最短路径问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,最短路径问题,平面中的最短路径,立体图形中的最短路径,1,最短路径问题,平面中的最短路径,2,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,思考,3,问题：如图，点,A，B,分别是直线,l 异侧的两个点，在 l 上找到一个点，,C,A,CB 最短,作法：,连接点 A，B 与直线 l,相交于点 C,（,CA+CB,）,min,=AB,A.,l,.B,C,一、一线+两点（异侧）,4,问题 2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,B,A,l,二、一线+两点（同侧）,5,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马 问题”。,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,B,A,l,二、一线+两点（同侧）,6,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直线。,B,A,l,A,C,作法：,1、过点 A 作直线 l 的,对称点,A,2、连接,A,B，与直,线 l 相交于点 P,3、连接点A,P,此时（AP+PB）,min,二、一线+两点（同侧）,P,7,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直线。,B,A,l,A,C,证明：,AP,1,+P,1,B=,A,P,1,+P,1,B,A,B,=,A,P+PB,=AP+PB,AP,1,+P,1,BAP+PB,同理：AP,2,+P,2,BAP+PB,故 （AP+PB）min,二、一线+两点（同侧）,P,1,P,2,P,8,问题 3：牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短？,b,.P,a,草地,河,三、两线+一点,9,b,.P,a,草地,河,作法：,1、作点P关于直线a的对称点P,1,，关于直线b对称点P,2,2、连接P,1,P,2,，分别交直线 a,b于点A，B,3、连接PA，PB，由对称轴的性质知，PA=P,1,A，PB=P,2,B,先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，这时的放牧路线总路程最短，即(PB+BA+AP),min,B,P,2,A,P,1,三、两线+一点,10,三、两线+一点,b,.,P,a,草地,河,证明：,PA,1,+A,1,B,1,+B,1,P,=P,1,A,1,+A,1,B,1,+B,1,P,2,P,1,A+AB+BP,2,=PA+AB+BP,PA,1,+A,1,B,1,+B,1,P,PA+AB+BP,故 （PA+AB+BP）,min,B,P,2,A,P,1,B,1,A,1,11,问题 4：为了做好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路 l,1,上设卡检查，再到公路 l,2,上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？,l,1,l,2,.,A,.,B,四、两线+两点,12,l,1,l,2,A,.,.,B,作法：,1、作点 A 关于直线 l,1,的对称点 A,1,2、作点 B 关于直线 l,2,的对称点 B,1,3、连接 A,1,B,1,，分别交直线 l,1,l,2,于点 C，D，则沿路线ACDB 走，才能使总路程最短,先到点 C 处设卡检查，再到点 D 处设卡检查，最后回到 B 处执行任务，这时的路线总路程最短。即（AC+CD+DB）min,A,1,C,D,B,1,四、两线+两点,13,l,1,l,2,A,.,.,B,证明：,AE+EF+FB,=A,1,E+EF+FB,1,=A,1,E+EG+GF+FB,1,A,1,G +GB,1,=A,1,B,1,=A,1,C+CD+DB,1,=AC+CD+DB,AE+EF+FBAC+CD+DB,故 （AC+CD+DB）,min,A,1,C,D,B,1,E,F,G,四、两线+两点,14,问题 5,：,如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,作法：,1、将点B沿垂直与河岸的方,向平移一个河宽到E,2、连接AE交河对岸与点M,则,点M为建桥的位置，MN为,所建的桥,。,四、两线+两点,.A,.B,N,M,.E,15,A,B,N,M,E,证明：,AC+CD+DB,=AC+CD+CE,=AC+CE+CD,AE+CD,=AM+ME+CD,=AM+NB+MN,AC+CD+DB,AM+NB+MN,故（AM+NB+MN）min,C,D,四、两线+两点,16,（2011年）A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系。,(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C,，使,C,点到,A,，,B,两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；,(2)若在公路边建一游乐场,P,，,使游乐场到两校距离之和最,小，通过作图在图中找出所建,游乐场的位置,中考连接,O,A.,.B,x,y,17,作法：,（1）连接 A，B点，以A，B为圆心，任意半径画圆，交点为点M，N，连接MN，交x轴于点C，则点C就是所求点，即 CA=CB,（2）过A点做 x 轴的对称点A,1,点，连接 A,1,B 交 x 轴于点 P，则点 P 就是所求点，即（AP+PB）min,中考连接,O,A.,.B,x,y,M,N,C,P,A,1,18,最短路径问题,立体图形中的最短路径,19,问题 6：如图 在一个底面周长为20cm,高AA为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？,B,A,A,一、圆柱中的最短路径,20,方案,(1),方案,(2),方案,(3),方案,(4),蚂蚁AB的路线,B,A,A,d,A,B,A,A,B,B,A,O,21,B,A,A,r,O,4,怎样计算AB？,在RtAA,B中，利用勾股定理可得，,侧面展开图,其中AA是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半(r),结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长。,22,例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处,吃食物，它爬行的最短路线长为多少？,A,.,.,B,分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图),解：AC=6 1=5,BC=24 =12,由勾股定理得,AB=13(m),B,A,C,23,问题 7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，,A,和,B,是这个台阶的两个相对的端点，,A,点上有一只蚂蚁，想到,B,点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从,A,点出发，沿着台阶面爬到,B,点，最短线路是多少？,B,A,A,B,C,5,3,1,5,12,AB,2,=AC,2,+BC,2,=169,AB,=13,二、台阶中的最短路径,24,问题 8：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）,（A）3 （B）（C）2 （D）1,A,B,分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）。,C,A,B,C,2,1,三、正方体中的最短路径,B,25,左面和上面,前面和上面,前面和右面,四、长方体中的最短路径,26,问题9：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点,A,出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C,1,处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？,A,B,A,1,B,1,D,C,D,1,C,1,2,1,4,分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图,),由勾股定理可求得图1中AC,1,爬行的路线最短.,A,B,D,C,D,1,C,1,4,2,1,AC,1,=,4,2,+3,2,=25,前面和上面,A,B,B,1,C,A,1,C,1,4,1,2,AC,1,=,6,2,+1,2,=37,前面和右面,A,B,1,D,1,D,A,1,C,1,4,1,2,AC,1,=,5,2,+2,2,=29,左面和上面,四、长方体中的最短路径,27,1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是,。,中考连接,A,B,C,D,5,4,3,28,2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为,。,中考连接,A,B,10cm,29,