浮点数的表示方法.doc

IEEE浮点数表示法
2007年12月10日 星期一 17:36
IEEE浮点数表示法
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float 共计32位(4字节)
由最高到最低位分别是第31、30、29、......、0位
31位是符号位，1表示该数为负，0反之
30~23位，一共8位是指数位(-128~127)
22~ 0位，一共23位是尾数位
每8位分为一组，分成4组，分别是A组、 B组、 C组、 D组
每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA

   31 30    23 22                    0
   |-|--------|-----------------------|
   | |        |                       |
   |-|--------|-----------------------|

注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999

    我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。

纯整数的表示方法
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    现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示:
1 11100010 01000000
也可以这样表示:
1 11100010 01000000.0

然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位:
1.11100010 01000000

一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样
1 11100010 01000000 =
1.11100010 01000000 * (2^16)
现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010 01000000 最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：
11100010 01000000 0000000 (MD，这些个0差点没把我数的背过气去)

    再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 ~ 255的无符号整数，也可以表示-128~127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127。
    在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为:
10001111

    123456.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:

0 10001111 11100010 01000000 0000000
再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了: 00 20 F1 47

输出4个字节的浮点数内存数据
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#include

int main()
{
    float f = 123456.0;

    unsigned char * c = (char *)&f;
    int i = 0;
    for (i = 3; i >= 0; i--)
        printf("%p\n", c[i]);
}

0x47
0xf1
0x20
(nil)

整数和小数混合的表示方法
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    有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。

    按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制: 1111011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000 ...，这些位阶分母的关系是10^1、 10^2、 10^3...，现假设每一位的序列是{S1、 S2、 S3、 ...、 Sn}，在这里就是5、 7、 8 2、 6，而这个纯小数就可以这样表示：
n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))
把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：
n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))

    天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了!没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625...。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.456这个十进制纯小数，该如何表示呢?现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。

    我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：
1/2^1位(为了方便，下面仅用2的指数来表示位)，0.456小于位阶值0.5故为0；1/2^2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.456减去0.25得0.206进下一位；1/2^3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；1/2^4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；1/2^5位0.0185小于0.03125，为0...。问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。
0.456    0.5 (1/2^1)   0.456   < 0.5      0      0.456-0.5*0      = 0.456  
0.456    0.25(1/2^2)   0.456   > 0.25     1      0.456-0.25*1     = 0.206
0.206    0.125         0.206   > 0.125    1      0.206-0.125*1    = 0.081
0.081    0.0625        0.081   > 0.0625   1      0.081-0.0625*1   = 0.0165
0.0165   0.03125       0.0165 -< 0.03125 -0      0.0165-0.03125*0 = 0.0165
0.0165   0.015625      0.0165 -> 0.015625 1      0.0165-0.015625*1= 0.000875

    OK，我们继续。嗯，刚说哪了?哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了(最高位的1不存入内存)：
1111011. 011101001 01111001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗?当然要加一位喽!”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3...”好了，一共移了6位，6加上127得133(怎么跟教小学生似的?呵呵)，二进制表示为：10000101，符号位为...再...不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧：

0 10000101 11101101110100101111001
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42

将小数部分换算成二进制
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#include
#include

int main()
{
    float f;
    f = 0.456;

    int i, j;
    unsigned char c[23];
    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
        if (f > pow(2, i)) {
            c[j] = 1;
            printf("c[%d] = %d\n", j, c[j]);
            f = f - pow(2, i);
        }
        else {
            c[j] = 0;
            printf("c[%d] = %d\n", j, c[j]);
        }
    }
}

纯小数的表示方法
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    下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx*(2^n)的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式:
    n = int(-1+log(2)X);

    0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592*(2^-5)。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理:

1. 01110101100011100010001
去掉第一个1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0 01111010 01110101100011100010001
最后：
11 C7 3A 3D

另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。

将十进制的纯小数用二进制表示
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#include
#include

int main()
{
    float f;
    int i, j;
    f = 0.0456;
    i = (int)(-1 + log(f)/log(2));
    f = f / pow(2, i);
    f = f - 1;

    unsigned char c[23];
    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
        if (f > pow(2, i)) {
            c[j] = 1;
            printf("%d", c[j]);
            f = f - pow(2, i);
        }
        else {
            c[j] = 0;
            printf("%d", c[j]);
        }
    }
    printf("\n");
}

01110101100011100010000

为什么最后一位不一致！ 是不是需要计算24位(011101011000111000100001)，然后将最后一位进位！