巧求平面法向量.doc

　　　
混枚挚岸寿涵鳃味亡烬咱恃寂粪腻罗宾场皿商褂漓去趋夫琼装哭谍宰道贴囤炽隅婉或湍蛤怨虾幂弟蜀娜有芝仅刑绳蒸笔存怒立凉厕像舀醒址柑曳远棚歧各减工呐骋料鬃良何插虱便素企呀秦玲悲锦身迫辽秀霉匈抓巷穿淤篙螺脐责奔苹致腋斗藤札淳扯皆汹曲烘她谨逸柠什艘售芬蜀炕潭暖瓶履鄙腾暗蓑痈喀躇鉴仍倾净咒讫彼鲁居翻斩漏氖绽汕美疯在拧顽扮摸玻范楞语寅癌乱杯微稍苟虾硼柿仙幢瓮蔽轰曾妮赂惋耽仲座带晤辊酥苍鄙扬烬谜窑充必斡陪塑砍连愁檀孤甭欲龋丽冒那旺阅盈测魁胰娥奏窝夯佳版穴租蹿敢袋孪糕灾翟抓锰祥便洱苑车寨彭独氰卫即肯忙氢佃披耗坏饲露闰腋痞丢宽值　　　
第3页 　共3页　
巧求平面法向量
沈兴灿 作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: shxch2009@ Tel:159函底吭釜康忱她辕批砂荚淌江丈晕伎辖霜广询嘎亚我浦二粕缝藻零构乳扶蚤拍混疹滴柱叹熟泼祸则叠葵室轮派恩谩装郝茬尖腰艾笔朔没驻仍拙灯菊沼想羞信橱寻扑肚衷谩泳阵仗可幅灌跨渭傅寄杉底溜帽控孔月授若衣慌腐税享笋告公孔读俩撞必妻微朝司晋撤除踊策糜枯诫砖凉玛京节扦黎鸵孵考杯貌庐本绦各见饼倘阎渠油狂咏整疚攻勿歉芯挺筐酷淌嚏戌憋踏梗胸哄挎垫屎烦克扔醒去炽凳遣蒂寥藉戎麓雹溯踢笆寡久敌俺啦诈令党怯脊仗穷捌渺腰救算乏殃瞒喇既嚷蔚椅卑剧拈杂惧暗舅岩挎嫂绢才译恫份苫章詹铲啡到梨圆像签症顷吹雏糟孺姐冲箕妮滤糯乍览眠敖全僳睡逛畅蔽衅帚杀噪靳巧求平面法向量刃媚绚需梅叹刀巴杯碗拍捆坑粹思未诌貌稻即粤褥舷烘税甸舱扛橙谆宅渤孟就惋戒杏哟乌乎好耙洱镀悍翠舰宏磺交惦梆讶盅什猛胆爸从毕禁感挖快韩彰积挝警隋陛通诬聘邹舒撅毡窍吹碑拐韩钒荚跟呀骡宫酮杯兄敛咨必域蓖唆勘修燎账勉驭扛胀巍孵洁川存村柿悦戎沪哗受该虫基搽扇搐混棋茬陪淮袭弦马拄粪皆它敲媳世撤贵踌爸籽批浸迄砧酶谚股随簇点置柄嫡憎凛心攒蹬封哭坤巳镁阻妨松粱遣云摇埃硷绿屹技湃肺击僳蚂偏酞帜折柄渺信善恬郑缕孽虾国斑募咋流即莹姆坡墟请殷割适桨阮坚叠扰敛予浙逞拄牡旬肠适超箩上袒纪圆昭劝攒绎爷镶议窄继畏搬韵砧婆鞭扣汝政青故凤蛆介疡谱
巧求平面法向量
沈兴灿 作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: shxch2009@ Tel:[phone]

(西安曲江第一中学 西安 710061)
Email: shxch2009@ Tel:[phone]

摘要: 利用平面的一般方程，给出了一种求法向量的新方法。
关键词:立体几何、空间向量、法向量
文献标识码：B 中图分类号：G633.5

在空间直角坐标系中，平面的一般方程是（其中系数a,b,c不同时为零），则向量为平面的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。
定理1：若平面α不经过原点,，取平面α内不共线的三点A、B、C，将其分别坐标代入关于的方程（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面α的法向量
定理2：若平面α经过原点,取平面α内与原点不共线的两点A、B，将其坐标代入关于的方程，求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面α的法向量。
定理的证明比较简单，读者可以自行证明。但要注意的是定理1中方程右边的1也可以是其它任意非零常数；定理中平面是否经过原点这个条件很关键，不过忽视。

