构造拉格朗日插值多项式.doc

MATLAB期中作业

构造拉格朗日插值多项式

一、问题分析：
首先从最简单的一次lagrange出发构造一个插值函数，过两个点做一条直线，用两点式表示，则有

分别记作：

则是的一次插值基函数，是的一次插值基函数。是这两个差值基函数的线性组合：
，
这种形式的插值称为拉格朗日线性插值。

同样地我们可以用三个点来构造过三个点的插值函数，即二次插值。
点的二次插值基函数为：

点的二次插值基函数为：

点的二次插值基函数为：
有了这3个二次插值基函数，可得到过的二次拉格朗日插值
项式：

有了上面的一次和二次差之多插值多项式、，我们可以推广到次插值多项式。下面构造通过各节点的次插值多项式，是之满足

首先构造个插值节点上的插值基函数，对任一点所对应的插值基函数，由于在所有取零值，因此有因子。又因是一个次数不超过的多项式，所以只可能相差一个常数因子，固可表示成：

利用得：

于是

因此满足 的插值多项式可表示为：

从而次拉格朗日插值多项式为：

二、lagrange插值多项式在MATLAB中的实现：
定义函数文件lagran：
function y=lagran(x0,y0,x)
% x0,y0是已知的插值点坐标
% x是待求点组成的数组
% y是拉格朗日差值多项式在x处的值
% L是拉格朗日插值函数的权函数
n=length(x0);
m=length(x);
L=zeros(1,n);
y=zeros(1,m);
for k=1:m
s=0;
for i=1:n
L(i)=1;
for j=1:n
if j~=i
L(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j));
end
end
ss+y0(i)*L(i);
end
y(k)=s;
end
return;

用下列命令文件调用函数文件lagran.m：
x1=[1.1 2.3 3.9 5.1];
y1=[3.887 4.276 4.651 5.117];
x=[2.101 3.523 4.234 5.226];
y=lagran(x1,y1,x)
[P,S]=polyfit(x,y,3)
plot(x,y,'r*');grid;
hold on
plot(x1,y1,'g')
title=('lagran(x,y)');
xlabel('x');
ylabel('y');

运行结果：
y =

4.2257 4.5531 4.7526 5.1858

P =

0.0218 -0.1909 0.7768 3.2345

S =

R: [4x4 double]
df: 0
normr: 2.5121e-015

三、 结果分析：