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数学归纳法的理论依据
——数学教学改革实验与理解能力培养
我们在中学教数学归纳法时，经常碰到一些勤于思考的学生提出：“数学归纳法的理论依据是什么？”这个问题在《高等代数》中早有论述，但中学生一般还很难看懂。为了保护学生们的好奇心、求知欲望和探索精神，提高与发展学生的领会理解能力，我们以数学课外活动的方式，开设“数学专题讲座”，给这个问题作出深入浅出的回答。
一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。
1962年我国著名数学家华罗庚教授在一次讲话中说：“简单朴素的数的性质，成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P（n）的重要方法。它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。
1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数集的公理体系，揭示出自然数集N的基本性质。这五条公理是
（1）1属于自然数集N，即；
（2）若，则有且仅有一个自然数紧跟在a后面，记为a+1；
（3）若a属于自然数集N，即，则；
（4）设，，当x+1=y+1时，x=y；
（5）若M是N的一个子集，具有下面两个性质：
1） ；
2）若，有，
则M=N。
依皮亚诺公理，有，1+1记为2，则2，2+1记为3，则，3+1记为，则4，则依此递推，便得自然数集。

事实上，我们数自然数时，第一个数便是1，这就是公理1。公理2说明，任何自然数a都有唯一确定的后继数a+1。公理3说明，1是自然数中唯一不是后继数的数；1是自然数集N中的最小数。公理4说明，除1以外，每个自然数都是一个唯一确定的自然数的后继数。公理5说明，从1开始，一直数下去，以至无穷，便得到所有的自然数。这个公理5，又称为归纳公理，它就是数学归纳法最原始的理论依据。
二、最小数原理与数学归纳法原理。
依皮亚诺公理，自然数集N有最小数1。这个性质加以推广，便得“最小数原理”。
定理一、自然数集的任意非空子集必有一个最小数。
证明：设A是自然数集的任意非空子集。在A中任意取出一个数m。依皮亚诺公理，从1到m共有m个自然数，则A中不超过m的数最多有m个。因为这是有限个数，则其中必有一个最小数K。K对于A中不超过m的数来说最小。而A中其余的数都比m大，因而更比K大，所以，K就是A中的最小数。
例1、用“最小数原理”证明

证明：假设至少存在一个自然数m，使得上述等式P（m）不成立。令S表示所有使等式P（m）不成立的那些自然数m的集合。因为当n=1时，等式P（1）显然成立，则，所以，S是N的一个真子集。又由假设得，S是非空的。依最小数原理，S中必有一个最小数K，使得P（K）不成立。且K>1。因为K-1理应用于自然数有关的命题，便得到“数学归纳法原理”。它与“最小数原理”等价，因而，也能用“最小数原理”来证明。
定理二、设有一个与自然数n有关的命题P（n），如果
（1）当n=1时，命题P（1）成立；
（2）假设n=K时，命题P（K）成立，则n=K+1时，命题P（K+1）也成立。
那么，这个命题P（n）对于一切自然数n都成立。
证明：假设命题P（n）不是对一切自然数都成立。令B表示使命题不成立的自然数所组成的集合，则B中至少存在一个自然数m，使得P（m）不成立，所以，B是非空的。依最小数原理，B中必有最小数h，且，否则将与（1）矛盾。因而，h-1也是一个自然数。因为h是B中的最小数，则，于是，命题对于h-1成立。然而，，则命题对于h不成立，这与（2）矛盾，所以，这个命题P（n）对于一切自然数n都成立。
例2、用数学归纳法证明

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，则左边=右边，等式显然成立。
（2）假设n=K时，等式成立，即

等式两边同时加上（-1）k+2·（K+1）2，得

则，当n=K+1时，等式也成立。
由（1）、（2）得知，对于一切自然数n，等式都成立。
三、数学归纳法的实质和它的两个步骤。
数学归纳法的实质是递推，是把与自然数n有关的命题P（n）由初始特征值P（n0）成立，通过递归关系，递推到对于所有大于或等于n0的自然数n，命题P（n）都成立。从而，完成了由“有限”推向“无限”的递推过程。它是数学思想方法上的一个大飞跃。
数学归纳法有两个步骤，第一步，证明n=n。（一般取n0=1）时，命题P（n0）成立。它是命题递推的基础。第二步，假设当n=K时，命题题P（K）成立，证明当n=K+1时，命题P（K+1）也成立。它是命题递推的根据。
例如，我们在例2中，已于（1）验证了递推的基础：当n=1时，等式成立。又于（2）证明了递推的依据：当n=K时等式成立，则n=K+1时，等式也成立。于是，由（1）和（2）便可进行如下的递推：因为由（1）n=1时，等式成立，则由（2）有n=1+1=2时，等式成立；再由（2），从n=2时，等式成立，推得n=2+1=3时，等式成立。再由（2），从n=3时，等式成立，推得n=3+1=4时，等式成立，依此递推，由（1）、（2）就可以断定，n为任何自然数时，等式都成立。
数学归纳法的两个步骤，完整地体现了递推的全过程，它们是缺一不可的。若有第一步而无第二步，则命题失去了递推的根据，论断的普遍性不一定可靠；若有第二步而无第一步，则命题失去了递推的基础，论断的真实性不一定可靠。只有两个步骤有机地结合起来，才是科学的思维方法。
例如，我们由函数f(n)=n2+n+11已验证了从f(1)至f(9)都是质数，但不能断定n为一切自然数时f(n)都是质数。因为它缺乏递推的根据，论断的普遍性不一定可靠。事实上，当n=10时，f(10)=121=11×11，就不是一个质数了。
又如，我们假设K>K+1成立，两边同时加上1，得K+1>K+2也成立。但不能断定“任何自然数都大于它的后继数”。因为它缺乏递推的基础，论断的真实性不一定可靠。事实上，当K=1时，1>1+1显然不成立。
注：本文原为我在新化二中，以数学课外活动方式，举办“数学专题讲座”的讲稿，发表于湖北《中学数学》1984年第10期。后来，我又在《中学数学》等刊物中相继发表几篇关于数学归纳法的论文，发展成《数学归纳法浅析》书稿，共15万字，由湖南数学会常务副理事长、湖南教育学院院长欧阳录教授作序，以待出版。本文是该书稿的第二章。
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