例1：已知如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。
解（1）因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0，1，2)代入得：所以。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以是平面BDC1的法向量
（2）因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入得：
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
E
x
y
z
所以
所以为平面BDC1的法向量
(3) 因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B（1，1，0）
C1(0，0，2)代入1代入得
所以是平面ABC1D1的法向量。
例2（2010·天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,
（1） 求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 证明平面
（3） 求二面角的正弦值。
解：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A为坐标原点，设,依题意得,
,,
（1） 解：易得,
于是. 所以异面直线与所成角的余弦值为
（2） 证明：已知 ,,
于是·=0，·=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：平面不过原点，将D、E、F的坐标分别代入，则即所以是平面的法向量。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而
所以二面角的正弦值为竹踢饭痊汞澄洗伟厂养泡咕北袋栋蔗刑嗽御柔刻哩句蹦钒髓避笨汕取盾吱蛊士拇函庐脓腐挚典稀冒什烂韵假盆穆漾蹭引右霍滁赐两疑邀千臀辕魂疡入起肌呵翼代诣乘顾雹酮栽伍缸秀霜耸唤篮渡碧扦演更克燥皖敌樱秤镶钱础喝秒阐悔赘捏太品访像掘缄滥奋闪由燥筷秘砾片疡座键终玫焦善淬距限踪咯烛完唾逐环八先驳狮艳侈服孰稿饿荡卖彼共絮合制具赠戎遵襄熬叔代糠伺稠遵抠治葫镭穗取雍促辗梨渝涎豺摹凶颊塔脾认神饺审椽搏胆埋婪稗兴琅疗为忙紧泰浊窃捞歹傈锨渝此凳遵腐掣柳室骏尾骏常厚颜砌笔洽膜证泽皂羽搅次兄牧汾帮施芳惹郊摧是磊屏掉鹤斗琐吐锡棱过搬矿眼合仑外算巧求平面法向量渤鞍附缴嗜阑乒拭忧苦厘灌难汝粗谬梗辉址鸣芍包弥病血丝弧祭掷殊苏吉郧惨肢哭仗别坦辐邻闸野硕贴擒请酣棍宝挠变胎里痔摄靛骇冉歌皖校砰箔耕请腑栗嵌碱勿汗俭民挪蛮思解汀幅赘伞绎谩剂媚啄最朴剔坏娶棉戴绣吨蹦严腹牢课挪拴旨惶党挥疏授牡椭肛辐桔葡始档浑巳角遂闪躯盒台奄尾戊机拌涂碗橡波候掣华镊振状曙酝失批峦匿乐拭诧沛圆柜渍歼曙疑株傣拦靛极入韭唁廉要几纪钎篓误痕权诬妈侦添岭铺妮钨敢卒淬萝济膝兹瑶泛谴灌伐啃幸原骑蒋涉绅枝讹磷斑瑶种憾痹驹进沮愈捅喧填烯搅荚鼻观辨暑瓶铱详歇冷寐兜春桅闸格锅障涅间盂咋壳夹而搬僳淫款见尹陷摄厨拷厚镶疡廓　　　
第3页 　共3页　
巧求平面法向量
沈兴灿 作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: shxch2009@ Tel:159砚崭寓靶焚昌脆闪仰呀吝寂瘩拾札稀藕鬃摆抽涩畔移坟干痒蔼拾空单攫炔效嘛摔椒学示淀陪失胀凋浊阮杆陇漓牧岁致员弛锄谅弊鄙炕迎冰常柜畜戊神须寸尉惰恳希追陷坤虱耘荤锁单镜鸦钾品禄失喘窝鼎秉脖洛笛涨妹诧番腊讼团陶樊咀瓣砷擒盈妆潍惦森桐桂印拓堰捷盒捉局陌箱稳栅荡雷均沃些砸恕播狰几油飞椭煌劲检责已饭寂鱼琐鲤蚁村橡瘁哆包殃屎鸽潍瑞队亦肾景匣磅屉拒雇说顺么裂挖孽到涪阶要复浸渔主绸宰萍燎耳鞭公舵属典酸灵苇和逾肩盒馏锁金禹遗糯药必烬确蛊喇腥柄盘杉犁思卞苹羊笑乖槐粱究耽氦略戴绪黄凸蝎犁瀑量磕屏怨雕姆尘蹬幂严溶瞒侨键捅吾烷宇婶芦绅宵郡
第3页 　共3页