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毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用
摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。

一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理
定理1· 设满足下列条件：
（I）在上连续；
（II）（通常称为初始条件）
（III）对，恒有；
（IV）在D上 ：即对D上任意两点，不等式
……（1）
恒成立，L是与和无关的正常数（）。
则在区间唯一确定一个隐函数，满足。这个函数在上连续可微。其中
……（2）
……（3）
证明：若在上能唯一确定可导的隐函数，则有,方程两边对x求导，得
。
由，得 。
因此，在上能确定唯一可导的隐函数，等价于初值问题
……（*）
在上有唯一解。
简记 ，下面分4段证明之。
（1） 构造一个近似解的序列。
用 ……（4）
代替中的y，则
……（5）
其右边是的已知函数，对（5）两边积分（显然在D上连续，故可积），并令它满足
于是得到 ……（6）
它区间上连续。
一般来说，它并不正好是（*）的解，称它为（*）的第1次近似解，记为
……（7）
并称（4）为（*）的第0次近似解。
现在估算由（7）确定的函数的界限：
……（8）
所以，当时，有，即有。
这就推知，当时，，于是有定义，并且是x在
上的连续函数。
考虑 得到第2次近似解

同理可证，当时，有，即
如此下去，可得到第n次近似解:
……（9）
易知当时有
……（10）
从而。由归纳法，定义了无穷序列
, ,, …，，… ……（11）
每个函数在连续，且， （＝0，1，2，……）
（2）· 证明{}在上一致收敛。
当时，

(n=2,3,……) ……（12）
由数学归纳法易证明
……（13）
事实上，当n=1时，由（8）知（13）成立；
假设，当n=k时成立，即
则由（12）知

＝
即证明了（13）当n=k+1时也成立。
由（13），当时，有
易知，正项级数收敛，由-判别法知级数在
上一致收敛。即在上一致收敛，将其极限函数记为
即 ， ……（14）
又连续函数的一致收敛极限函数也必定是连续函数，故在上连续，且，
所以当时，。
（3）· 证明上述的确是（*）的解。

即 ＝ ……（15）
从而有 ，
（4）·证明（*）的解的唯一性。
设与都是（*）的解，公共区间为，则有
……（16）
……（17）
由（16）－17）得
（）
记 ， ……（18）
于是，上式可改写为 ，
两边乘以，即有

两边从到积分，且由得到，又，故。又由（18）知 ，所以知 。
同理可证 当 时，。
综上知 ，当时，，求导得， 即有 ，。
这就证明了只有一个解满足（*）.
由以上的（1），（2），（3），（4）和证明开始处的分析知，在上唯一确定隐函数且满足，同时在上连续可导。
证毕。

二·毕卡逐次逼近法证明一个非局部存在定理
[2]中有一个一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。原文中的证明是用到反证法，在已有贝尔曼不等式，延展定理，饱和区间引理等的前提下，证明过程比较简洁，但需要掌握较多的知识才能理解。而用毕卡逐次逼近法也可以证明该定理。虽然过程长，但思路清晰。现给出定理及证明如下：

定理2· 设有初值问题 ， ……（19）
在带形区域，内连续，并设它在G内，则对G内任一点，初值问题（1）的解在区间（a，b）上存在且唯一。

证明：取， 且 ，
对，由定理中G知 ,故均有定义。其中{}为毕卡序列。
以下证明过程类似定理1中（1）2），（3），（4）的证明。
由此知，对与的任意包含的闭子区间初值问题（1）都存在唯一解，故可推知，对于上的任意x，恒成立 和，这就证明了在上，是初值问题的唯一解。
证毕。

注：定理（1）中第（1）段所作的序列{}称为毕卡序列，构造毕卡序列并证明它的一致收敛性的这种方法，称为毕卡逐次逼近法。第（2）段证明毕卡序列的一致收敛性和第（4）段证明解的唯一性中起重要作用的是。可以举出例子，当不满足（III）时，仅从毕卡序列一致收敛性（在对y不满足局部下），并不能推出初值问题解的唯一性。

参考书目：
[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版；
[2]《常微分方程》蔡燧林，武汉大学出版社，2003年，第2版。