二次函数(存在性问题).doc

函数图象中点的存在性问题（强化训练）
切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法
切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法）
切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论
切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏)
1.1因动点产生的平行四边形问题
1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为 ；
（2）将直线L沿y轴向下平移 个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

1.2因动点产生的等腰三角形问题
1.在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C  ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，1）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（2，-3）．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A、B、P、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

1.3因动点产生的直角三角形问题
1. 如图，抛物线y=ax2-bx-2交x轴于A（-1，0）、B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AB上一点，过D点作DE∥AC交抛物线于M，交y轴于N，若CM=AN，求D点坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移，交原抛物线于点P，点Q在x轴上，问是否存在点Q使△CPQ是以PC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；
（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是 ；
（4）点F是抛物线上一动点，若∠AFC为直角，则点F坐标为 ．

1.4因动点产生的相似三角形问题
1.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

2.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在抛物线的对称轴上找一点E，使|AE﹣DE|的值最大，求E的坐标；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2002•金华）如图，已知直线y=-2x+12分别与Y轴，X轴交于A，B两点，点M在Y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．
（1）求证：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（- ， ）为顶点，且过点M的抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，试问在此抛物线上是否存在点P使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

1.5因动点产生的梯形问题
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=-x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=-x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．

2.如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD= ，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

1.6因动点产生的面积问题
1.如图，已知点A（-1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴
与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x1、x2恰是方程x2-2x-3=0的两根，
且sin∠OBC= ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）对称轴上是否存在点D，使得△BCD是直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

1.7因动点产生角的问题
1.如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3．
（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；
（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；
（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．

1.8因动点产生的相切问题
1. 已知：如图，抛物线y=x2+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC．
（1）直接写出m的值及点A、B的坐标；
（2）点P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S1、S2，且S1：S2=2：3，求点P的坐标；
（3）①设⊙O′的半径为1，圆心O′在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O′与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心O’的坐标；若不存在，请说明理由．
②探究：设⊙O′的半径为r，圆心O′在抛物线上运动，当r取何值时，⊙O′与两坐标轴都相切？

2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

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