，Td=20 ，副控制器P参数为Kp2=15时，整定效果最好，因此设定主副调节器的参数设置为Kp1=160，Ti=60，Td=20 ，Kp2=15。并在初始时刻加入阶跃信号，观察阶跃响应曲线如图12所示。
图 12阶跃性能测试响应曲线

4.3.2. 抗扰动能力
在副回路加入扰动信号，如图13所示，维持初始阶跃信号不变和控制器参数不变。仿真曲线如图14所示。
图 13抗扰动性能测试仿真框图
图 14抗扰动性能响应曲线

5. 设计结果及分析
在本设计中，首先经过机理法，分析得出上下水箱的数学模型结构为
然后经过阶跃响应曲线试验法求出上下水箱的传递函数为

接着对该串级控制系统进行PID整定，当主调节器为PI调节器（Kp1=240，Ti=100）时，Kp2分别设定为10，20，30，40时，其性能指标如表4所示。

表 4主调节器为PI调节器（Kp1=240，Ti=100）时性能指标比较图
Kp
值
性
能
指
标
Kp2值
性能指标
10
20
30
40
上升时间（s）
0.17
0.15
0.1
0.1
峰值时间（s）
0.5
0.2
0.2
0.17
调节时间（s）
1.5
1
0.7
0.5
超调量（%）
50%
29%
25%
20%

当主调节器为PID调节器（Kp1=160，Ti=60，Td=20）时，Kp2分别设定为5，10，15，时，其性能指标如表5所示。
表 5主调节器为PID调节器（Kp1=160，Ti=60，Td=20）时性能指标比较图
Kp
值
性
能
指
标
Kp2值
性能指标
5
10
15
20
上升时间（s）
0.2
0.15
0.1
0.1
峰值时间（s）
0.3
0.2
0.2
0.3
调节时间（s）
2
1
0.6
0.5
超调量（%）
20%
10%
2%
2%
比较发现，采用PID调节器相对于PI调节器来说，超调量有很大程度上的减小，另外在PI调节器中，针对不同的值，可发现当Kp1=160，Ti=60，Td=20，Kp2=15时，上升时间为0.1s，峰值时间为0.2s，调节时间为0.6s，超调量为2%，此时整定效果比较好。
经过上面的参数，能够总结出以下几条基本的PID参数整定规律：
1) 增大比例系统Kp一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有得于减小静差，可是过大的比例系统会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变差；
2) 增大积分时间有利于减小超调，减小振荡，使系统的稳定性增加，可是系统静差消除时间变长。
3) 增大微分时间有利于加快系统的响应速度，使系统的超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。
最后将调节器参数设为Kp1=160，Ti=60，Td=20，Kp2=15，采用单回路控制和串级控制系统这两种不同的控制方案，对双容水箱的阶跃响应性能和抗扰动性能进行模拟仿真，其阶跃响应性能如表6所示。
表 6不同控制方案的阶跃响应性能指标
Kp
值
性
能
指
标
性能指标
控制方式
上升时间（s）
峰值时间（s）
调节时间（s）
超调量(%)
单回路控制
0.7
1.2
13
70%
串级控制
0.1
0.2
0.2
2%
根据上表，可看出，串级控制系统相对于单回路控制系统来说，性能有很大的提升。光看超调量从70%变为2%，就可见串级控制系统的优越性能。另外从图14中可清晰地看到，串级控制系统对扰动超强的克服能力。

结束语
经过本次设计，能够清晰的看到串级控制系统相比于单回路控制系统的优势。串级控制系统仅多用了一个测量变送器和一个调节器，增加的投资并不多，但控制效果却有显著的提高。可简单的归为两点：改进了被控过程的动态特性，提高了系统的工作频率，对干扰有着很强的克服能力。另外，经过利用MATLAB的 SIMULINK能够便捷地对不同的控制系统进行仿真，经过对PID控制的仿真，能够清楚的比较不同控制方案的优劣，对在设计控制系统可能出现的问题在计算机中进行模拟，使对系统的设计方案更加明确。

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